二维随机变量的函数的分布

1、3.4 相互独立的随机变量,一、两个随机变量相互独立的概念,二、n个随机变量相互独立的概念,它表明，两个随机变量相互独立时，联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积,一、两个随机变量相互独立的概念,两事件A,B独立 指 P(AB)=P(A)P(B),说明,(1) 若离散型随机变量 ( X, Y ) 的分布律为,(3)定理 设随机变量X与Y相互独立，令 其中 为连续函数，则U与V也相互独 立,证: 必要性,对任何 x,y 有,取,X与Y相互独立,附：,故,所以X与Y相互独立,充分性,例1 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为,X Y 0 1 0 0.04 a 1 b 0.64,若X 和Y相

2、互独立,则 a=_ b=_,0.16 0.16,图,例2 学生甲,乙到达教室的时间均匀分布在79时,设两人 到达的时刻相互独立，求两人到达教室的时间相差不超过 5分钟的概率,解 设X，Y分别表示甲，乙到达教室的时刻,由于X与Y相互独立，故(X,Y)的概率密度为,返回,证:,对任何 x,y 有,取,X与Y相互独立,例3,故,所以X与Y相互独立,若对任意实数 ，均有,则称 X1, X2 , , Xn相互独立.,设(X1, X2 , , Xn)的分布函数为F(X1, X2 , , Xn).,定理 设(X1, X2, , Xm)与(Y1, Y2, , Yn) 相互独立, 则 Xi(i=1,2, m)与

3、Yj (j=1,2, n)相互独立.又若 h, g为 连续函数, 则h(X1,X2 ,Xm)与g(Y1,Y2 ,Yn)相互独立.,若对任意实数 x1, x2 , , xm ; y1, y2 , , yn 均有,则称 X1, X2 , ,Xn与Y1, Y2 , , Yn相互独立.,F(x1,xm , y1,yn)=F1 (x1,xm )F2(y1,yn),二、n个随机变量相互独立的概念,3.5 二维随机变量的函数的分布,Z=X+Y 的分布,三、最大值、最小值的分布,一、 离散型随机变量的函数的分布,二、 连续型随机变量的函数的分布,例1 设(X,Y)的分布律为,X,Y,0 1 2,-1 2,0.

4、2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2,解,(-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,0) (2,1) (2,2),-1 0 1 2 3 4,(X,Y),Z=X+Y,Z=XY,0.2 0.3 0.1 0.1 0.1 0.2,0 -1 -2 0 2 4,Z=XY,0.1 0.3 0.3 0.1 0.2,-2 -1 0 2 4,一、 离散型随机变量的函数的分布,求 (1) Z=X+Y (2) Z=XY (3) Z=max(X,Y) (4)Z=min(X,Y) 的分布律.,Z= max(X,Y),0 1 2 2 2 2,X与Y独立，X,Y取0,1,2，则Z=X+Y Z=max(X,Y) 的

5、分布律,设X与Y独立，分别服从参数为 ， 的泊松分布，证明Z=X+Y服从参数为 的泊松分布。,【注】分布具有可加性,二、 连续型随机变量的函数的分布,设(X,Y)的概率密度为f (x, y), 求Z=g(X,Y)的分布.,一般方法：分布函数法,设(X,Y)的概率密度为f (x, y), Z=X+Y的分布函数为,1. Z=X+Y 的分布,Z=X+Y 的概率密度:,卷积公式,当X,Y 相互独立时,例1 设 XN(0, 1), YN(0, 1)且X与Y相互独立，求 Z=X+Y的概率密度。,Z=X+YN(0,2).,解,(2) 若,一般结论：,(1) 若 且相互独立， 则 X+Y 仍服从正态分布，且,

6、且相互独立，则,有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布.,例2 X和Y都是（0，a）上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。,例2 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设 R1, R2相互独立，它们的概率密度均为,求总电阻R=R1+R2的概率密度.,解,x,z,z=x,z=x+10,例3 设X1, X2相互独立分别服从参数为1, ; 2, 的分布, 即X1, X2的概率密度分别为,试证：X1 + X2服从参数为 1+2, 的分布.,注 函数:,分布：若随机变量X的概率密度为,分布的性质：若X1 (1, )， X2 (2, )，且相互独立，则 X1 + X2 (1+2, ).

7、,注 函数:,则称X服从参数为, 的分布.记为 X(, ).,若X1,X2,Xn相互独立，且Xi 服从参数为i , (i=1,2,n)的的分布，则X1+X2+Xn服从参数为1+2+.+n, 的分布.,一般结论：,当 z 0 时,证：,A,亦即Z=X1+X2服从参数为1+2, 的分布,A的计算：,注 函数:,若X1,X2,Xn相互独立，且Xi服从参数为i, (i=1,2,n)的的分布，则X1+X2+Xn服从参数为1+2+.+n, 的分布.,一般结论：,2. Z=Y/X 的分布、 Z=XY的分布,设X,Y是二维连续型随机变量,其概率密度为f(x,y), 则Z=Y/X 、Z=XY仍为连续型随机变量，

8、其概率密度 分别为,当X,Y 相互独立时,证:,y=xz,G1,G2,y=xz,(z0),G1,G2,(z0),例3 设X和Y分别表示两个不同电子元件的寿命，且 相互独立, 服从同一分布，其概率密度为,求Z=Y/X的概率密度.,解,x,z,xz=1000,1000,1,被积函数的非零区域,0，,三、最大值、最小值的分布,设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函 数分别为FX(x),FY(y). 求 M=maxX,Y及N=minX,Y 的分布函数.,对任意实数z,设X1,X2,Xn相互独立，其分布函数分别为FXi(xi)，则 M=maxX1,X2,Xn与N=minX1,X2,Xn的分布函数分别 为,推广：,特别，相互独立且具有相同的分布函数F (x)时，有,例4 设系统L由两个相互独立的子系统组成,其寿命分别为X, Y 其概率密度分别为 其中0,0,. 试求联接方式为： (1) 串联，(2) 并联时 系统L的寿命Z的概率密度,解,(1)串联系统：此时有 Z=minX,Y,并联系统：,此时有 Z=maxX, Y,例 设某种商品一周的需求