麦氏分布律及能均分-拷贝版.ppt

1、第二章 热平衡态的统计分布律,计算计算某一速率区间的分子数计算某一速度分量区间的分子数,概念 速率分布函数 速度分量分布函数 三种速率 自由度,定理 定律 麦克斯韦速率分布律 麦克斯韦速度分量分布律 能量按自由度均分定理,第 二 章, 1. 麦克斯韦速度分布律(Maxwellian velocity distribution) 气体分子速率分布的统计规律 一. 统计规律与分布函数 是对大量偶然事件整体起作用的规律， 它表现了这些事物整体的必然联系。 例: 伽耳顿板实验,一颗粒子落在哪个槽-偶然事件,大量粒子分布-必然事件,例: 气体分子速率的分布 平衡态下 某一气体分子的速率-偶然事件 大量分

2、子速率分布-必然事件,2. 速度空间 速度空间: 以vx , vy, vz为坐标轴所确定的空间 N: 总分子数 代表点- v 的末端点 N个分子 N个箭头 N个代表点,位置空间,速度空间,相空间(6维),3. 速率分布函数(distribution function of speed) 速率在v-v+dv区间的分子数 dN =NF(v)dv,F(v) 的物理意义？,满足,表示在v附近, 单位速率区间内的气体分子数所占的百分比.,表示在vv+dv速率区间内的气体分子数占总分子数的百分比.,麦克斯韦速率分布函数,二. 麦克斯韦速率分布律(Maxwell speed distribution) 气体

3、处于平衡态时, 其分子速率分布函数的具体形式 1. 麦克斯韦速率分布函数 设某一系统其分子总数为 N 在平衡态下,分布在 v v+dv 的分子数,F(v)与 m , v, T 有关,2. 麦克斯韦速率分布曲线 F(v) (1) 分布曲线所包围的面积 任一 vv+dv 区间内,曲线下面积,对应于 v1 v2 区间内曲线下面积,表示分布在 v1 v2 区间的分子数所占的百分比,表示分布在 v v+dv 区间的分子数所占的百分比,(2) 曲线特征,分布曲线两端趋于零。 分布曲线上有一极大值。 相应的速率最概然速率 vp vp 的物理意义： 在一定温度下，速度大小与 vp 相近的气体分子的百分数为最大

4、。,(3) 分布曲线与 T 及 m 的关系,当 m 一定时， T , vP ,峰值向右移且曲线变得平坦些 T , vP ,峰值向左移且曲线变得尖锐些,当 T 一定时， m , vP ,峰值向左移且曲线变得尖锐些 m , vP ,峰值向右移且曲线变得平坦些,3. 三种速率公式 方均根速率 ( root-mean-square speed ),平均速率 ( mean speed ),最概然速率 ( most probable speed ),设有一群粒子具有下列速率分布：,试求：（1）平均速率; （2）方均根速率; （3）最概然速率.,例: 试计算300K时氧分子的vp, ,vrms。 解：,4.

5、 成立条件 气体必须由大量分子组成 气体必须处于平衡态,5. 应用 计算在某一速率区间 dv 内的相对分子数,例 1 试求在T =300K的氮气中，具有速率在 275 m/s 到 277 m/s 区间的氮分子数的比率。,例 2 求分子热运动速率介于 之间的分子数占总分子数的百分数。,三. 麦克斯韦速度分量分布律 速度分量分布函数 速度分量 vx 分布在vxvx+dvx区间内分子数,表明分布在vx附近, 单位速度分量区间内的相对分子数,表明分布在vxvx+dvx区间内的相对分子数,2. 麦克斯韦速度分量分布函数 气体处于平衡态时, 其分子速度分量分布函数的具体形式,3. 曲线下的面积,(2) 在

6、vx1 vx2区间曲线下的面积,在vx vx+dvx区间内,曲线下 狭条面积,4. 相对速度分量公式 分布在vxvx+dvx区间内的相对分子数,0 vx区间的相对分子数,5. 分子通量 泻流流量: 单位时间内单位面积上泻出的气体分子数.,平均泻流速率: 泻流出去的分子在x方向的平均速率,应用: 分离同位数,dvx,dvy,dvz,四. 麦克斯韦速度分布函数 f(v),-麦克斯韦速度分布函数,表明在速度空间, 分布在 附近单位体积元内的分子数占总分子数的百分比.,推 导,从速度分布导出速率分布,重力场中气压按高度的分布 设S 为圆柱体的底面积,2.玻尔兹曼密度分布( Boltzmann dens

