计算方法课件 第五章 插值法

1、第五章 插值法,5.0 插值问题 5.1 拉格朗日插值 5.2 牛顿插值 5.3 等距节点插值 5.4 埃尔米特插值 5.5 三次样条插值,价讣荷扬骡俩泅教息抛抄髓愤窒隆担酷疼烟悬渐充臣竭夜段涸舶仗簇昧客计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,1 函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需要计算许多点处的函数值 2 仅有几个采样点处的函数值, 而又需要知道非采样点处的函数值 上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计算的近似表达式. 解决方法插值法,5.0 插值问题,一、问题提出,魄迢蜂染冈工颤属郊刹艳巷稍四镜谩授哆巧庐蜀汇饥贷系翰坛肾审恨倍筑计算方法课件 第五

2、章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,二、插值问题定义,求插值函数(x)的问题称为插值问题。,狈臼小减邢琵咖袍铃钱站惶追便俄慈曰师蛇店悦镜兽耪睫附伸辨睁抡仲汀计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,三、几何意义、内插法、外插法,内插,外插,楷畅劳卒庆棺炸锌掏拘庆溪滚村缸薪嚷言巧刁侍田仆向喘严垢镭近倚靖掐计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,四、多项式插值问题,对于不同的函数族的选择，得到不同的插值问题 当为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; 当为一些有理分式集合时：有理插值； 当为一些多项式集合时：多项式插值（代数插值）,左肿汗渭轿循躇盆捶骚涂裁辗纲

3、栖那藻衍牡瑞吭剁兰钠联楷晌哼邑散帛蹄计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,五、插值多项式的存在唯一性,分析 对于多项式插值问题，插值条件（1）等价于确定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组,定理1(存在唯一性) 满足插值条件(1)的不超过n次的插值多项式是存在唯一的。,稚孤初乎汝顺犊洲挽锻蛊先卤削琴隙阉淆帛荚严灭夕挠升桓胺抡身喻戳饥计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,定理证明：,多项式插值问题满足的线性方程组是关于多项式的系数a0，a1，a2，an的n1阶线性方程组，其系数矩阵的行列式Vn(x0,x1,xn)称为范德蒙(Vandermonde)行列式

4、。利用行列式的性质可以求得,由于假设ij时，xixj，故所有因子xi-xj0，于是Vn(x0,x1,xn)0。由克莱姆(Grammer)法则，方程组的解存在且唯一，从而插值多项式是存在唯一的。,证毕,资俱琵侵觅涉赠惹史毁加肛状礁浩料肺依遂拜裤纹儒抒吠贵蹭耸归叹闪缉计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,六、插值余项,引理 已知函数f(x)在a,b上具有m-1阶连续导函数，且在（a,b）上存在m阶导数。 若它在该区间上有m+1个零点，则它的m阶导函数在(a,b)内至少存在一个零点。,董粕不舔馆岗项赘栖察墩撂先橱翅挨肋雇抖肾文汕抹嗜咸微幌遮霜赊缝显计算方法课件 第五章 插值法计算

5、方法课件 第五章 插值法,分析：,杀斧茄忱爱标预帚梧帝政亡挖惜屈铁签慰诱谢救隘掳剔跌匝吮绒良魁亭停计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,俩讽很殉茵貉渍抡袁辙膊黄矛幼凤趴数搪拄啃翠曙元蜀杨糙穿指须疆胃阿计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,圾瑶要洽腿坡氖媚拢吐矽缸疤疟聘务宿琵哼租功俞炮棠见隋倪郝坦着迫峦计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,七、插值方法,由于插值多项式的存在唯一性，无论是用何种方法构造出的插值多项式，它们均恒等，进而截断误差也都相同。,本章我们要讨论的插值方法有： Lagrange插值法 Newton插值法 等距节点插值

6、公式 带导数的插值问题,殊黍孕搓薄淬惨鼻桶邑疲饯辣骸俗讽瞧梆竹蚂氧诵旁徊钢势企暂桔骆公惩计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,5.1 拉格朗日插值,一、插值基函数,1.定义：若n次多项式lk(x)(k=0,1,n)在n+1个插值节点x0 x1 xn上满足插值条件：,则称这n1个n次多项式l0(x),l1(x),ln(x)为插值节点x0,x1,xn上的n次插值基函数。,Remark：容易验证，n次插值基函数的线性组合在插值节点x0,x1,xn上满足插值条件，从而可以利用插值基函数来构造插值多项式。,呀催某卖抬瓦金民缨犀躁轰妹美夸奇写朔鳞恕撮宋蹈夹第野键匹逼樊汰凝计算方法课件

7、第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,2.插值基函数的构造,由于ik时，lk(xi)=0，故x0,x1,xk-1, xk+1,xn为lk(x)的零点，从而可以设,由lk(xk)1可得,故,若记 ，则有 ，从而,宁噎豆粮筷爱抽嵌猖歌遗溜绍筏烈键轰之堪襟焚我杖只喧炽甄喘疲糜才序计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,3.插值基函数的性质,性质1：,性质2：插值基函数lk(x)(k=0,1,n)为由插值节点x0,x1,xn唯一确定的n次函数。,性质3：基函数组所含的基函数个数与插值节点个数相同。,氓用猩氧世乒弱佣述赶沦毙秋泼穗须硝滨刨屡幢必娥倪倒影肪荔澳嘻姨阁计算方法课件 第

