第二章 初等模型.ppt

1、第二章 初等模型,衡量一个模型的优劣全在于它的应用效果，而不在于它采用了多么高的数学方法。解决实际问题，应尽可能用简单而且初等的方法建模，方法越简单而且初等，模型就越容易被人理解、接受和采用，因而就更有价值。,初等模型通常指研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型就能达到建模的目的时，可以用初等数学的方法来构造和求解的模型。,2.1 椅子能在不平的地面上放稳吗,在地面上放椅子，由于地面凹凸不平，椅子难以一次放稳，因此有人提出这样的问题： 4条腿长度相等的椅子放在不平的地面上，4条腿是否能同时着地？,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接

2、触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,椅子能在不平的地面上放稳吗,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f(),B,D 两脚与地面距离之和 g(),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD 绕O点旋转,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f() , g()是连续函数,对任意, f(), g()至少一个为0,数学问题,已知： f

3、() , g()是连续函数 ; 对任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0)

4、= 0.,评注和思考,建模的关键 ,考察四脚呈长方形的椅子,和 f(), g()的确定,2.3 雨中行走问题,当你从宿舍楼出来时，发现天已经下起大雨，此时上课的预备铃刚刚响过，如果上楼取雨具，势必造成上课迟到，于是你决定冒雨前行。当然，既不会迟到又能使身上淋雨量最少是你的愿望。 我们的问题是：是否走得越快身上的淋雨量越少？试就这一问题，建立数学模型予以解决，并用下列的相关数据验证模型的正确性.,问题分析,2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间单位面积上的所降雨水的深度。在这里可视其为一常量。,3）风速保持不变。你一定常的速度 米/秒跑完全程 米。,1）把人体视为长方体，身高

5、 米，宽度 米，厚度 米。淋雨总量用 升来记。,影响淋雨量的因素：行走速度，行走距离，淋雨时间，雨滴下落的速度、角度，降雨强度，淋雨面积等。且其中很多因素是变化的。,模型假设,1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。,淋雨的面积,雨中行走的时间,降雨强度,模型中,结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能 减少淋雨量。,模型建立与求解,从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。,原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问

6、题过于简化。,2）考虑降雨方向。,人前进的方向,若记雨滴下落速度为 （米/秒）,雨滴的密度为,雨滴下落的反方向,表示在一定的时刻 在单位体积的空间 内，由雨滴所占的 空间的比例数，也 称为降雨强度系数。,所以，,因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。,顶部的淋雨量,前表面淋雨量,总淋雨量（基本模型）,可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。 问题转化为给定 ，如何选择 使得 最小。,情形1,结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得,情形2,结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时

7、淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得,情形3 雨从后方下落,此时，雨滴将从后面向你身上落下。,人前进的方向,分情况讨论如下：,当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即,这时，雨滴将淋在顶上和后背上，而淋在背上的雨水量是,淋雨总量为,情形一,再次代如数据，得,结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋 雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。,当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即,你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。胸前被淋得雨量是,淋雨总量为,情形二,此时只有顶部被淋。否则速度过大，人将不断追赶雨滴，雨水淋在胸部而导致总淋雨量增加。,若雨是垂直下落或迎着你前进的方向向你

8、落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑； 若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度， 让它刚好等于落雨速度的水平分量。,模型结论,2.4 人狗鸡米过河问题,人，狗，鸡，米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物。当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、 鸡、米怎样安全过河？,物在南岸时，相应分量记为1，否则记为0。,表示人和鸡在南岸，狗和米在北岸，称为状态向量。,将人、狗、鸡、米依次用四维向量中的四个分量表示，,当一,例如向量(1,0,1,0),模型求解,1. 穷举法模型,由问题中的限制条件，有些状态是允许的，有些是不允许的.,船的一次运载也用向量表示,当一物在船上时相应分量记

9、为1,例如(1,1,0,0)表示人和狗在船上，即人带狗过河。,凡系统可以允许存在的状态称为可取状态。,所有可取状态向量为,下边5个状态正好是上边5个的相反状态。,否则记为0。,本系统的运算向量共有四个：,(1,0,1,0)、(1,1,0,0)、(1,0,0,1)、(1,0,0,0),0+0=0 , 1+0=0+1=1 , 1+1=0 。,一次过河就是一状态向量和一运算向量的二进制加法，即,渡河过程就是由(1,1,1,1)经过加法运算后到另一可取状态,经过奇数次加法运算,最后到达(0,0,0,0) 状态。,总共,作法如下：（表示不可取状态， 为重复的可取状态）,已出现状态(0,0,0,0),说明