7、ity distribution) 2.1 等温气压公式 ( isothermal barometric formula),2.2 重力场中粒子按高度的分布,1908年法国科学家Perrin首次观测到，1926年获得诺贝尔物理奖。,p = nkT n n(z)=n0 e-mgz/kT,Perrin实验的意义 验证了重力场中粒子的分布 验证了爱因斯坦位移公式 首次测定了阿伏伽德罗常量 第一次为分子的真实存在提供了令人信服的证据,2.3 玻尔兹曼密度分布律,其中 Ep= mgz -重力势能 设粒子处在某一保守力场中的势能=U(r)=p,-玻尔兹曼密度分布律 回转体中微粒的径向分布 台风的形成,玻尔

8、兹曼分布律-粒子的位置分布 麦克斯韦分布律-粒子的速度分布,麦克斯韦-玻尔 兹曼分布律,玻尔兹曼分布律,在一定温度下,分布在 (x-x+dx, y-y+dy, z-z+dz,vx-vx+dvx,vy-vy+dvy,vz-vz+dvz)分子数,2.4 麦克斯韦-玻尔兹曼分布律,麦克斯韦-玻尔兹曼分布律 其中总能量 E=k + p,一. 自由度(degree of freedom) (1) 定义: 决定一个系统在空间位置所需要的独立坐标的数目。 质点 (a)自由质点,(b)平面或曲面运动,(c)直线或曲线运动,(x,y,z),(x),(x,y), 3. 能量均分定理与热容量,自由度=3,自由度=2

9、,自由度=1, 刚体(rigid body) 质心的运动+绕通过质心的转轴转动 (a)决定质心 C 的位置需三个独立坐标 (x ,y, z) (b)确定转轴的方位 (c)确定刚体绕转轴的转动需一个独立坐标 ( ) 共 6 个自由度: 3 个平动自由度 +3 个转动自由度,需二个独立坐标 ( , ),(2)气体分子的自由度 i (a)对于单原子分子如He, Ne, Ar 质点模型 只有三个平动自由度 (b)对于双原子分子如 H2 , O2 , N2, CO 如果分子是刚性的 哑铃模型,3 个平动自由度+2 个转动自由度,如果分子是非刚性的 弹簧哑铃模型 3 个平动自由度 +2 个转动自由度 +1

10、 个振动自由度 i = 6,i =3,i = 5,*(c)对于多原子分子 如果是刚性分子力学模型 =自由刚体 如果是非刚性分子设由n 个原子组成 3 个平动自由度 +3 个转动自由度+(3n-6)个振动自由度,i = 6,i = 3n,二. 能量均分定理 ( theorem of equipartition of energy) 平均平动动能,能量按自由度均分定理: 在温度为 T 的平衡态下，物质分子的每一个自由度上都具有相同的平均动能，其大小都等于 .,例:若气体分子有 i 个自由度 i = t + r + s (平)( 转)(振),1.能量均分定理是一个统计规律，是对大量分子统计平均所得的

11、结果。 2. 能量均分定理只涉及动能，不涉及势能。,分子的平均总能量 =平均动能+ 分子内原子间的平均振动势能,理想气体的内能 1. 实际气体: 内能=动能 (平动 +转动+ 振动)+势能 (分子内/间的作用力) 2. 理想气体: 内能=动能 (平动 +转动+ 振动)+势能 (分子内作用力) =所有分子的平均能量的总和 对于1 mol理想气体,对于M千克理想气体,3. 若理想气体为刚性气体，则 s = 0, i = t + r,结论: 理想气体的内能完全决定于分子运动的自由度和气体的热力学温度,理想气体的定义: (1)遵从理想气体状态方程。 (2)内能只是温度的单值函数。,四. 理想气体的热容量 (heat capacity),0下几种气体的摩尔定体热容量的实验值,对于单原子分子气体, 理论值与实验值符合得很好. 对于双原子分子气体, 理论值与实验值不符合.,低温： CVmol=3/2R 常温： CVmol=5/2R 高温： CVmol=7/2R,不是能量均分定理的问题 而是经典物理的问题：能量是连续分布的 量子物理：能级是离散的(energy