根轨迹法习题及答案

1、第四章第四章 根轨迹法习题及答案根轨迹法习题及答案 4-1 系统的开环传递函数为 )4)(2)(1( )()( * + = sss K sHsG 试证明点31 1 js+=在根轨迹上，并求出相应 的根轨迹增益 * K和开环增益K。 解 若点在根轨迹上， 则点应满足相角条 件 1 s 1 s ) 12()()(+=ksHsG，如图解 4-1 所示。 对于31js+=，由相角条件 =)()(11sHsG =+)431()231() 131(0jjj = 632 0 满足相角条件，因此31 1 js+=在根轨迹上。将代入幅值条件： 1 s 1 431231131 )( * 11= + = jjj K

2、 sHsG）（ 解出 ： 12 * =K ， 2 3 8 * = K K 4-2 已知开环零、极点如图 4-22 所示，试绘制相应的根轨迹。 （）（）（）（） 1 （） （） （） （） 题 4-22 图 开环零、极点分布图 解 根轨如图解 4-2 所示： 图解 4-2 根轨迹图 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。 ) 15 . 0)(12 . 0( )( + = sss K sG ) 3)(2( )5( )( * + + = sss sK sG ) 12( ) 1( )( + + = ss sK sG 2 解 )2)(5( 10 ) 15 . 0)(12 . 0(

3、 )( + = + = sss K sss K sG 系统有三个开环极点：,0 1 =p2 2 =p,5 3 =p 实轴上的根轨迹： , (5,0 , 2 渐近线： = + = = = , 33 ) 12( 3 7 3 520 k a a 分离点： 0 2 1 5 11 = + + + + ddd 解之得：，(舍去)。 88. 0 1 =d7863. 3 2 d 与虚轴的交点：特征方程为 010107)( 23 =+=kssssD 令 =+= =+= 010)(Im 0107)(Re 3 2 jD kjD 解得 = = 7 10 k 与虚轴的交点（0，j10） 。 根轨迹如图解 4-3(a)所

4、 示。 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：, 3, 5 0 , 2 渐近线： = + = = = 22 ) 12( 0 2 )5(320 k a a 分离点： 5 1 3 1 2 11 + = + + + + dddd 用试探法可得 886. 0=d。根轨迹如图解 4-3(b)所示。 3 ) 2 1 (2 ) 1( ) 12( ) 1( )( + + = + + = ss sK ss sK sG 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：, (1,0 , 5 . 0 分离点： 1 1 5 . 0 11 + = + + ddd 解之得：。根轨迹如图解 4-3(c)所示。 707. 1,293. 0=dd

5、 4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。 )21)(21( )2( )( * jsjs sK sG + + = )1010)(1010( )20( )( * jsjss sK sG + + = 解 )21)(21( )2( )( * jsjs sK sG + + = 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： (2, 分离点： 2 1 21 1 21 1 + = + + +djdjd 解之得： 23. 4=d 起始角： 43.15390435.63180 1 =+= p 由对称性得另一起始角为 。 43.153 根轨迹如图解 4-4(a)所示。 )1010)(1010( )2

6、0( )( * jsjss sK sG + + = 系统有三个开环极点和一个开环零点。 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 0,20 4 起始角： =+=01359045180 根轨迹如图解 4-4(b)所示。 4- 已知系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。 )208( )()( 2 + = sss K sHsG )5)(2)(1( )()( + = ssss K sHsG )22)(3( )2( )()( 2 + + = ssss sK sHsG )164)(1( ) 1( )()( 2 + + = ssss sK sHsG 解 )208( )()( 2 + = sss K sHsG

7、 实轴上的根轨迹： (0 , 渐近线： = + = = + = , 33 ) 12( 3 8 3 )24()24(0 k jj a a 分离点： 0 24 1 24 11 = + + + + jdjdd 解之得：33. 3, 2=dd。 与虚轴交点： +=KssssD208)( 23 把js =代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得： = = 020)(Im( 08)(Re( 3 2 jD KjD 5 解得： = = 0 0 K = = 160 52 K 起始角：由相角条件 ，。 63 2 = p 63 3 = p 根轨迹如图解 4-5(a)所示。 )5)(2)(1( )()( + = ss

