通信原理课件 第3章 随机过程

1、通 信 原 理Principles of Communications,通信原理教学组,第3章 随机过程,第3章 随机过程,毛用才,随机过程西安电子科技大学出版社 张卓奎,随机过程西安电子科技大学出版社 A. Papoulis,概率、随机变量与随机过程 第4版 西安交通大学出版社,第3章 随机过程,3.1 随机过程的基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 3.6 正弦波加窄带高斯噪声 3.7 高斯白噪声和带限白噪声,本章学习目标,随机过程 的 基本概念; 随机过程 的 数字特征（均值、方差、相关函数）; 随机过程的 平稳性、

2、各态历经性、自相关函数 的 性质、相关函数 与 功率谱密度 的 关系; 高斯随机过程 的 定义、性质，其 一维概率密度函数 和 正态分布函数 ，高斯白噪声; 平稳随机过程 通过 线性系统，其 输出过程 的 均值 、 自相关函数 和 功率谱密度 、带限白噪声 ; 窄带随机过程 的 表达式 ，其 包络、相位 的 统计特性 ，其 同相分量 、正交分量 的 统计特性 ； 正弦波加窄带高斯过程 的 合成包络 的 统计特性 。,第3章 随机过程,载有 信息 的 信号 是 不可预测的 ，或者说 带有某种 随机性 ； 干扰 信息信号 的 噪声 更是 不可预测的 。 这些 不可预测 的 信号 和 噪声 都是 随

3、机过程 。,但 随机信号 和 噪声 的 不可预测性 的 意义 则是 完全不同 。 随机信号的 不可预测性 是它 携带信息的能力； 而 噪声的 不可预测性 则是 有害的 ，它将使 有用信号 受到污染 。,3.1 随机过程的基本概念,例子：设有 n 台性能完全相同的接收机。在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形，测试结果表明，n 条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。,随机过程 更严格的定义：设 Sk (k=1, 2, ) 是随机试验。 每次试验都有一条时间波形（称为 样本函数 或 实现），记作 xi(t)

4、，所有可能出现的结果的总体 x1(t) , x2(t) , , xn(t) , 就构成一随机过程，记作(t) 简言之， 无穷多个样本函数的总体 叫做随机过程，如图 3 - 1 所示。,2.1 随机过程的基本概念和统计特性,随机过程的 基本特征 体现在两个方面：其一，它是一个 时间函数；其二，在固定某一观察时刻 t1 上，全体样本在 t1 时刻的取值 是 一个随机变量。,3.1 随机过程的基本概念,3.1.1 随机过程的分布函数,设(t) 表示 一 随机过程，则它在任意时刻 t1的值(t1) 是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述，其中,称为 随机过程(t) 的 一维分布函

5、数 。,3.1 随机过程的基本概念,随机过程的 一维分布函数 或 一维概率密度函数仅仅描述了 随机过程 在各个孤立时刻上 的 统计特性 ,而 没有说明 随机过程 在不同时刻 取值之间的 内在联系 ，为此 需要 进一步 引入 二维分布函数 。,任给 两个时刻 t1, t2 ，则 随机变量(t1) 和(t2)构成 一个 二元 随机变量 (t1) , (t2) ，称,为 随机过程(t) 的 二维分布函数 。如果存在,则称 f2 ( x1, x1; t1 , t2 ) 为(t) 的 二维概率密度函数 。,2.1 随机过程的基本概念和统计特性,同理，可定义(t) 的 n 维分布函数 和 n 维概率密度函

6、数 ：,显然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。但问题的复杂性也随之增加。 在 一般实际问题 中， 掌握 二维分布函数 就已经足够了。,3.1 随机过程的基本概念和统计特性,3.1.2 随机过程的数字特征,在大多数情况下，往往不容易或不需要 确定随机过程的n维分布函数或概率密度函数，而是用随机过程的 数字特征来部分地描述随机过程的主要特性。对于通信系统而言，这通常足以满足要求 。,2.1 随机过程的基本概念和统计特性,2. 方 差,D(t) 常记为 2(t) 。可见 方差 等于 均方值 与数学期望平方 之差 。它 刻画了 随机过程 在时刻 t 对于均值 a(t) 的 偏离程度 。 均

