数学建模--短程赛跑中运动员速度变化情况

1、短程赛跑中运动员速度变化情况摘 要 本文就讨论“短程赛跑过程中速度变化情况”的问题参考了keller的赛跑模型建立了动态优化数学模型. 在赛跑路程确定的前提下，通过利用最优化原理，建立动态规划模型对运动员在短程赛跑过程中速度v与时间t的关系进行了讨论，得到在赛跑过程中速度受到自身生理条件的限制、内外阻力等因素的影响，并假定冲力f满足微分方程关系式，内外阻力h与速度成正比.针对问题一，根据已知条件求解微分方程，并根据牛顿运动第二定理得出速度v关于时间t的表达式为v(t)；路程s满足的表达式为s(t)；再通过matlab对问题二表格中的数据进行非线性拟合，求解出运动员在赛跑过程中达到最大速度的时间

2、为6.2645s；最后由已求得的数据得出速度v关于时间t的最终表达式v(t)，并利用matlab的plot函数作出了v(t)的示意图，发现在赛程的进行一段时间后，运动员的速度能达到极限也就是函数的极大值处，这段时间过后，由于能量的来源受到限制，所以运动员的速度会越来越慢，较符合实际情况；针对问题二，将表格中的数据逐个代入到速度v关于时间t的最终表达式v(t)中，即可算出速度v的理论值，再将理论值与实际值进行比较、总结，得到最终表格，并发现理论值与实际值的误差很小，说明得出的理论表达式较为准确.关键词 跑步速度 阻力系数 最大冲力 冲力限制系数 非线性曲线拟合一、 问题重述经研究发现在短跑比赛中

3、，运动员由于生理条件的限制在达到一定的高速度后不可能持续发挥自己的最大冲力. 假设运动员克服生理限制后能发挥的冲力满足f(t)f(t)=-1k,k是冲力限制系数，f0=f为最大冲力. 问题： （1）试建立模型求出短跑比赛时速度v(t)和距离s(t)的表达式，及达到最高速度的时间，作出v(t)的示意图. （2） 某届奥运会男子百米决赛前6名在比赛中达到距离s处所用的时间t和当时的速度v如下表所示（平均值）：s(m)05152535455565758595t(s)00.9552.4353.4354.3555.2306.0856.9457.8158.6909.575v(m/s)05.249.5410

4、.5211.1911.6211.7611.4911.4711.3611.22试从这组数据算出的理论值与实际数据比较. 你对这个模型有什么解释和评价. 二、 问题分析运动员在赛跑过程中速度由于受到自身生理条件的限制、内外阻力等因素的影响，会随着时间的变化而变化. 在距离一定的前提下，运动员身体所能提供的冲力越大，受到的内外阻力越小，则赛跑过程中所能达到的最大速度越大，成绩越好. 冲力的能量来源主要是呼吸作用产生的能量以及人体储存的能量，前者可以假设保持一定，而后者会随着时间的增加而不断消耗，因此在赛跑时运动员的冲力会不断减小，同时内外阻力会随着速度的增加而增加，由此可以得出在赛跑过程中的速度随着

5、时间的变化先增大，在达到最大速度之后则会有所减少. 在讨论问题过程中，认为阻力与速度成正比，运动员的质量为单位质量. 针对问题一，由于运动员克服生理限制后能发挥的冲力满足的微分方程已知，可知等式两边关于自变量t积分求出冲力f(t)关于时间t的关系式；运动员在赛跑过程中的内外阻力h满足h=1v；则根据牛顿第二定理f合=ma=mdvdt,即可求出运动员比赛时速度v关于时间t的表达式v(t)；再根据v=dsdt,对v(t)关于t积分，即得距离s关于时间t的表达式s(t)； 由于得到的表达式v(t)是关于自变量t及参数,k,f的函数，并且运动员不一定就在问题二表格中的某一点恰好达到速度最大值，故要求出

6、达到最高速度的时间t，就要通过问题二中的数据利用matlab进行非线性拟合，得出拟合函数再进行求导计算，同时求解出拟合出的参数,k,f（估计值，求解参数,k,f精确值时要作为迭代初值）；要作出v(t)的示意图，就要根据vt=0得出t关于参数,k,f的表达式t*，并将在进行拟合时求得的达到vm时的时刻t和路程s，同时带入到表达式vt,st,t*中，再利用matlab的fsolve函数求解该三元方程组，得出参数,k,f的实际值（迭代初值即为,k,f)，得到v(t)的确定表达式，最后利用matlab的绘图功能进行绘图. 针对问题二，由于在问题一中已经通过讨论得到了v(t)的确定表达式，分别带入表格中

7、的数据，得到速度v的理论值，再与表格中的数据进行比较，最后对模型进行合理的解释与评价. 三、 模型假设1. 赛跑时体内外的阻力与速度成正比，比例系数为1, 运动员能发挥的最大冲力为f,初速度为0；2. 运动员的质量为单位质量，即m=1；3. 在t=0时运动员达到最大冲力，且在跑步过程中冲力大小随着时间递减. 四、 符号表示t 运动员奔跑时间t 运动员达到最大速度的时间f 运动员奔跑过程中的冲力f 运动员奔跑过程中的最大冲力f 进行非线性拟合时得出的最大冲力估计值a 运动员奔跑过程中的加速度v 运动员奔跑过程中的跑步速度vm 运动员奔跑过程中能达到的最大速度s 运动员奔跑过程中的跑步距离s 运动