8、ss K sHsG 实轴上的根轨迹： ,2, 5 0 , 1 渐近线： = + = = + = 4 3 , 44 ) 12( 2 4 ) 1()2()5(0 k a a 分离点： 0 5 1 2 1 1 11 = + + + + + + dddd 解之得：54 . 1 ,399 . 0 ,06 . 4 321 =ddd(舍去)； 与虚轴交点： +=KsssssD10178)( 234 令js =，带入特征方程，令实部，虚部分别为零 =+= =+= 05)6()(Im( 028)(Re( 3 24 KjD KjD 解得： = = 0 0 K = = 7 .19 12. 1 K 根轨迹如图解 4-

9、5(b)所示。 )22)(3( )2( )()( 2 + + = ssss sK sHsG 系统有四个开环极点、一个开环零点。根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： ,3, 0 , 2 6 渐近线： = + = = + = , 33 ) 12( 1 3 )2() 11() 11(3 k jj a a 与虚轴交点：闭环特征方程为 )2()22)(3()( 2 += sKsssssD 把js =代入上方程，令 =+= =+= 05)6()(Im( 028)(Re( 3 24 KjD KjD 解得： = = 0 0 K = = 03. 7 61. 1 K 起始角 =+=57.2557.251359045

10、180 3 p 根轨迹如图解 4-5(c)所示。 )164)(1( ) 1( )()( 2 + + = ssss sK sHsG 系统根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： ,1,1 , 0 渐近线： = + = = + = , 33 ) 12( 3 2 3 ) 1()32()32(1 k jj a a 分离点： 1 1 322 1 322 1 1 11 + = + + + + + djdjddd 解得：16 . 2 76 . 0 ,49 . 0 ,26 . 2 4321 jddd= 、 (舍去) 与虚轴交点：闭环特征方程为 0) 1()164)(1()( 2 =+= sKsssssD 把js =

11、代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： 7 = =+= 03)16()(Im( 012)(Re( 3 24 KjD KjD 解得： = = 0 0 K = = 7 .21 38. 1 K = = 3 .37 66. 2 K 起始角： 79.5489.130120901.106180 3 =+= p 由对称性得，另一起始角为 ，根轨迹如图解 4-5(d)所示。 79.54 4- 已知单位反馈系统的开环传递函数，要求： （1）确定 )20)(10( )( )( 2 + + = sss zsK sG产生纯虚根为1 j的值和z K值； （2）概略绘出 )23)(23)(5 . 3)(1( )( jsj

12、ssss K sG + = 的闭环根轨迹图（要求 确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角） 。 解（1）闭环特征方程 020030)()20)(10()( 2342 =+=+= zKsKssszsKssssD 有 0)30()200()( 324 =+= KjzKjD 令实虚部分别等于零即： = =+ 030 0200 3 24 K zK 把1=代入得： ， 30= K30199=z。 （2）系统有五个开环极点： 23, 23, 5 . 3, 1, 0 54321 jpjpppp=+= 实轴上的根轨迹： ,5 . 3,0 , 1 渐近线： 13.5( 32)( 32) 2.1 5 (2

13、1)3 , 555 a a jj k + + = + = 8 分离点： 0 23 1 23 1 5 . 3 1 1 11 = + + + + + + + + jdjdddd 解得： , (舍去) , 45. 0 1 =d4 . 2 2 d90 . 1 25 . 3 43 jd= 、 (舍去) 与虚轴交点：闭环特征方程为 0)23)(23)(5 . 3)(1()(=+= KjsjsssssD 把js =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： =+= =+= 05 .455 .43 )Im( 05 .795 .10)Re( 35 24 j Kj 解得： ，（舍去） = = 0 0 K = = 90

