(第27课)瞬时变化率——导数.ppt

1、1.1.3瞬时速度与瞬时加速度,江苏省青华中学 徐守高,瞬时变化率,导数,如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？,放大,放大,平均变化率,一般的，函数在区间上 的平均变化率为,复习,P,Q,o,x,y,y=f(x),割线,切线,T,如何求曲线上一点的切线?,(1)概念:曲线的割线和切线,结论:当Q点无限逼近P点时,此时 直线PQ就是P点处的切线.,P,Q,o,x,y,y=f(x),(2)如何求割线的斜率?,P,Q,o,x,y,y=f(x),割线,切线,T,(3)如何求切线的斜率?,例1:已知 ,求曲线y=f(x)在x=2处的切线的斜率.,利 用 割 线 求 切 线,例2:求曲线y=f(x)

2、=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.,因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.,1、先利用直线斜率的定义求出割线线的斜率； 2.求出当x趋近于0时切线的斜率 3、然后利用点斜式求切线方程.,求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:,课堂练习,拓展研究,二、物理意义瞬时速度,在物理学中，我们学过平均速度,新课讲解,平均速度反映了在某一段时间内 运动的快慢程度,那么,如何刻画在 某一时刻运动的快慢程度呢?,实例:,老师去蹦极,假设老师下降的运动 符合方程 ,请同学们计算 老师从3秒到5秒间的平均速度,如何 计算出在第3秒时的速度,即t=3时的 瞬时速度呢?,(s表示位移,t表示时间),什

3、么是物体运动的瞬时速度？,分析：,当时间t从t0变到t1时，这段时间的平均速度为,5s到6s这段时间内小球的平均速度为,5s到5.1s这段时间内小球的平均速度为,解：我们将时间每次缩短为前面的,当时间t1趋于t0=5s时，平均速度趋于49m/s， 因此，可以认为t0=5s时的瞬时速度为49m/s。,物理意义：如果小球保持这一时刻的速度进行 运动的话，每秒将要运动49m。,O,X,例2、如图所示，一根质量分布不均匀 的合金棒，长为10m， （单位：m） 表示OX这段棒的长， （单位：kg） 表示OX这段棒的质量，它们满足下列 函数关系： 估计该合金棒在 =2m处的线密度。,分析：考虑一段合金棒的

4、平均线密度,注： 一段合金棒的平均线 密度就是这段合金棒的质量 与这段合金棒长度的比值。,当长度 从 变到 时，这段合金棒的平均线密度为,解：我们将长度每次都缩小为前面的,当长度 趋于 =2m时，平均线密度趋于0.71kg/m，因此，可以认为 =2m处线密度 为0.71kg/m。,物理意义：如果有1m长的这种线密度 的合金棒，其质量为0.71kg.,结论：,对于一般的函数 ，在自变量 从 变到 的过程中，若设 ， , 则函数的平均变化率为：,当 趋于0时，平均变化率就趋于函数在 点的 瞬时变化率。,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。,练习1：已知函数 ，求自变量在下列的 变化过程中，函

5、数值的平均变化率： 自变量 从1变到1.1 自变量 从1变到1.01 自变量 从1变到1.001 估计当 =1时，函数值的瞬时变化率是多少？,0.1,0.01,0.001,-0.0909,-0.909,-0.00990,-0.990,-0.000999,-0.999,解：由 ，按照下表求出相应的平均变化率：,练习2：某个物体走过的路程s（单位：m）是时间 t（单位:s）的函数： ，通过平均速度估 计物体在t=2时刻的瞬时速度。,解：由 我们按照下表计算出相应的平均速度,2.1,2.01,2.001,2.0001,0.1,0.01,0.001,0.0001,0.41,0.0401,0.00400

6、1,0.00040001,4.1,4.01,4.001,4.0001,设物体作直线运动所经过的路程为s=s(t). 以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为,这个常数就是物体在t0时刻的瞬时速度.,当t0时，,结论:,小结：,对于一般的函数 ，在自变量 从 变到 的过程中，若设 ， , 则函数的平均变化率为：,当 趋于0时，平均变化率就趋于函数在 点的 瞬时变化率。,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢。,二、物理意义瞬时加速度,设一辆轿车在公路上做加速直线运动,假设t秒时的速度为 求t=5秒时轿车的加速度.,( 10 ),小结:,(1)求曲线上一点切线的斜率时,先利用 平均变化率求出

7、割线的斜率,再令 求出切线的斜率,(2)在求瞬时速度时,先利用平均变化率求 出平均速度,再令 ,求出瞬时速度,(3)在求瞬时加速度时,先利用平均变化率求出平均速度,再令 ,求出瞬时加速度.,平均变化率 瞬时变化率,重要结论:,一.导数的概念,由定义求导数（三步法）,步骤:,例1.求y=x2+2在点x=1处的导数,解：,变题.求y=x2+2在点x=a处的导数,二、函数在一区间上的导数：,如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说f(x)在开区间 (a,b)内可导这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f (x0)，这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作,即,f (x0)与f (x)之间的关系：,当x