8、员达到最大速度时的路程h 运动员奔跑过程中受到的内外阻力k 冲力限制系数k 进行非线性拟合时得出的冲力限制系数估计值m 运动员质量 奔跑过程中体内外阻力的比例系数的倒数 进行非线性拟合时得出的体内外阻力的比例系数的倒数估计值v(t) 运动员奔跑过程中速度关于时间的表达式s(t) 运动员奔跑过程中速度关于时间的表达式t* 运动员达到最大速度时时间关于参数的表达式五、 模型建立与求解在问题一中，可建立微分方程模型，通过对已知的ft满足的微分方程进行求解，同时利用牛顿运动第二定理对建立的微分方程进行两次积分，即可得出短跑比赛时速度v(t)和距离s(t)的表达式；再通过matlab软件对问题二表格中数

9、据进行非线性拟合，求出拟合v(t)曲线对应的极大值点，即为赛跑过程中速度达到最大值时对应的时间点；最后通过matlab对参数,k,f的实际值进行求解，得出v(t)的最终表达式（不含参数），再利用matlab中plot函数即可得出v(t)示意图(见图二)；在问题二中，利用问题一中得出的v(t)的最终表达式，将表格中的时间t的数据代入，即得到速度v的理论值，再与实际值进行比较，总结成表格（见表格二）.5.1问题一模型建立与求解可将问题一分成三部分逐个求解：建立微分方程模型并求解得出速度v(t)和距离s(t)的表达式；通过matlab进行数据的非线性拟合，得出达到最高速度的时间；求解出速度v(t)的

10、最终表达式（不含参数），并利用matlab画图函数得出函数的示意图.5.1.1 求短跑比赛时速度v(t)和距离s(t)的表达式由条件可知f(t)f(t)=-1k对等式两边关于自变量t积分，得ft=c1e-tk（c1为任意常数）带入初值条件f0=f，解出任意常数c1，得ft=fe-tk根据牛顿运动第二定理f合=ma=mdvdt，得mdvdt=f-h将ft=fe-tk，h=1v，m=1带入，得dvdt+v=fe-tk对等式两边关于自变量t积分，得v(t)=c2e-t+fkk-e-tk（c2为任意常数）带入初值条件v0=0, 解出任意常数c1，得v(t)=fkk-(e-tk-e-t)由于v=dsdt

11、,对等式两边关于自变量t积分，得s(t)=fkk-(-ke-tk+e-t)+c3(c3为任意常数)带入初值条件s0=0, 解出任意常数c3,得s(t)=fkk-(-+k-ke-tk+e-t)5.1.2 求解达到最高速度的时间根据问题二中的表格1（如下）s(m)05152535455565758595t(s)00.9552.4353.4354.3555.2306.0856.9457.8158.6909.575v(m/s)05.249.5410.5211.1911.6211.7611.4911.4711.3611.22表格 1 某运动员在比赛过程中数据记录可利用matlab对v,t数据及s,t数据

12、分别进行非线性拟合（程序见附录1），拟合图像如图1，图2所示图 1 时间与速度的非线性拟合函数图图 2 时间与路程的非线性拟合函数图得出参数估计值=1.8510k=47.9128f=7.1541再利用导数求出拟合函数的极大值点（程序见附录2）t=6.2645代入求得对应的s,vm得s=56.9587vm=11.6192与表格1中数据对比发现误差很小，即拟合的精确度较高. 5.1.3作出v(t)的示意图由前面的讨论知速度v关于时间t的表达式v(t)=fkk-(e-tk-e-t)路程s关于时间t的表达式s(t)=fkk-(-+k-ke-tk+e-t)并且运动员在奔跑过程中达到最大速度时t，s，vm

13、的值为t=6.2645s=56.9587vm=11.6192对v(t)关于自变量t求一阶导数，得vt=-fk-(e-tk-ke-t)由vt=0得出达到速度最大值点时时间t的关系式t*=kk-lnk将t，s，vm代入到表达式vt，st，t*中，利用matlab的fsolve函数求解该三元方程组（迭代初值即为,k,f，程序见附录3），得出参数,k,f的实际值=1.8510k=47.9143f=7.1542易见参数,k,f的实际值与估计值误差很小，即计算较精确. 将参数,k,f的实际值代入到关系式v(t)中，得出最终速度v关于时间t的表达式v(t)=13.775(e-t47.91-e-t1.85)再