14、.71 02. 1 K = = 3 .15546 52. 6 K 起始角：根据法则七（相角条件） ，根轨迹的起始角为 图解 4-6 根轨迹图 74.923.1461359096.75180 4 = p 由对称性得，另一起始角为，根轨迹如图解 4-6 所示。 74.92 4- 已知控制系统的开环传递函数为 22 )94( 2 )()( + + = ss sK sHsG ）（ 试概略绘制系统根轨迹。 解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 2, 渐近线： = + = = + = , 33 ) 12( 3 2 3 )2(5252 k jj a a 图解 4-7 根轨迹图 分离点： 2 1 52 2

15、52 2 + = + + +djdjd 9 解之得： (舍去) 29. 3=d71. 0=d 与虚轴交点：闭环特征方程为 02)94()( 22 =+= ）（sKsssD 把js =代入上方程，令 =+= =+= 08)72()(Im( 028134)(Re( 3 24 KjD KjD 解得： = = 96 21 K 起始角： ）（）（12902290 1 +=k p 解出 135,45 21 = pp 根轨迹如图解 4-7 所示。 4- 已知系统的开环传递函数为 )93( )( 2 + = sss K sG 试用根轨迹法确定使闭环系统稳定的开环增益K值范 围。 图解 4-8 根轨迹图 解 根

16、轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： (0 , 起始角： 30 渐近线： = + = = + = , 33 ) 12( 1 3 6 . 25 . 16 . 25 . 1 k jj a a 与虚轴交点：闭环特征方程 0)9()( 2 =+= KssssD 把js =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： 10 = = 09)(Im( 03)(Re( 3 2 jD KjD 解得： = = 0 0 K = = 27 3 K 根轨迹如图解 4-8 所示。从根轨迹图可知，闭环系统稳定的 K范围为，又270 K 9 * KK =，故相应的的K范围为30 K。 4- 单位反馈系统的开环传递函数为 ) 1 7 4

17、 () 1( ) 12( )( 2 + + = ss sK sG 试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的K值范围。 解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 4/7 , 5 . 0 图解 4-9 根轨迹图 渐近线： = + = = + = 22 ) 12( 4 1 2 )5 . 0(4/711 k a a 与虚轴交点：闭环特征方程为 01) 7 10 2( 7 1 7 4 )( 23 =+=KsKsssD 把js =代入上方程，令 = = 0 7 4 ) 7 10 2()(Im( 0 7 1 1)(Re( 3 2 KjD KjD 解得： ， = = 1 0 K = = 7 9 2 K 根轨迹如图解

18、 4-9 所示。由图解 4-9 可知使系统稳定的K值范围为 791 K。 11 4-10 单位反馈系统的开环传递函数为 )5 . 0)(2( )52( )( 2 + + = ss ssK sG 试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的K值范围。 解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 5 . 0 , 2 分离点：由 21 1 21 1 2 1 5 . 0 1 jdjddd + + = + + 解得： 。 41. 0 1 =d 与虚轴交点： 0)52()5 . 0)(2()( 2 =+= ssKsssD 把 s=j代入上方程，令 = =+= 0)25 . 1 ()(Im( 015)1 ()(Re( 2

19、 KjD KKjD 图解 4-10 根轨迹图 解得： = = 2 . 0 0 K = = 75. 0 25. 1 K 根轨迹如图解 4-10 所示。由图解 4-10 可知系统稳定的 K值范围为；又 ， 75. 02 . 0 K = KK5 所以系统稳定的 K值范围为75. 31 K。 4-11 试绘出下列多项式方程的根轨迹。 ； 0232 23 =+KKssss 010)2(3 23 =+KsKss 解 0232 23 =+KKssss 作等效开环传递函数 sss sK sG 32 )2( )( 23 * + + =。 根轨迹绘制如下： 12 实轴上的根轨迹： 0 , 2 渐近线： = + =

