角平分线定理、垂直平分线定理

1、要点、考点聚焦,1.角平分线的性质定理和逆定理 (1)点在角平分线上 点到这个角的两边的距离相等. (2)用符号语言表示角平分线的性质定理和逆定理.如图4-4-1所示. 性质定理：P在AOB的平分线上，PDOA，PEOB PD=PE 逆定理：PD=PE,PDOA,PEOB 点P在AOB的平分线上.,(3)角平分线是到角两边的距离相等的所有点组成的集合. (4)互逆命题与互逆定理.,2.线段垂直平分线的性质定理及逆定理 (1)性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. (2)逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. (3)用符号语言表示线段垂直平分线的

2、性质定理和逆定理.如图4-4-2所示.,要点、考点聚焦,性质定理：PC是线段AB的中垂线 PA=PB 逆定理：PA=PB 点P在AB的中垂线上. 【注意】 这里不可 说PC是AB的中垂线.,(4)线段中垂线是和线段两个端点距离相等的所有 点的集合.,要点、考点聚焦,2.如图4-4-3所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( ) A1处 B.2处 C.3处 D. 4处,课前热身,C,D,1.下列说法正确的是( ) A.每个命题都有逆命题 B.直角都是邻补角 C.若1/a=1/b则a=b. D.真命题的逆命题是真命题.

3、,图4-4-3,3.如图所示，在ABC中，P为BC上一点，PRAB于R，PSAC于S，AQ=PQ，PR=PS，下面三个结论：(1)AS=AR(2)QPAR(3)BRPCSP，正确的是 ( ) A.(1)和(2) B.(2)和(3) C.(1)和(3) D.全对.,A,课前热身,4.如图所示，在ABC中，C=90，B=15，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，DB=10cm，则AC=( ) A.6 B.8 C.5 D.10,C,课前热身,5.如图所示，在RtABC中，C=90，AB的垂直平分线交BC于D，CADDAB=12，则B= .,36,课前热身,典型例题解析,AB+AD=BC,【例1】

4、 如图所示，在ABC中，A=90，AB=AC，BD是ABC的平分线，请你猜想图中哪两条线段之和等于第三条线段，并证明你的猜想的正确性(证明你的猜想需用题中所有的条件),【例2】 (2003河南省)已知：如图所示，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC中点，CEAD，垂足为E.BFAC交CE的延长线于F.求证：AB垂直平分DF.,典型例题解析,【例3】 (2003浙江省舟山市)如图所示是人字型屋架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC、D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D.如果焊接工身边只有可检验直

5、角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接的点是 ( ) A.AB和BC，焊接点B B.AB和AC，焊接点A C.AD和BC，焊接点D D.AB和AD，焊接点A,C,典型例题解析,【例4】 (2003黑龙江省)已知：如图4-4-10(1)所示，BD、CE分别是ABC的外角平分线，过点A作AFBD，AGCE，垂足分别为F、G.连接FG，延长AF、AG、与直线BC相交，易证FG=1/2(AB+BC+BC). (1)若BDCE分别是ABC的内角平分线(如图4-4-10(2)所示). (2)BD为ABC的内角平分线，CE为ABC的外角平分线(如图4-4-10(3)所示)，则在此 两种

6、情况下，线段FG与ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明.,典型例题解析,图4-4-10(1),图4-4-10(2),图4-4-10(3),1.全等运用的干扰 角平分线定理及中垂线性质定理都是不用全等，而直 接能得出边相等，但好多学生还是喜欢再重新证一遍. 2.证线段的中垂线时，往往只得出一个点到一条线段 的两个端点距离相等，就下结论过这一点的直线是 这条线段的中垂线，实际上由直线公理：“两点确定一 条直线”，还要再找出一个这样的点.,方法小结：,1.(2004四川)如图，已知点C是AOB平分线上一点，点P、P分别在边OA、OB上。如果要得到PO=OP ，需要

7、添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号 。 OCP= OCP ; OPC= OP C ; PC=PC ;PP OC,课时训练,或或,2.(2004河北省)如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 ( ) A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋,B,课时训练,3.(2004广州)如图，CB、CD分别是钝角AEC和锐角ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论AE=2AC；CE=2CD； ACD=BCE； CB平分DCE。请写出正确结论的序号 。,课时训练,4.(2004呼和浩特)如图，在ABC中，