概率论与数理统计习题解答 (5)

1、概率论与数理统计概率论与数理统计 习题五解答习题五解答 1. 正常人的脉搏平均为 72 次/分，现某医生测得 10 例慢性四乙基铅中毒者的脉搏 （次/分）如下： 54 67 68 78 70 66 67 70 65 69 问患者与正常人的脉搏有无显著差异（患者的脉搏可视为服从正态分布。05. 0=） 解：设患者的脉搏为计算其样本均值与样本方差分别为,X93. 5, 4 .67=sx 在检验水平05. 0=下，检验假设72:72: 0100 =HH 当假设为真时，取检验统计量 0 H)9( 10/ 72 t S X T = 由 05. 0)9( 10/ 72 2 05. 0 = t S X P

2、查表得：2622. 2)9( 2 05. 0 =t，故拒绝域为),2622. 2()2622. 2,(+U. 代入样本值得 T 值为 2622. 2453. 2 10/93. 5 724 .67 = =T 所以拒绝，即患者与正常人的脉搏有显著差异。 0 H 2.某厂生产的某种钢索的断裂强度服从的分布，其中，现从一批 ),( 2 N)/(40 2 cmkg= 这种钢索的容量为 9 的一个样本测得断裂强度X，它与正常生产时的相比，较大 20， )/( 2 cmkg 设总体方差不变，问在01. 0=下能否认为这批钢索质量有显著提高？ 解：在检验水平01. 0=下，检验假设 0100 :=HH 当假设

3、为真时，取检验统计量 0 H) 1 , 0( 9/ 0 N X U = 由 01. 0 9/ 01. 0 0 = Z X P 查表得：，故拒绝域为325. 2 01. 0 =Z),325. 2(+. 代入样本值得 T 值为 325. 25 . 1 3/40 20 t S X P 查表得：6041. 4)4( 2 01. 0 =t，故拒绝域为),6041. 4()6041. 4,(+U. 代入样本值013. 0,252. 3=sx得 T 值为 6041. 4344. 0 5/013. 0 25. 3252. 3 = =T 所以接受，即可以认为这批矿砂的镍含量均值为 3.25。 0 H 4. 测定

4、某种溶液中的水分，它的 10 个测定值给出%037. 0%,452. 0=sx，设测定值总体为正态分 布，为总体均值，试在05. 0=下检验假设 %04. 0:%;04. 0:)2( %5 . 0:%;5 . 0:) 1 ( 10 10 = = HH HH 解： （1）当假设为真时，取检验统计量 0 H)9( 10/ 005. 0 t S X T = 由 05. 0)9( 10/ 005. 0 05. 0 = t S X P 查表得：，故拒绝域为8331. 1)9( 05. 0 =t)8331. 1,(. 代入样本值%037. 0%,452. 0=sx得 T 值为 8331. 11024. 4

5、 10/%037. 0 %5 . 0%452. 0 = =T 所以拒绝，接受。 0 H 1 H （2）当假设为真时，取检验统计量 0 H)9( %)04. 0( ) 110( 2 2 2 S K = 由 05. 0)9( %)04. 0( 9 05. 01 2 2 2 = = =K 所以接受，拒绝。 0 H 1 H 5. 一种元件，用户要求元件的平均寿命不得低于 1200 小时，标准差不得超过 50 小时，今在一批元 件中抽取 9 只，测得平均寿命1178=x小时，标准差54=s小时。已知元件寿命服从正态分布， 试在05. 0=下确定这批元件是否合乎要求？ 解： （1）在检验水平05. 0=下

6、，检验假设1200:1200: 0100 =HH 当假设为真时，取检验统计量 0 H)8( 9/ 1200 t S X T = 由 05. 0)8( 9/ 1200 05. 0 = = =T 所以接受，即可以认为这批元件的平均寿命大于 1200 小时。 0 H （2）在检验水平05. 0=下，检验假设50:50: 0100 =HH 当假设为真时，取检验统计量 0 H)8( )50( ) 19( 2 2 2 S K = 由 05. 0)8( )50( 8 05. 0 2 2 2 = S P 查表得：，故拒绝域为507.15)8(05. 0 2 =),507.15(+. 代入样本值54,1178=

7、sx得 K 值为 507.153312. 9 )50( )54(8 2 2 =HH 当假设为真时，取检验统计量 0 H)8( )005. 0( ) 19( 2 2 2 S K = 由 05. 0)8( )005. 0( 8 05. 0 2 2 2 = S P 查表得：，故拒绝域为507.15)8(95. 0 2 =),507.15(+. 代入样本值得 K 值为 007. 0=s507.1568.15 )005. 0( )007. 0(8 2 2 = =K 所以拒绝，故可以认为这批导线的标准差显著地偏大。 0 H 7. 某厂使用两种不同的原料 A, B 生产同一类产品，现抽取用原料 A 生产的样