14、利用matlab的plot函数即可得出v(t)的示意图（程序见附录4），如图3所示图 3 速度关于时间的函数图由图形可知道在赛程的进行一段时间后，运动员的速度能达到极限也就是函数的极大值处，这段时间过后，由于能量的来源受到限制，所以运动员的速度会越来越慢，因此该图形符合实际情况，同时通过对比发现得到的v(t)的精确图与拟合图相似度很高，说明非线性拟合较为成功，计算较为精确. 5.2 问题二模型建立与求解由问题一的讨论过程知，最终速度v关于时间t的表达式为v(t)=13.775(e-t47.91-e-t1.85)分别带入表格1中的数据，求出理论值（程序见附录5），得到的对比结果如表格2t(s)0

15、0.9552.4353.4354.3555.2306.0856.9457.8158.6909.575v(m/s)理论值05.289.4010.6711.2711.5311.6211.5911.5011.3611.20v(m/s)实际值05.249.5410.5211.1911.6211.7611.4911.4711.3611.22表格 2 速度v理论值与实际值的比较模型评价见论文第七部分.六、 结果分析1.由于冲力是递减的，所以即便是短跑，速度也是先增后减的，即在达到最大值后又有一个减少的阶段. 由v(t)图像可知，在赛程进行一段时间后速度逐渐减小，图像符合实际.2.按照本模型得出v(t)=1

16、3.775(e-t47.91-e-t1.85),计算得出的速度理论值与题中所给实际值吻合度较高，模型建立较符合实际情况.七、 模型评价模型优点：1. 模型简单易行，便于理解，与现实生活紧密联系有坚实可靠的数学基础，具有很好的通用性和推广性；2. 模型参考了keller的跑步模型建立了动态优化模型，并且对模型中涉及到的众多影响因素进行了量化分析，模型稳定性高适用性强；3. 利用matlab对问题二中数据进行了两次非线性拟合，并分别给出拟合的图像，增加了模型的直观性和准确性，使模型更加符合实际情况；4. 在进行数据时使用了表格，使得结果更直观明了.模型缺点：1. 模型因简化计算而忽略了人体的质量，

17、统一理解为单位质量，但是实际生活中由于运动员的质量不尽相同，故在求解模型时得到的结论也会有所差异；2. 模型在考虑内外阻力时假设阻力h与速度v成正比，但是实际生活中外阻力应与速度v的平方成正比；3. 模型中假设运动员的冲力随着时间的增加而不断减小，只在t=0时得到最大冲力，但是根据keller模型理论，在进行短程赛跑过程中，运动员在开始的一段时间可以保持最大冲力.参考文献1 姜启源, 数学模型(第三版)m， 高等教育出版社， 2003.082 汪晓银. 数学软件与数学实验m, 北京:科学出版社, 20083 动态优化模型，keller跑步模型（短跑模型），百度文库，网址：http:/wenku

18、./link?url=1wdm0y1oib_red5u3w6cer7ap3qny6zd35n3wcym_6kiihyvvqfjdlx4lz8l4zsilu6bf08oqqzg7u8lad_f3u44jgasnjjgp2pw4c3w9qe附录1.（1） function f=shujunihe(x,t) %建立函数文件对v,t进行数据拟合f=x(1)*x(2)*x(3)/(x(2)-x(1)*(exp(-t/x(2)-exp(-t/x(1)end t=0 0.955 2.435 3.435 4.355 5.230 6.085 6.945 7.815 8.690 9.575; v

19、=0 5.24 9.54 10.52 11.19 11.62 11.76 11.49 11.47 11.36 11.22; x0=0.2 0.05 0.05; x=lsqcurvefit(shujunihe,x0,t,v)x = %即为拟合出参数,k,f的值1.8510 47.9128 7.1541 （2）function s=shujunihe2(a,t) %建立函数文件s,t进行数据拟合s=a(1)*a(2)*a(3)/(a(2)-a(1)*(-a(1)+a(2)-a(2)*exp(-t/a(2)+a(1)*exp(-t/a(1)end t=0 0.955 2.435 3.435 4.35

20、5 5.230 6.085 6.945 7.815 8.690 9.575; s=0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95; a0=0.2 0.05 0.05;a=lsqcurvefit(shujunihe2,a0,t,s)a = 1.0e+003 *0.0014 1.2284 0.00852. syms t v=x(1)*x(2)*x(3)/(x(2)-x(1)*(exp(-t/x(2)-exp(-t/x(1);y=diff(f,t); p= solve(y); %解出拟合的 v-t函数的最大值点 v=vpa(p,5) t = 6.2645 v=x(1)*x(2)*x(3

21、)/(x(2)-x(1)*(exp(-t/x(2)-exp(-t/x(1) %解出拟合的 v-t函数的最大值 v= 11.619205894811502042846273899606 syms t s=a(1)*a(2)*a(3)/(a(2)-a(1)*(-a(1)+a(2)-a(2)*exp(-t/a(2)+a(1)*exp(-t/a(1) s= 20194203472002018070346247605727/(1267650600228229401496703205376*exp(2251799813685248*t)/3080858237213429) - 35413289198502315649416190195659/(2475880078570760549798248448*exp(4398046511104*t)/5402704983402393) + 8843461848711516211103688124617/618970019642690137449562112 t=6.2645; s=a(1)*a(2)*a(3)/(a(2)-a(1)*(-a(1)+a(2)-a(2)