Kalman滤波简介

1、.,1,Kalman 滤波简介,主讲：霍玲妹 北京理工大学 2012. 04,.北京理工大学,2,2020/7/7,本节课主要内容,二、简单实例,四、仿真实现,一、背景与理论基础,三、原理与公式介绍,.北京理工大学,3,2020/7/7,Rudolf Emil Kalman,匈牙利数学家 BS采用 递推算法，实时量测信息经提炼被浓缩在估计值中，而不必 存储时间过程中的量测量。所以，卡尔曼滤波能适用于白噪 声激励的任何平稳或非平稳随机向量过程的估计，所得估计 在线性估计中精度最佳。阿波罗登月计划中的导航系统设计是卡尔曼滤波早期应用中最为成功的实例。,.北京理工大学,14,2020/7/7,Kal

2、man滤波： Kalman滤波是一种实时递推算法，它所处理的是随机信号，利用系统噪声和观测噪声的统计特性，以系统的观测量作为滤波器的输入，以所要估计值（状态或参数）作为滤波器的输出，滤波器输入与输出是由时间更新和观测更新算法联系在一起的，根据系统方程和观测方程估计出所需要处理的信号实质是一种最优估计方法。 卡尔曼滤波就是在有随机干扰和噪声的情况下，以线性最小方差估计方法给出状态的最优估计值，卡尔曼滤波是在统计的意义上给出最接近状态真值的估计值。,.北京理工大学,15,2020/7/7,卡尔曼滤波有如下特点: (1)卡尔曼滤波处理的对象是随机信号； (2)被处理信号无有用和干扰之分.滤波的目的是

3、要估计出所有被 处理信号; (3)系统的白噪声激励和量测噪声并不是需要滤除的对象.它们的 统计特性正是估计过程中需要利用的信息。 所以确切地说，卡尔曼滤波应称作最优估计理论.此处称谓的滤波与常规滤波具有完全不同的概念和含意。,.北京理工大学,16,2020/7/7,状态估计：状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。一般来说，根据观测数据对随机量进行定量推断就是估计问题，特别是对动态行为的状态估计，它能实现实时运行状态的估计和预测功能。 状态估计对于了解和控制一个系统具有重要意义，所应用的方法属于统计学中的估计理论。最常用的是最小二乘估计，线性最小方差估计、最小方差估计、递推最小二乘估计等。其他如风

4、险准则的贝叶斯估计、最大似然估计、随机逼近等方法也都有应用。 受噪声干扰的状态量是个随机量，不可能测得精确值，但可对它进行一系列观测，并依据一组观测值，按某种统计观点对它进行估计。使估计值尽可能准确地接近真实值，这就是最优估计。,状态估计,.北京理工大学,17,2020/7/7,在许多实际问题中，由于随机过程的存在，常常不能直接获 得系统的状态参数，需要从夹杂着随机干扰的观测信号中分 离出系统的状态参数。例如，飞机在飞行过程中所处的位置 、速度等状态参数需要通过雷达或其它测量装置进行观测， 而雷达等测量装置也存在随机干扰，因此在观测到飞机的位 置、速度等信号中就夹杂着随机干扰，要想正确地得到飞

5、机 的状态参数是不可能的，只能根据观测到的信号来估计和预 测飞机的状态，这就是估计问题。,.北京理工大学,18,2020/7/7,从观测到的信号中估计出状态的估值，并且希望估值与状 态的真值误差越小越好，即要求有： 成立 因此存在最优估计问题，这就是卡尔曼滤波。 卡尔曼滤波的最优估计需满足以下三个条件： 无偏性，即估计值的均值等于状态的真值； 估计的方差最小； 实时性。,.北京理工大学,19,2020/7/7,线性最小方差估计,设X是随机变量，Z为X的量测向量，即Z=Z(X)+V,求X的 估计 就是根据Z解算出X，显然 是Z的函数，由于v是随机误差，所以X无法从Z的函数关系式中直接求取，而必须

6、按统计意义的最优标准求取。 最小方差估计是使下述指标达到最小的估计 线性指 是Z的线性函数。,.北京理工大学,20,2020/7/7,线性最小方差估计性质,性质1：最小方差估计等于量测为某一具体实现条件下的条件均值。 性质2：无偏性 性质3：线性,.北京理工大学,21,2020/7/7,白噪声： 噪声信号 满足： 则称 为白噪声，式中 为 方差强度 白噪声序列特点： 1.零均值且具有独立性 2.与时间无关，与时间间隔有关，所以它具有 平稳性 高斯白噪声：服从高斯分布,白噪声,.北京理工大学,22,2020/7/7,简单实例,假设我们要研究的对象是一个房间的温度。根据你的经验判 断，这个房间的温