7、值和方差 描述了 随机过程 在 各个孤立时刻 的特征，为 描述 随机过程 在两个不同时刻 状态之间的联系，还需 利用 二维概率密度 引入 新的数字特征 .,2.1 随机过程的基本概念和统计特性,3. 相关函数,协方差函数 定义 为:,衡量 随机过程 在任意两个时刻 获得的 随机变量之间 的 关联程度 时 ，常用 协方差函数 B(t1, t2) 和 相关函数 R (t1 , t2) 来表示。,2.1 随机过程的基本概念和统计特性,相关函数 定义为,由 协方差函数 与 相关函数 的 定义式 可知，二者关系 为 ：,若 a(t1) = 0 或 a(t2) = 0，则B(t1, t2) = R(t1,

8、 t2) 。 若 t2 t1 ，并令 t2 = t1 +，则 R(t1, t2) 可表示为 R (t1 , t1+) 。 这说明，相关函数 依赖于 起始时刻 t1 及 t2 与 t1 之间的 时间间隔，即 相关函数 是 t1 和的函数 。 ,2.1 随机过程的基本概念和统计特性,由于 B(t1, t2) 和 R(t1, t2) 是 衡量 同一过程 的 相关程度 ，又常分别 称为 自协方差函数 和 自相关函数。两者所描述的随机过程的特征是一致的，今后将常用自相关函数。 对于 两个 或 更多个 随机过程 ，可引入 互相关函数 。,设(t) 和(t) 分别表示 两个 随机过程， 则 互相关函数 定义

9、为：,3.2 平稳随机过程,3.2.1 定义,所谓 平稳随机过程 ，是指它的统计特性不随时间的推移而改变。 若一个随机过程(t) 的任意 有限维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，也就是说对于任意的正整数n和所有的实数，有,统计特性与起 始时间无关,则 称是 严格意义下的平稳随机过程，简称 严平稳随机过程 。,3.2 平稳随机过程,严平稳随机过程的一维分布，与时间 t 无关，二维分布只与时间间隔 有关，即有,如果一个随机过程(t) ，它的 均值为常数，自相关函数仅是的函数，则称它为 广义平稳随机过程 。 严平稳随机过程必定是广义平稳随机过程，反之不一定不成立。,数字特征与起 始时间无关,3.

10、2 平稳随机过程,通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。 以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的， 且均指广义平稳随机过程，简称平稳过程。,3.2 平稳随机过程,如果 平稳 随机过程 使 下式成立,则称 该 平稳 随机过程 具有 各态历经性（遍历性）。,“各态历经”的含义：随机过程中任一实现（样本）都经历了随机过程的所有可能状态。 因此，只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。,左端 概率数字特征 右端 时间数字特征,3.2 平稳随机过程,注意：具有各态历经性的随机过程必定是平

11、稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。 在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。,3.2 平稳随机过程, 的 平均功率 的 直流功率 的 偶函数 的 上界 方差， 的交流功率,当 均值 为 0 时，有,具有 下列 主要性质：,设(t) 为 实平稳随机过程 ，则 它的 自相关函数,代入 性质 1， 2，就得到方差定义式,只与时间间隔有关,3.2 平稳随机过程,3.2.4 平稳过程的功率谱密度,确知的 非周期 功率信号 的 自相关函数 与其 功率谱密度 是 一对 傅氏变换关系 。 对于 平稳随机过程 ，也有 类似的关系 ，即,于是,3.2 平稳随机过程,因为 R(0)

12、 表示随机过程的平均功率，它应等于功率谱密度曲线下的面积。因此， 必然是 平稳随机过程的功率谱密度函数。,简记为,称为 维纳-辛钦关系。,3.2 平稳随机过程,【例3-1】 某随机相位余弦波 ，其中 A 和 均为常数，是在 (0 , ) 内均匀分布的 随机变量。 （1） 求 的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论 是否具有各态历经性。,均匀分布，概率密度函数,3.2 平稳随机过程,因为 数学期望为常数，自相关函数只与 有关，所以， 是广义平稳。,3.2 平稳随机过程,(2) 现在来求 的时间平均，根据式(3.2-6) 可得：,比较统计平均与时间平均，得 ，因此，随机相位余弦波是各态历经的。,

