抛物线及其标准方程

1、人教A选修1-1,引入：,我们知道二次函数在图象是抛物线，那么满足什么特点的曲线才是抛物线呢，它有什么几何性质？,如图，点F是定点， L是不经过点 F的定直线。 H是L上任意一点，过点H作 ，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？,提出问题：,m,E,（动点）M,F,l,e=1,在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,点F叫抛物线的焦点, 直线l 叫抛物线的准线,d,1、抛物线的定义：,M,F,l,步骤1：建系,2、抛物线的标准方程：,以过F点垂直于直线l的直线为x轴，垂足为k，以KF的中点为原点

2、，建立直角坐标系,标准方程的推导,步骤2：设点,步骤3：列式,步骤4：化简,设抛物线上任意一点坐标为M（x，y）,标准方程,y2 = 2px (p0)叫做抛物线的标准方程，焦点在 x 轴正半轴上.,p的几何意义是: 焦点到准线的距离 即KF=p,焦点坐标是,准线方程为:,想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？,.,F,（1）如何判断对称轴？ （2）如何判断开口方向？,一次项系数为x（y），则对称轴为x轴（y轴）,等式右侧系数为正，则开口向上或向右,例1 (1)已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，求它的焦点坐标和准线方程;,(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2

3、),求它的标准方程.,解:(1)因为p=3，所以焦点坐标是 , 准线方程是,练习：,1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：,（1）焦点是F（3，0）；,（2）准线方程 是x = ；,（3）焦点到准线的距离是2。,y2 =12x,y2 =x,y2 =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y,2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20 x （2）x2= y （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0,（5，0）,x= -5,（0，-2）,y=2,2.抛物线的标准方程与其焦点、准线,1.抛物线的定义,小结,在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不

4、经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.,复习回顾： 我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：,都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.,(2) 当e1时，是双曲线;,(1)当0e1时,是椭圆;,(其中定点不在定直线上),那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？,问题探究： 当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？,几何画板观察,探究？,可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图) 我们把这样的一条曲线叫做抛物线.,想一想?,这种坐标系下的抛物线方程形式怎样?,设KF= p,设点M的坐标为（x，y），,由定义可知 |MF|=|MN| 即：,解：设取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴,N,F,M