20、 = + = 22 ) 12( 0 2 )2()21(21 k jj a a 起始角： 48.1926.1259074.54180 1 =+= p 根轨迹如图解 4-11(a)所示。 图解 4-11(b) 根轨迹图 (2) 010)2(3 23 =+KsKss 作等效开环传递函数 sss sK sG 23 )10( )( 23 * + + =。 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：,2,10 0 , 1； 渐近线： = + = = = 22 ) 12( 5 . 3 2 )10(21 k a a 分离点： 10 1 2 1 1 11 + = + + + + dddd 解得 4344. 0 1 =d

21、,(舍),4752.14 2 =d5904. 1 3 =d(舍) 图解 4-11(a) 根轨迹图 与虚轴交点：闭环特征方程为 010)2(3)( 23 =+=KsKsssD 把 s=j代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： =+= = 0)2()(Im( 0310)(Re( 3 2 KjD KjD 试根可得： 13 = = 0 0 K = = 7 6 69. 1 K 根轨迹如图解 4-11(b)所示。 4-12 控制系统的结构如图 4-23 所示，试概略绘制其根轨迹。 解 系统开环传递函数为 3 )2( ) 1( )( + + = s sK sG 此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。 实轴上的

22、根轨迹：,2,+ , 1 分离点： 1 1 2 3 + = +dd 图解 4-12 根轨迹图 解得 5 . 0=d 起始角：根据相角条件， = = n j j m i i k 11 2 得 ，。 60 1 = p 60 2 = p 180 3 = p 根轨迹如图解 4-12 所示。 4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为 )2( )1 ( )( + = ss sK sG 试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根的 K值。 解 由开环传递函数的表达式知需绘制根轨迹。 0 实轴上的根轨迹： ,0 , 2), 1 +； 分离点： 1 1 2 11 = + + ddd 解得： , 732. 0

23、 1 =d732. 2 2 =d 将, 代入幅值条件得 732. 0 1 = ds732. 2 2 = ds 14 54. 0 1 = d K , 46. 7 2 = d K 与虚轴交点：闭环特征方程为 0)1 ()2()(=+= sKsssD 把js =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： = =+= 0)2()(Im( 0)(Re( 2 KjD KjD 图解 4-13 根轨迹图 解得： = = 0 0 K = = 2 41. 1 K 根轨迹如图解 4-13 所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距 离为半径的圆 。系统产生重实根的 K为 0.54，7.46，产生纯虚

24、根的 K为 2。 4-14 已知单位反馈系统的开环传递函数， 试绘制参数从零变化到无穷大时的根轨迹， 并写出时系统的闭环传递函数。 b 2=b （1） )(4( 20 )( bss sG + = （2） )10( )(30 )( + + = ss bs sG 图解 4-14(a) 根轨迹图 解 （1）做等效开环传递函数 G (s) 204 )4( 2 + + = ss sb 实轴上的根轨迹： 4,( 分离点： 4 1 42 1 42 1 + = + + +djdjd 解得：(舍去)， 472. 0 1 =d472. 8 2 =d 如图解 4-14(a)所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到

25、开环极点的距离为半径的圆。 当时，两个闭环特征根为2=b24. 43 2, 1 j=。 此时闭环传递函数为 15 )24. 43)(24. 43( 20 )( jsjs s + = （2）做等效开环传递函数 G (s)= )40( 30 +ss b 实轴上的根轨迹： 0,40 图解 4-14(b) 根轨迹图 分离点： 0 40 11 = + + dd 解得： 20=d 根轨迹如图解 4-14(b)所示， 当时，两个闭环特征根为2=b44.38 1 =，56. 1 2 = 此时闭环传递函数为 )44.38)(56. 1( )2(30 )( + + = ss s s 4-15 已知系统结构图如图

26、4-24 所示，试绘制时间常数T变化时系统的根轨迹，并分析 参数T的变化对系统动态性能的影响。 图 4-24 系统结构图 解： ssTs sG 20 100 )( 23 + = 作等效开环传递函数 3 2 * )10020(1 )( s ssT sG + = 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：,10,(0 ,10 分离点： 10 23 + = dd 解得 。 30=d 根据幅值条件，对应的。 015. 0=T 虚轴交点：闭环特征方程为 010020)( 23 =+=ssTssD 把js =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得： 16 图解 4-15 根轨迹图 = = 020)(Im( 0100