13、3.3 高斯随机过程,高斯过程 是通信领域中最重要的一种过程。在实践中观察到的 大多数噪声 都是 高斯过程 。,(3.3-1),|B| 归一化协方差 矩阵的行列式 bjk 归一化协方差 |B|jk |B| 中元素 bjk 的代数余因子 ak tk 时刻 数学期望 方差,3.3 高斯随机过程,式中, ak = E(tk) ， = E(tk)ak 2，|B| 为 归一化协方差 矩阵 的 行列式 ，即,|B|jk 为 行列式 |B| 中 元素 bjk 的 代数余因子，bjk 为归一化 协方差函数 ，且,3.3 高斯随机过程,3.3.2 重要性质,由 式(3.3-1) 可以看出，高斯过程的 n 维分布

14、完全由 n 个随机变量的 数学期望、方差 和 两两之间的归一化协方差函数 所决定。 因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。,如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由 性质(1) 知，它的 n 维分布 与时间起点无关。 所以，广义平稳的高斯过程也是严平稳的 .,3.3 高斯随机过程,如果高斯过程在不同时刻的取值 是 不相关 的，即对所有 j k 有 bjk= 0 ，这时 式(2.3-1) 变为,高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯的。,那么高斯过程中的这些随机变量也是 统计独立 的 .,3.3 高斯随机过程,以后

15、分析问题 时 ，会经常 用到 高斯过程 中 的一维分布 。 高斯过程 在 任一时刻 上 的 样值 是一个 一维 高斯随机变量 ，其 一维概率密度函数 可表示为：,3.3.3 高斯随机变量,3.3 高斯随机过程,图3-3 正态分布的概率密度,(3) a 表示 分布中心 ， 表示 集中程度 ， f (x) 图形 将随着 的减小 而 变高 和 变窄 。 当 a = 0 ，= 1 时，称 f (x) 为 标准正态分布的概率密度函数 。,3.3 高斯随机过程,当需要 求 高斯随机变量 小于 或 等于 任意取值 x 的 概率 P(x) 时，还要 用到 正态分布函数 。 正态分布函数 是 概率密度函数 的

16、积分 ，即,这个积分 难于计算 ，我们要 设法 把 这个积分式和 可在数学手册上查出积分值的 特殊函数 联系起来 . 一般 常用 误差函数 和 互补误差函数 ：,2.3 高斯随机过程,误差函数：,它是 自变量 的 递增函数 。有 下列 特性：,(3.3-11),3.3 高斯随机过程,它是 自变量 的 递减函数 。有 下列 特性：,当 时（实际应用中只要 ），即可近似有：,2.3 高斯随机过程,经过 变量代换 ，不难得到,用 误差函数 或 互补误差函数 表示 F(x) 的 好处 是它 简明的特性 有助于 今后 分析 系统 的 抗噪声性能 .,3.3 高斯随机过程,比较之后可得互补误差函数与Q函数

17、之间的关系：,也可用 Q函数 来表示 正态分布函数：,Q函数的性质：,3.3 高斯随机过程,3.4 平稳随机过程通过线性系统,随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。,线性系统的响应 vo(t) 等于 输入信号 vi(t) 与系统 的单位冲激响应 h(t) 的卷积，即,3.4 平稳随机过程通过线性系统,显然，输入过程i(t) 的 每个样本 与 输出过程o(t) 的 相应样本 之间 都满足 式卷积的关系 。 这样，就整个过程而言，便有,假定 输入i(t) 是 平稳随机过程 ， 现在来分析系统的随机输出过程o(t) 的统计特性。,如果 把 vi (t)

18、看作是 输入随机过程 的 一个样本 ，则 vo(t) 可看作是 输出随机过程 的 一个样本 。,3.4 平稳随机过程通过线性系统,式中利用了 平稳性假设,由此可见, 输出过程的均值等于输入过程的均值与直流传递函数 H(0) 的乘积，且是一个常数。,1. 输出过程 o(t) 的均值,且是常数,且是常数,3.4 平稳随机过程通过线性系统,2. 输出过程 o(t) 的自相关函数,可见, o(t) 的 自相关函数 只依赖时间间隔而与时间起点 t1 无关。,3.4 平稳随机过程通过线性系统,由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的 。 ,3.4 平稳