7、度是恒定的，也就是下一分钟的温度等于 现在这一分钟的温度(假设我们用一分钟来做时间单位)。假设 你对你的经验不是100%的相信，可能会有上下偏差几度。我 们把这些偏差看成是高斯白噪声(White Gaussian Noise)，也就 是这些偏差跟前后时间是没有关系的而且符合高斯分配(Gauss ian Distribution)。另外，我们在房间单放一个温度计，但是 这个温度计也不准确的，测量值会比实际值偏差。我们也把 这些偏差看成是高斯白噪声。,.北京理工大学,23,2020/7/7,现在对于某一分钟我们有两个关于该房间的温度值:根据经验 的预测值(系统的预测值)和温度计的值(测量值)。我

8、们要用这 两个值结合他们各自的噪声来估算出房间的实际温度值。 假如我们要估算k时刻的是实际温度值。首先要根据k-1时刻 的温度值，来预测k时刻的温度。因为你相信温度是恒定的， 所以你会得到k时刻的温度预测值是跟k-1时刻一样的，假设是 23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度(CS是这样得到的:如 果k-1时刻估算出的最优温度值的偏差是3，你对自己预测的不 确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5)。然后，你从温 度计那单得到了k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏 差是4度。,.北京理工大学,24,2020/7/7,由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23 度和25度。究竟

9、实际温度是多少呢? 相信自己还是相信温度计呢?究竞相信谁多一点，我们可以用 他们的covariance来判断。因为Kg2=5 2/(5 2+42) ,所以Kg= 0.78，我们可以估算出k时刻的实际温度值是:23+0.78 * (25-23) =24.56度。 可以看出，因为温度计的covariance比较小(比较相信温度计)， 所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。,.北京理工大学,25,2020/7/7,现在我们己经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最优估算。到现在为止，好像还没看到什么自回归的东西出现。对了，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值(

10、 24.56度)的偏差。算法如下:(1-Kg)*52)0.5=2.35。这单的5就是上面的k时刻你预测的那个23度温度值的偏差，得出的2.35就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差(对应于上面的3)。 就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把covariance递归，从而估算出最优的温度值。他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的covariance。上面的Kg，就是卡尔曼增益(Kalman Gain )。它可以随不同的时刻而改变它自己的值。,.北京理工大学,26,2020/7/7,离散型基本方程,设随机线性离散系统的方程（不考虑控制作用）为： 式中 是系统的状态向量， 是系统的观测序列，

11、 是系统过程中的随机噪声序列， 是观测噪声序 列， 是系统的状态转移矩阵， 是噪声输入 矩阵， 是观测矩阵。,.北京理工大学,27,2020/7/7,根据先前假设,过程噪声和观测噪声应为白噪声, 所以有如下统计特性：,.北京理工大学,28,2020/7/7,在上述条件的约束下， 的估计量 可求解 如下： 一步状态预测 状态估计,.北京理工大学,29,2020/7/7,滤波增益矩阵 一步预测误差方差阵 估计误差方差阵,.北京理工大学,30,2020/7/7,就实现形式而言，卡尔曼滤波器实质上是一套由数字讨算机 实现的递推算法.每个递推周期中包含对被估计量的时间更新 和量测更新两个过程。时间更新由

12、上一步的量测更新结果和 设计卡尔曼滤波器时的先验信息确定，量测更新则在时间更 新的基础上根据实时获得的量测值确定。因此。量测量可看 做卡尔曼滤波器的输入，估计值可看做输出，输入与输出之 间由时间更新和量测更新算法联系，这与数字信号处理概念 是类似的，所以有些书称卡尔曼滤波为广义数字信号处理。,.北京理工大学,31,2020/7/7,.北京理工大学,32,2020/7/7,Kalman滤波算法框图,.北京理工大学,33,2020/7/7,.北京理工大学,34,2020/7/7,仿真效果,对于前面房间温度的例子，根据前面的描述，把房间看成一个 系统，然后对这个系统建模。当然，我们见的模型不需要非常 地精确。我们所知道的这个房间的温度是跟前一时刻的温度相 同的，所以 。没有控制量，所以U(k)=0 。 因为测量的值是温度计的，跟温度直接对应，所以 假设 。得到式子,.北京理工大学,35,2020/7/7,.北京理工大学,36,2020/7/7,现在我们模拟一组测量值作为输入。假设房间的真实温度为25 度，模拟了200个测量值，这些测量值的平均值为25度，但是 加入了标准偏差为几度的高斯白噪声(在图中为蓝线)。 为了令卡尔曼滤波器开始工作，我们需要告诉卡尔曼两个零时 刻的初始值，