10、经过7次运算，,人、狗、鸡、米已安全过河。,这种方法的优点在于使用计算机能求出所有转移过程，并比,较出最优者求出最优解。,另外，人、狗、鸡、米问题还可以用图论的方法求解。,2. 图解法模型,将本系统的10个可取状态用10个点表示，,当且仅当可取状态A,经过某一运算向量后为可取状态B，就从A点向B点连一条线，,这样构成了一个图G,图G,从点(1,1,1,1)到(0,0,0,0)的最短路就是一个最优解.,共有两个最优解,2.6 铺瓷砖问题,要用40块方形瓷砖铺设如图所示图形的地面,但当时商店只有长方形瓷砖,每块大小等于方形的两块.一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面,结果弄来弄去始终无法完整铺好.

11、,问题分析,模型求解,在图上上白、红相间的染色.然后仔细观察,发现共有19个白格和21个红格.一块长方形瓷砖可盖住一白一红两格,所以铺上19块长方形瓷砖.(无论用什么方法),总要剩下2个红格没有铺.而一块长方形瓷砖是无法盖住2个红格的,唯一的办法是把最后一块瓷砖一断为二.,用20块长方形瓷砖正好铺成图上所示的地面的可能性是否存在?只有可能性存在才谈得上用什么方法铺的问题.,：该法称为“奇偶校验法”。 如果两数有相同的奇偶性，称具有相同的奇偶性。如果两数一奇一偶，称两数有相反的奇偶性。 ：铺瓷砖问题中： 同色的两个格子具有相同的奇偶性，异色的两个格子具有相反的奇偶性。 ：数学上许多不可能性的证明

12、常用“奇偶校验法”。,思考：,： 对于一个的棋盘。假定有外形完全一样的 骨牌，每一骨 牌可以覆盖棋盘上两个邻接的方格。 如果用一些骨 牌覆盖棋盘，使得棋盘上所有方格 都被覆盖，并且没有两块骨 牌交叠，称这一覆盖 是棋盘的完全覆盖。 对于一个减去两个对角的88棋盘，是否存在 完全覆盖？ 2：设一所监狱有64间囚室，其排列类似88棋盘，典 狱长告诉关在一个角落囚室里的囚犯，只要他能够 不重复地通过每间囚室，他将被释放。问囚犯能获 得自由吗？（所有相邻囚室都有门相通）,众所周知，在寒冷的北方，由于冬天天气非常严寒。人们总要想办法室内保温，在以前人们喜欢用炭火为室内加温，然而由于一氧化碳中毒事件常有发

13、生，而且国际市场上的能源价格一路上涨，人们又想了好多办法来阻止室内热量的流失，其中一种就是把玻璃窗用双层玻璃。那双层玻璃真能有那么神奇的效果吗？,背景,2.8 双层玻璃的功效,我们比较两座其他条件完全相同的房屋，它们的差异仅仅在窗户不同。其中一间是用双层玻璃，一间用双层玻璃合起来那么厚的单层玻璃，来研究一下双层玻璃到底有多大的功效。,房屋一如下图：,房间二如下图：,单位时间，单位面积热量由室内流向室外,问题的提出,由于我们讨论的是单位时间、单位面积窗户玻璃的作用，所以我们不能有空气流通的情形发生；而且我们也需要室内和室外的温度都是恒定的，不然无法得到稳定的结论；同时我们也要求玻璃是均匀的，这样

14、热传导系数才是不变化的。,不妨可以提出以下 假设： 1、设室内热量的流失是热传导引起的，不存在户内外的空气对流。 2、室内温 度T1与户外温 度T2均为常数。 3、玻璃是均匀的，热传导系数为常数。,提出假设,记双层玻璃窗传导的热量Q1,Ta内层玻璃的外侧温度,Tb外层玻璃的内侧温度,先看双层玻璃的情况：,设单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为Q1 。,解得：,建模,所以有：,再来看双层无缝隙玻璃的情况：,记双层无缝隙窗传导的热量Q2,比较Q1和Q2,显然Q1Q2 ，为了得到更具体的结果，我们由有关资料知：k1=410-3 8 10-3, k2=2.510-4, k1/k2=16 32 。,对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，取k1/k2 =16