19、随机过程通过线性系统,令,， 则有：,3.4 平稳随机过程通过线性系统,4. 输出过程 o(t) 的 概率分布,在已知输入过程分布的情况下，通过下式,一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型，则系统的输出过程也是高斯型。 因为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极限，即：,总可以确定输出过程的分布。,3.4 平稳随机过程通过线性系统,由于i(t) 已假设是高斯型的，所以，在任一时刻的每项 都是一个高斯随机变量。 因此，输出过程 在 任一时刻 得到的 每一 随机变量 ，都是 无限多个 高斯随机变量 之和 。,由 概率论 得知，这个 “和” 的随机变量 也是 高斯随机变量 。,这就证

20、明，高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程。更一般地说，高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。 但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的 数字特征 已经改变 了。,3.4 平稳随机过程通过线性系统,结 论 ：,3.5 窄带随机过程,窄带随机过程 ，随机过程的谱密度集中在中心频率 f c附近相对窄的频带范围f 内，且满足通带宽度f f c ，并远离 零频率，则称 该 随机过程 为窄带随机过程。,实际中，大多数 通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带随机过程。 如用示波器观察其一个 实现的波形，它是一个频率近似为 f c 、包络和相位随机缓变的正弦波。,

21、3.5 窄带随机过程,图3-4 窄带过程的频谱和波形示意,3.5 窄带随机过程,因此，窄带随机过程(t) 可用下式表示：,等价式为：,其中, 式中, a(t) 及(t) 分别是(t) 的随机包络和随机相位；c(t) 及s(t) 分别称为(t) 的同相分量和正交分量，它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波 cosc t 的变化要缓慢得多。,随机包络,随机相位,同相分量,正交分量,(3.5-2),(3.5-3 , 4),3.5 窄带随机过程,3.5.1 和 的统计特性,设窄带过程(t) 是 平稳高斯窄带过程，且 均值为零，方差 为 。,重要结论： 一个均值为零的窄带平稳高斯过程(t) ，它的同

22、相分量c(t) 和正交分量s(t) 也是平稳高斯过程， 而且 均值都为零，方差也相同。 此外， 在同一时刻上得到的c 和s 是互不相关的 或 统计独立的 。,3.5 窄带随机过程,3.5.2 和 的统计特性,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出 是 信号 与 窄带噪声 的 混合波形 。,最常见的是 正弦波加窄带高斯噪声的合成波，所以有必要了解 合成信号 的 包络 和 相位 的 统计特性 .,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,将上式代入合成信号表达式,窄带高斯噪声,

23、3.6 正弦波加窄带高斯噪声,合成信号 r(t) 的 包络 和 相位 为：,利用上一节的结果， 如果值已给定，则 zc 、zs是相互独立的高斯随机变量，且有,(3.6-5),(3.6-6),3.6 正弦波加窄带高斯噪声,式中，I0(x) 为第一类零阶修正贝塞尔函数。当 x0 时， I0(x) 是单调上升函数，且有 I0(0) = 1 。因此，上式存在两种极限情况： ,这个 概率密度函数 称为 广义瑞利分布 ，也称 莱斯 (Rice) 密度函数 。,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,上式存在两种极限情况：,(1) 当信号很小 ，A0，即 信号功率 与 噪声功率 之比 时，x 值很小，有 I0(x)1

24、，这时 合成 波 r(t) 中只存在窄带高斯噪声，式(3.6-8) 近似为 式(3.5-20) ，即由 莱斯分布 退化为 瑞利分布 。 ,(2) 当信噪比 r 很大时，有 ，这时在zA 附近 ， f (z) 近似于 高斯分布 。,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,可见，合成波包络分布与信噪比有关。 小信噪比时，它接近于 瑞利分布；大信噪比时，它接近于 高斯分布；在一般情况下 才是 莱斯分布。,图 3-5 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布,3.6 正弦波加窄带高斯噪声,图3-5(a) 给出了不同的 r 值时 f (z) 的曲线。,关于信号加噪声的合成波相位分布 f () ，由于比较复杂， 这里就不再演算了。 不难推想，f () 也与信噪比有关。 小信噪比时，f () 接近于 均匀分布，它反映这时窄带高斯噪声为主的情况；大信噪比时，f () 主要 集中在有用信号相位附近 。 图3-5(b) 给出了 不同 r 值时的 f () 曲线 。 ,3.7 高斯白噪声和带限白噪声,通信系统中，最为常见的热噪声就近似为白噪声，且热噪声的取值恰好服从高斯分布，因此在通信系统中，常用高斯白噪声作为通信信道中的噪声模型。,1. 白噪声,如果噪声的 功率谱