贝努利不等式在高考中的应用

1、 贝努利不等式在高考中的应用贝努利不等式：对任意正整数n0，和任意实数x-1，有 成立； 如果n0且为偶数，则不等式对任意实数x成立。可以看到在n = 0,1，或x= 0时等号成立，而对任意正整数n2 和任意实数x-1且x0，有严格不等式： 1+nx下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：若m 0或m 1，有 1 + mx ；若0 m 1，有 1 + mx 证明方法如下：如果m=0，1，则结论是显然的 如果m0，1，作辅助函数, 那么, 则 x=0; 下面分情况讨论： 1. 0 m 0， 0；对于 1 x 0。因此在x = 0处取最大值0，故得 1 + mx。 2. m 1，则对于x 0， 0；对

2、于 1 x 0，-1，n为正整数) 注不等式中的条件“n为正整数”可推广为“n为大于l的实数”，推论1设nN+，nl，t0，则有 1+n(t一1)， 当且仅当t=l时，取等号的证明可由恒等式 直接推出易见，当且仅当t=1时，取等号，因此当且仅当x=0时，取等号在中令x+l=t，则可变为或,因此不等式与是等价的因此不等式与都可以称为贝努利不等式推论2设0，nN+，n1，则, 当且仅当时，取等号证明由得，例题精讲1.（2007，湖北理5）已知和是两个不相等的正整数，且，则 （ C ）A0B1CD解答：由于所以 令，分别取和，则原式化为所以原式=（分子、分母1的个数分别为个、个）法二：根据贝努利不等

3、式可知当时， = 1 + mx ，故对于此题有当有，所以2.（2007，湖北理21）已知为正整数，（1）用数学归纳法证明：当时，；（2）对于，已知，求证，求证，；（3）求出满足等式的所有正整数解法1：（1）证：用数学归纳法证明：（）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（）假设当时，不等式成立，即，则当时，于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综合（）（）知，对一切正整数，不等式都成立（2）证：当时，由（）得，于是，（3）解：由（）知，当时，即即当时，不存在满足该等式的正整数故只需要讨论的情形：当时，等式不成立；当时，等式成立；当时，等式成立；当时

4、，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立综上，所求的只有解法2：（1）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当，且时，当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式成立；假设当时，不等式成立，即，则当时，因为，所以又因为，所以于是在不等式两边同乘以得，所以即当时，不等式也成立综上所述，所证不等式成立（2）证：当，时，而由（1），（3）解：假设存在正整数使等式成立，即有又由（2）可得，与式矛盾故当时，不存在满足该等式的正整数下同解法13.（2001，全国理20) 已知i，m，n是正整数，且1imn (1 )证明 nipimmipin； ( 2 )

5、证明 (1+m)n(1+n)m证明:(1)略 (2)因为1mn , 1 ,由贝努利不等式有,所以(1+m)n(1+n)m4.(2007,四川理22）设函数 .(1)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;(2)对任意的实数x,证明(3)是否存在,使得an恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.（1）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（2）证法一：因为证法二：因而故只需对和进行比较。令，有由，得因为当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处有极小值故当时，从而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（3）对，且有又因，故，从而有成立，即存在，使得恒成立。5.(2003，江苏理)已知 为正整数。（1）设 ，证明（2） 设 ，对任意，证明 。证明：（1）因为，所以（2）对函数求导数: 即对任意法二： 等价于 对于x1,因 0 -1， - -1 由得 ， 两边同乘以 有， 所以 若 ，在中分别取 及 则即得式，所以若0I，在中分别取 及则所以同乘以即得，所以