27、)(Re( 3 2 TjD jD 解得： = = 2 . 0 10 T 起始角：= 60 1 p 参数T从零到无穷大变化时的根轨迹如图解 4-15 所示。 从根轨迹图可以看出，当015. 00 T时，系统阶跃响应为单调收敛过程； 时，阶跃响应为振荡收敛过程；时，有两支根轨迹在 s 右半平面， 此时系统不稳定。 2 . 0015. 0T 4-16 实系数特征方程 0)6(5)( 23 =+=asasssA 要使其根全为实数，试确定参数的范围。 a 解 作等效开环传递函数 )3)(2( ) 1( 65 ) 1( )( 23 + + = + + = sss sa sss sa sG 当时，需绘制根轨

28、迹。 0a 180 实轴上的根轨迹： ，2, 3 0 , 1 渐近线： = + = = + = 213 ) 12( 2 13 132 k a a 分离点： 1 1 3 1 2 11 + = + + + + dddd 解得 47. 2=d 分离点处的根轨迹增益可由幅值条件求得： 4147. 0 1 32 = + + = d ddd Kd 17 根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图所示。由根轨迹图解 4-16(a)可以看出，当 时，多项式的根全为实数。 4147. 00 a 当时，需绘制根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：0a 0(3,，1, 2 ， 。 ), 0 由根轨迹图图解 4-16(b)可以看出

29、，当0a时，多项式的根全为实数。因此所求参数 的范围为或。 a 4147. 00 a0a 4-17 某单位反馈系统结构图如图 4-25 所示，试分别绘出控制器传递函数为 )(sGc * 1 )(KsGc= )3()( * 2 +=sKsGc ) 1()( * 3 +=sKsGc 时系统的根轨迹，并讨论比例加微分控制器 中， 零点的取值对系统稳定性 的影响。 )()( * cc zsKsG+= c z 图 4-25 系统结构图 解 时 * 1 )(KsGc= 系统开环传递函数为 2)(s )( 2 * + = s K sG 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 2,( 渐近线： = + = = =

30、 , 33 ) 12( 3 2 3 2 k a a 图解 4-17(b) 根轨迹图 根轨迹如图解 4-17(a)所示。 ； )3()( 2 += sKsGc 系统开环传递函数为 2)(s )3( )( 2 + + = s sK sG，根轨迹绘制如 下： 实轴上的根轨迹： 2, 3 18 渐近线： = + = = = 22 ) 12( 2 1 2 )3(2 k a a 根轨迹如图解 4-17(b)所示。 ) 1()( 3 += sKsGc 系统开环传递函数为 2)(ss ) 1( )( 2 + + = sK sG。 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹： 1, 2 渐近线： = + = = = 22

31、 ) 12( 2 1 2 ) 1(2 k a a 图解 4-17(c) 根轨迹图 根轨迹如图解 4-17(c)所示。 从根轨迹图中可以看出， 比例加微分控制器的加入使根轨迹向左移 动，且当 )()( cc zsKsG+= pzc时系统趋于稳定，附加开环零点越靠近虚轴这种趋势越强。 4-18 某单位反馈系统的开环传递函数为 4 ) 15 . 0( )( + = s K sG 试根据系统根轨迹分析系统稳定性，并估算%3 .16% =时的K值。 图解 4-18 根轨迹图 解 4 )2( 16 )( + = s K sG 根轨迹绘制如下： 实轴的根轨迹：实轴上的除点2外没有根轨 迹区段。 19 渐近线： = + = = = 4 3 , 44 ) 12( 2 4 2222 k a a 与虚轴交点：令0)(=jD，解得根轨迹与虚轴交点为2j。根轨迹与虚轴交点 对应的根轨迹增益为 6422 4 =+= jK 相应开环增益为 416 * = KK 根轨迹如图解 4-18 所示。 从根轨迹图中可以看出，当根轨