平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示

1、2.3.1平面向量基本定理,2.3.2平面向量正交分解及坐标表示,一般地,实数 与向量 的积是一个向量,记作:,(1) (2)当 时, 的方向与 的方向相同; 当 时, 的方向与 的方向相同; (3)当 时,或 时,复习提问,一、数乘的定义：,它的长度和方向规定如下:,二、数乘的运算律：,1. 定理:向量 与非零向量 共线的充要条件是有且只有一个实数 ,使得.,三、向量共线的充要条件：,2).证明 三点共线:,直线AB直线CD,利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题.但要注意的是:向量平行和直线平行在重合概念上有区别.一般说两直线平行不包含两直线重合,而两向量平行则含两

2、向量重合.,2. 定理的应用：,1).证明 向量共线,3).证明 两直线平行:,AB与CD不在同一直线上,研究,N,M,平面向量基本定理,a = +,（1）一组平面向量的基底有多少对？,（有无数对）,思考,E,F,思考,(2)若基底选取不同，则表示同一 向量的实数 、 是否相同？,（可以不同，也可以相同）,(1)不共线的向量 叫做这一平面内所有向量 的一组基底;,平面向量基本定理:,(4)基底给定时,分解形式唯一.,(2)基底不唯一;,如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 , 使,(3) 任一向量 都可以沿两个不共线的方向（ 的 方向）分解成两个向

3、量（ ）和的形式；,说明：,向量的夹角,两个非零向量 和 ，作 ，,与 反向,则 叫做向量 和 的夹角,记作,与 垂直，,注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的,与 同向,例1已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2 .,e1,e2,O,C,B,向量的正交分解,在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便,平面向量的坐标表示,平面内的任一向量 , 有且只有一对实数x,y,使 成立,则称（x，y）是向量 的坐标,如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向 同向的两个单位向量 作基底.,记作：,（1）与 相等的向量的坐标均为（x, y),注意：,(

4、4)如图以原点O为起点作 ，点A的位置 被 唯一确定.,平面向量的坐标表示,(x, y),A,此时点A的坐标即为 的坐标,（5）区别点的坐标和向量坐标,相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同,（1）与 相等的向量的坐标均为（x, y),注意：,（3）两个向量 相等的充要条件：,(6),例1如图，用基底 ， 分别表示向量 并求它们的坐标,解：由图可知,同理，,平面向量的坐标表示,A1,A,A2,课后作业: 作业本,小结回顾,一、对 平面向量基本定理 的理解： e1 ,e2是平面向量内两个不共线的固定向量，则任意向量a可以在这两个向量的方向上进行分解。 当|e1|=|e2|=1且e1与e2垂直时，就可以建立直角坐标系，这为下一节学习向量的坐标表示奠定了基础。,二、两类问题： 1.用一组基底表示任一向量 2.由一组基底的线性组合求作向量,作业：习题5.3 P110-6,7,