选修2-2函数的单调性与导数

1、1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数,过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.,过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢，本节课我们就研究一下导数在实际生活中的应用吧！,1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理. （重点） 2.利用导数判断函数单调性.（难点） 3.掌握利用导数判断函数单调性的方法.,图(1)表示高台跳水运动员的高 度 随时间 t 变化的函数 的图 象, 图(2)表示高台跳水运动员 的速度 随时间 t 变化的函 数 的图象.运 动员从起跳到最高点, 以及从 最高点到入水这两段时间的运 动状态有什么区别?,a,a,b,

2、b,t,t,v,h,O,O,(1),(2),探究：函数的单调性与其导函数的关系,a,a,b,b,t,t,v,h,O,O,运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,从最高点到入水, 运动员离水面的高 度h随时间t的增加 而减小,即h(t)是 减函数.相应地,(1),(2),O,O,O,O,例1 已知导函数 的下列信息:,当1 x 4 时,当 x 4 , 或 x 1时,当 x = 4 , 或 x = 1时,试画出函数f（x）图象的大致形状.,当 x 4 , 或 x 1时, 可知 在这两个区间内单调递减;,当 x = 4 , 或 x = 1时,综上, 函

3、数 图象的大致形状如图所示.,y=,例2 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:,解:,因此, 函数 在 上单调递增.如图(1)所示,单调递减,单调递增,单调递减,根据导数确定函数的单调性步骤：,1.确定函数f(x)的定义域.,2.求出函数的导数.,3.解不等式f(x)0,得函数单调增区间; 解不等式f(x)0,得函数单调减区间.,总结提升,例4 已知函数f(x)ax33x2x1在(，) 上是减函数，求实数a的取值范围,【解析】f(x)3ax26x1， 由题意得3ax26x10在(，)上恒成立 当a0时，6x10，x 不满足题意，a0. 当a0时，由题意得， 解得a3. 综上可知，实数a的取

4、值范围是a3.,1.函数y=3xx3的单调增区间是( ) A.(0，+) B.(，1) C.(1，1) D.(1，+),C,2函数y=xlnx在区间(0，1)上是( ) A.单调增函数 B.单调减函数 C.在(0, )上是减函数，在( , 1)上是增函数 D.在( , 1)上是减函数，在(0, )上是增函数,C,3函数y=x2(x+3)的单调递减区间是 ， 单调递增区间是 .,(2，0),(，2),(0，+),4函数f(x)=cos2x的单调递减区间是 .,(k, k+ ), kZ,5.（2014新课标全国2）若函数 在区间 单调递增，则k的取值范围是( ) A. B. C. D.,D,1.求可导函数f(x)单调区间的步骤： (1)求 (2)解不等式 0(或 0) (3)确认并指出递增区间（或递减区间）,2.证明可导函数f(x)在(a,b)