8、品 220 件，测得平均 重量为 2.46kg，标准差为 0.57kg。抽取用原料 B 生产的样品 205 件，测得平均重量为 2.55kg，标 准差为 0.48kg。设这两个总体都服从正态分布，且方差相等，问在显著水平05. 0=下能否认为 使用原料 B 生产的产品平均重量较使用原料 A 生产的产品平均重量为大？ 解：在检验水平05. 0=下，检验假设 BABA HH=: 10 当假设为真时，取检验统计量 0 H)2205220( 205 1 220 1 + + =t S YX T 由 05. 0)223( 205 1 220 1 05. 0 = + t S YX P 查表得：，故拒绝域为6

9、45. 0)223( 05. 005. 0 =Zt)645. 1,(. 代入样本值48. 0,55. 2,57. 0,46. 2= BBAA sxsx得 T 值为 645. 17556. 1 205 1 220 1 2205220 48. 020457. 0219 55. 246. 2 22 + t S YX P 查表得：，故接受域为1009. 2)18( 025. 0 =t)1009. 2,1009. 2(. 代入样本值173. 0, 7 . 5,253. 0, 6 2211 =sxsx得 T 值为 1009. 20226. 3 9 1 11 1 2911 173. 08253. 010 7

10、 . 56 22 = + + + =T 所以拒绝，故可以认为两台机器的加工精度有显著差异。 （注：书中答案不对。 ） 0 H 9. 甲乙两位化验员， 对一种矿砂的含铁量各独立地用一方法做5次分析， 得到样本方差分别为0.4322 和 0.5006。若甲、乙测定值的总体都是正态分布，其方差分别为，试在水平 22 乙甲和 05. 0=下 检验假设。 22 1 22 0 :,: 乙甲乙甲 =HH 解：当假设为真时，取检验统计量 0 H)4 , 4( 2 2 F S S F 乙 甲 = 由 05. 0)4 , 4()4 , 4( 2 05. 0 2 2 2 05. 0 1 2 2 = F S S F

11、S S P 乙 甲 乙 甲 U 查表得：1042. 0 )4 , 4( 1 )4 , 4(, 6 . 9)4 , 4( 025. 0 2 05. 0 1 2 05. 0 = F FF， 故拒绝域为. ), 6 . 9()142. 0, 0(+U 代入样本值得 F 值为5006. 0,4322. 0 22 = 乙甲 ss8634. 0 5006. 0 4322. 0 =F 所以接受，故可以认为。 0 H 22 乙甲 = 10. 某建筑构件厂使用两种不同的沙石生产混凝土预制块, 各在所产产品中取样分析.取使用甲种沙 石的预制块 20 块,测得平均强度为 310kg / cm2,标准差为 4.2kg

12、 / cm2,取使用乙种沙石的预制块 16 块,测得平均强度为 308kg / cm2,标准差为 3.6kg / cm2,设两个总体都服从正态分布,在=0.01 下,问 (1)能否认为两个总体方差相等? (2)能否认为使用甲种沙石的预制块的平均强度显著的高于用乙种沙石的预制块的平均强度? 解：设使用甲、乙两种沙石的混凝土预制块的强度分别为X、Y，则XN（, 1 2）,YN（ 2, 2 2）. （1）在检验水平a=0.01 下检验假设 H0 ：1 2= 2 2 H 1： 1 2 2 2 在H 0为真时，取统计量 )15,19( 2 2 F S S F 乙 甲 =，由PF F0.01/2（19,1

13、5） =0.01, 查分布表得F0.01/2（19,15） =3.88, F1-0.01/2(19,15)=1/ F0.005(15,19)=0.28， 从而拒绝域为(0,0.28)(3.88,+)。 将样本值 S1=4.2,S2=3.6 代入,得 F 的数值为 4.2 2/3.62=1.36， 0.281.36=HH 当假设为真时，取检验统计量 0 H)21620( 16 1 20 1 + + =t S YX T 由 01. 0)34( 16 1 20 1 01. 0 = + t S YX P 查表得：，故拒绝域为4411. 2)34( 01. 0 =t),4411. 2(+. 代入样本值6 . 3308, 2 . 4310 2211 =sxsx，得 T 值为 4411. 251. 1 21620 6 . 3152 . 419 308310 22 =HH 当假设为真时，取检验统计量 0 H)299( 9 1 9 1 + + =t S YX T 由