直线的方程点斜式斜截式截距式一般式

1、必修5,直线的方程,倾斜角,x轴正方向与直线向上方向之间所成的角,a,倾斜角,复习：,倾斜角的范围：,斜率：,确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是： 直线上的一个定点以及它的倾斜角,确定直线的要素,x,P,x,故:,问题2：若直线 经过点 ,斜率为k, 则此直线 的方程是？,（1）过点 ,斜率为k的直线 上每个点的坐标都满足方程 ； （2）坐标满足这个方程的每一点都在过点 ,斜率为k的直线上.,设直线任意一点（P0除外）的坐标为P(x,y),1.点斜式方程,注意：,这个方程是由直线上一定点及其斜率确定，所以我们把它叫做直线的点斜式方程；简称：点斜式.,经过点斜率为k的直线的方程为：,点

2、斜式方程的形式特点.,1.点斜式方程,x,y,l,P0(x0,y0),l与x轴平行或重合 倾斜角为0 斜率k=0,y0,直线上任意点 纵坐标都等于y0,O,1.点斜式方程,特别的，,x,y,l,P0(x0,y0),l与x轴垂直 倾斜角为90 斜率k 不存在 不能用点斜式求方程,x0,直线上任意点 横坐标都等于x0,O,1.点斜式方程,点斜式方程,x,y,l,x,y,l,x,y,l,O,倾斜角90,倾斜角=0,倾斜角=90,y0,x0,例一: 1.已知直线经过点 ,斜率为，求这条直线的方程.,2.已知直线经过点 ，求 （1）倾斜角为 时的直线方程： ； （2）倾斜角为 时的直线方程： ； （3）

3、倾斜角为 时的直线方程： .,问题3：已知直线的斜率为k，与y轴的交点是点P（0，b)，求直线 的方程.,解：,由直线的点斜式方程，得：,即：,这个方程由直线的斜率k和在y轴上的截距b确定，也叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.,式中：b -直线 在y轴上的截距(直线与y轴交点的纵坐标) k -直线 的斜率,2.斜截式方程,例二： 写出下列直线的斜率和在y轴上的截距：,不是，截距是坐标，可是正数,负数和零,例三：1.下列方程表示直线的倾斜角各为多少度？ 1) 2) 3),2.方程 表示( ) A)通过点 的所有直线； B）通过点 的所有直线； C）通过点 且不垂直于x轴的所有直线； D）通过点

4、且去除x轴的所有直线.,C,（3）k为常数时，下列方程所表示的直线过定点吗？,直线 是过定点 （0，2）的直线束；,直线 是过定点 （0，2）的直线束；,直线 表示斜率为2的一系列平行直线.,（3）一直线过点 ，其倾斜角等于 直线 的倾斜角的2倍，求直线 的方程.,由直线的点斜式方程，得：,分析：,只要利用已知直线，求出所求直线的斜率即可.,则：,（1）斜率为K， 点斜式方程： 斜截式方程： （对比：一次函数） （2）斜率不存在时，即直线与x轴垂直， 则直线方程为：,课堂小结：,直线过点,共同点：不能表示垂直于x轴的直线(斜率不存在),学案P110例4,解：设直线方程为：y=kx+b,例1.已

5、知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程,一般做法：,由已知得：,解方程组得：,所以:直线方程为: y=x+2,方程思想,例2:已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b),其中a0,b0,求直线l 的方程,将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入, 得:,即,所以直线l 的方程为：,解：设直线方程为：y=kx+m,3.截距式方程,截距可是正数,负数和零,注意：,不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线,直线与 x 轴的交点(a, o)的横坐标 a 叫做直线在 x 轴上的截距,是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?,直线与 y 轴的交点(0, b)

6、的纵坐标 b 叫做直线在 y 轴上的截距,3.截距式方程,归纳,直线方程的三种形式的比较,(1) 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x , y的二元一次方程表示吗？ (2) 每一个关于x , y的二元一次方程都表示直线吗？,思考,分析：直线方程 二元一次方程,(2) 当斜率不存在时L可表示为 x - x0=0,亦可看作y的系数为0的二元一次方程. (x-x0+0y=0),结论1：平面上任意一条直线都可以用一个关于 x , y 的二元一次方程表示.,(1) 当斜率存在时L可表示为 y=kx+b 或 y - y0 = k ( x - x0 ) 显然为二元一次方程.,即：对于任意一个二元一

7、次方程 Ax+By+C=0 (A.B不同时为0)，判断它是否表示一条直线？,（2）当B=0时，因为A,B不同时为零，所以A一定不为零,于是方程可化为 ，它表示一条与 y 轴平行或重合的直线.,结论2: 关于 x , y 的二元一次方程,它都表示一条直线.,直线方程 二元一次方程,由1，2可知： 直线方程 二元一次方程,定义：我们把关于 x , y 的二元一次方程 Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式.,定义,在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线 （1）平行于x轴：（2）平行于y轴： （3）与x轴重合：（4）与y轴重合：,分析:

8、(1)即 A=0 , B 0,C 0.,(2) B=0 , A 0 , C 0. (3) A=0 , C=0 , B 0. (4) B=0 , C=0 , A 0.,探究,优势： 可以表示任何 位置的直线.,例 把直线L的一般式方程 x-2y+6=0 化成斜截式,求出L的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形.,解：化成斜截式方程 y= x+3,因此，斜率为k= ,它在y轴上的截距是3. 令y=0 得x=6.即L在x轴上的截距是6.,由以上可知L与x 轴,y轴的交点 分别为A(-6，0)B(0，3),过 A，B做直线,为L的图形.,两条直线的交点,A的坐标满足方程,A的坐标是方程组的解,例1：求下列两条直线的交点： l1：3x+4y2=0；l2：2x+y+2=0.,解：解方程组,l1与l2的交点是M（- 2，2）,(1)若方程组有且只有一个解,(2)若方程组无解,(3)若方程组有无数解,则l1/ l2;,则l1与l2相交;,则l1与l2重合.,二、两条直线的交点:,练习：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: l1：x2y+2=0，l2：2xy2=