2025北京八中高二(上)期中数学试题及答案

高中2025北京八中高二（上）期中数学年级：高二科目：数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（）A. B. C. D.2.设aR，则“a＝1”是“直线：ax＋2y－1＝0与直线：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.椭圆的短轴长为A. B. C.2 D.44.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为A. B. C. D.5.已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1 B.2C.3 D.46.如图所示，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论：①；②；③；④平面的法向量和平面的法向量互相垂直．错误的结论是（）A.① B.② C.③ D.④7.正方体中，点分别为正方形及的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.已知为圆上一点，、，则的最小值为（）A. B. C. D.9.已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为A. B. C. D.10.如图，在正方体中，E为棱的中点．动点P沿着棱从点D向点C移动，对于下列三个结论：①存在点P，使得；②的面积越来越小；③四面体的体积不变．其中，所有正确结论的个数是（）．A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.若直线与直线互相垂直，则实数=_______12.如图，在直三棱柱中，．若，则与平面所成的角的大小为______．13.椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于_____.14.椭圆的左焦点为F，直线与椭圆相交于点A，B，当的周长最大为______时，的面积是______.15.在平面直角坐标系xOy中，已知点，，定义为“曼哈顿距离”.若，则点的轨迹所围成图形的面积为______；圆上一点与直线上一点的“曼哈顿距离”的最小值是______.三、解答题（共6题，满分85分）16.已知点，圆.（1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值.17.如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.18.已知椭圆的离心率为，且过点，O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.19.如图，已知斜三棱柱中，平面底面，，，，又，，点为线段的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）设线段的中点为，设直线与平面相交于点，求线段的长度.20.椭圆的一个焦点为，且过点.（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线与椭圆C交于两点，，为坐标原点，若为直角三角形，求直线l的斜率.21.将正整数任意排成n行n列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（1）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（2）若表示某个n行n列数表中第i行第j列的数（，），且满足，请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（3）对于由正整数排成的n行n列的任意数表，记其“特征值”为，求证：.

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）题号12345678910答案CAACBDCCAD二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.【答案】，即12.【答案】连接,由于直三棱柱中，平面，平面，故,又,平面，故平面,由于,所以平面,故为与平面所成的角，由于，所以,，由于为锐角，所以，故答案为：13.【答案】解：由题意可知，，，从而，所以，所以.故答案为：14.【答案】设椭圆的右焦点为，根据椭圆的定义可知，当且仅当经过右焦点时，取得最大值.此时直线，代入椭圆方程可得，此时.故答案为：8；3.15.【答案】第一空：设，则①，将代入①得，将代入①得，所以曲线关于轴和轴对称，故曲线所围成图形的面积，等于与轴和轴所围成图形面积的4倍，易知分别与轴和轴交于点，所以与轴和轴所围成图形面积为，所以曲线所围成图形的面积为；第二空：设圆上动点为，直线上动点为，则，由，，则，当固定不动时，记，则时，取得最小值，，其中，当在圆上运动时，的最大值为1，所以.故答案为：；.三、解答题（共6题，满分85分）16.【答案】（1）由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外，当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切，当过点的直线存在斜率k时，设，即，由题意知，解得，直线l的方程为，故过点M的圆的切线方程为或.（2）圆心到直线的距离为，则，所以，解得.17.【答案】（1）因为，，则，即，所以在中，所以，因为底面，平面，所以，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以；（2）因为底面，平面，所以，结合（1）可知两两垂直，以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，所以，，，，所以，，，设平面的法向量，则，取，则，设平面的法向量，则，取，则，所以，由图可知该二面角为钝角，故二面角的余弦值为；（3）由（2）知平面的法向量为，，所以点到平面的距离.18.【答案】（1）由题意可得，解得，故椭圆C的方程为；（2）由题意可得直线斜率不为，则可设，设、，联立，消去得，，，；则，则，化简得，即，则，即直线的方程为.19.【答案】（1）连接，设与交于点，连接，由三棱柱性质可得，侧面为平行四边形，故为、中点，又为线段中点，故为中位线，故，又平面，平面，故平面；（2）由，为线段中点，故，又平面平面，平面平面，平面，故平面，又平面，故，又，即，故、、两两垂直，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，其中轴，其中，，由，则为等腰直角三角形，故，则、、、、、，则，，，设平面的法向量为，则，取，则，设直线与平面所成角为，则；（3）由为线段的中点，则，则，设，则，由平面，则存在实数、，使得，即有，解得，即，则，故，即线段的长度为.20.【答案】（1）由题意可得，，解得，，故；（2）由题意可得直线斜率存在，则可设，设、，联立，消去得，，即，，；由为直角三角形，则当为直角时，有，解得；当或为直角时，由对称性，不妨设为直角，有，即，又，联立，解得，故；由与均大于，故直线l的斜率为或.21.【答案】（1）显然，交换任何两行或两列，“特征值”不变，可设1在第一行第一列，考虑与1同行或同列的两个数只有三种可能，2，3或2，4或3，4．得到数表的不同“特征值”是或；（2）当时,数表为：714582369此时，数表的“特征值”为；当时,数表为：13159101426711153481216此时，数表的“特征值”为；当时,数表为：21161116172227121318233891419244510152025此时，数表的“特征值”为；归纳猜想“特征值”为：；证明：由，则，则这个较大的数都在数表的对角线上，即在这个数表的不同行且不同列中，又此类数表的第行第列的数为，即非对角线中最大的数为在第行第列，由第行最大的数为，第列最大的数为，则此类数表的“特征值”为；（3）对于一个数表而言，这个较大的数中，要么至少有两个数在一个数表