第三节 复合求积公式

1、从牛顿柯特斯公式的余项可知，被积函数所用的插值多项式的次数越高，相应的求积公式的代数精度越高，但对于求积公式的数值稳定性不能保证，因此，避免使用高次插值多项式. 而积分区间越小，则求积公式的截断误差也越小，因此，为了提高数值积分的精度，经常把积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上使用次数不高的牛顿柯特斯公式，如梯形公式或抛物线公式，然后把结果加起来得到整个区间上的求积公式，这种求积公式称为复合求积公式.,第三节 复合求积公式,一、复合求积法,将积分区间a, bn等分, 步长h=(b-a)/n ，节点为 xk=a+kh, k=0,1, ,n，则在每个子区间xk, xk+1上的积分用梯形公式，得

2、,称为复合梯形公式. 记,1. 复合梯形公式,若 f(x)C 2a, b, 其求积余项为,2. 复合辛卜生公式,将积分区间a, b2n等分, 步长h=(b-a)/2n，节点为 xk=a+kh, k=0,1, ,2n，则在每个子区间x2k, x2k+2上的积分用辛卜生公式，得,称为复合辛卜生公式. 记,若 f(x)C 4a,b, 其求积余项为,例1 计算定积分(保证5位有效数字),(1)用复合梯形公式计算，需将积分区间多少等分？,(2)用复合辛卜生公式计算，需将积分区间多少等分？,用上面的误差估计式，可以判断计算时取多大步长就可以达到精度要求.,解 由f(x)=ex, 有f (x)=f (4)(

3、x)=ex, 因为b-a=1, 所以当0 x1时,(1)用复合梯形公式计算，由误差估计式有,计算有,故取n=68，即将区间0, 1进行68等分就满足要求.,(2)用复合辛卜生公式计算，由误差估计式有,故取n=3，即将区间0, 1进行6等分就满足要求.,计算有,例2 分别用复合梯形公式和复合辛卜生公式, 计算积分,解 我们先看这个定积分的精确解,下面用同样的9个函数值, 计算S4和T8 的值,用复合梯形公式，这里a=0, b=1，取n=8,函数为 计算得,=3.1389886 3.14,用复合辛卜生公式，这里a=0, b=1，取n=4,函数为 计算得,由此可见同样用9个函数值, 但S4比T8 的

4、值要精确，故Sn 比Tn 的收敛速度要快.,=3.1415925,复合梯形公式的截断误差随n的增大而减小，但对于一个给定的积分，选定了某种求积方法后，如何确定适当的n，使得计算结果达到预先给定的精度要求呢？当然可以用前面的误差估计来求n，但这要用到高阶导数，一般是比较困难的.,二、变步长复合求积法,在实际中，常采用积分步长h的自动选取，具体说，就是在求积过程中，将步长逐次折半，反复利用复合求积公式，直到相邻两次的计算结果之差的绝对值小于允许误差为止，这实际上是一种事后估计误差的方法.,对复合梯形公式，将区间a, bn等分的余项式为,两式相除为,将区间a, b2n等分的余项式为,这就是复化梯形法的事后误差估计式.,即有,设f (x)在a, b上变化不太大, 即 则得,因此对给定的误差限 , 只要,则可认为T2n已满足精度要求.,下面设hn=(b-a)/n, xk=a+khn (k=0,1,n),在xk, xk+1上用梯形公式得,在xk, xk+1上加一个中点xk+1/2, 用复合梯形公式得,所以有,从0到n-1 对k 累加求和得,这就是递推化(变步长)的复合梯形公式.,类似由复合辛卜生公式的余项式，只要设f (4)(x)在a, b上变化