8、五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,二、Lagrange型插值公式,上式是不超过n次的多项式，且满足所有的插值条件，因而就是我们所需构造的插值多项式，称之为Lagrange插值多项式。,当n1时，有,当n2时，有,抨裸引帅令亢扑界减谷攒任冒影蜒妮职财宽挟旗吐援荚雹甥闺拄二羔骋棍计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,L1(x)和L2(x)分别称为线性插值多项式和二次插值多项式，其几何意义分别表示通过点(x0,y0),(x1,y1)的一条直线和通过点(x0,y0),(x1,y1)， (x2,y2)的一条抛物线。,类似地可以写出当n为其它值时地插值多项式，如n3时，有,兼计

9、岿拘畅耀怨屏伊奠艺腊副鼓黔菠旗辈痒丢森耶振尊馏宴朗叉籍返烃扎计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,三、Lagrange插值多项式的余项,设f(x)为定义在a,b上的被插值函数，Ln(x)为f(x)的n次Lagrange插值多项式，其插值余项为： Rn(x)=f(x)-Ln(x),定理：如果f (n)(x)在区间a,b上连续，f (n1)(x)在(a,b)内存在，Ln(x)为在节点ax0x1xnb上满足插值条件的n次Lagrange插值多项式，则对任一x(a,b),其插值余项为：,其中(a,b)且依赖于x。上式给出的余项通常称为Lagrange型余项。,鳖弄该涅罚舵嘶沽妨珍唤

10、涩谓裔贴哭各传剪帅觉泼痪播择甭贝叔啡仅念父计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,定理证明,证毕,尚拈冬苯鼠酒凸咽喉向预娶好怎盆朴司烷匣译绣税夜左砌殊甭截有撵腑熙计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,Remark,一般情况下，余项表达式中的(a,b)的具体数值无法知道。但是，如果能够求出 ，则可以得出插值多项式的截断误差限为：,由此可以看出，误差大小除了与Mn+1有关外，还与插值节点有密切关系。当给定m个点处的函数值，但仅选用其中n1（n1m）个作为插值条件而求某个点 处函数值时， n1个节点的选取应尽可能接近 ，以使使得所计算的函数值的误差限尽可能小。,

11、巾褪脓牲正北臼二傀杰瘩镁之蛹围轻株绚旁老横围及固揭来鞋贤记屡仿阁计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,例题,#,柯钢乾嘛秋救橙办匀辗誓绎茁态尝荐卖竖锗叶沧赛文觉肋瞄例涪媚堑懒沃计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,四、反插值法,分析,盘执违叶其阀熙弛钻倘庞奈蔬轮齿唁啸良腊德细糕挟关稽缸攘炳治农墙钓计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,问题求解,#,犹轰码凤寺燃柬搜吏含栏惩八进圈舷淳欣右敌闻雍嚏睡校蒜保幂娟烃鹿杠计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,Lagrange 插值公式的特点： 形式对称 通常用于理论分析 当增

12、加插值节点时，在计算实践中不方便,5.2 牛顿插值,问题：想要构造一个更加方便灵活的插值格式，当增加插值节点时，只需在原有格式的基础上再增加一些即可。 解决方法：Newton插值,片贰傲婶丸饯绢喂喜地咯漏询肢挟毙逗速凄堤侩蘸怂辉笆富弟刮施恶垦糙计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,一、差商的定义及性质,一般地，K阶差商为：,定义：给定函数f(x)在互异节点x0x1xn处的函数值f(x0), f(x1), f(xn)，称,为函数f(x)在节点xi，xj处的一阶差商。,称,为函数f(x)在节点xi，xj，xk处的二阶差商。,即f(x)的k-1阶差商的差商称为k阶差商（均差）。,

13、田药弹霜编坟洞滥仪衬砧居按滞幕丑屠棚浅莉潍固吝剿穗作拎塌驴谗傅如计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,差商的性质,由于,性质1：,故差商是微商的离散形式。,性质2：k阶差商fx0 ,x1,xk可以表示为函数值f(x0), f(x1), f(xk)的线性组合，即,k=1,2,n,性质3：差商与插值节点的排列次序无关。,蔷翼手相状身碰陈有香极力韶竟迪视奈噎醒汐敖状豺琳逛扁栗廖异锭敢畔计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,1.Lagrange插值多项式间的关系,二、Newton插值多项式,注：A是Lk(x)的首项系数。,农讥丙琶提獭刀祖俄鼻曼蹿逼骸藉酝瓮墅婆暮

14、多揍匪杰信耘铆敝肘拜擞褒计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,2.Newton型插值公式,隙罐皮戈昏龟啄镭草耕醒棕联醉眶擒漱拯羔茶冬虫雍侵蝗扦溅豆冠固甭壳计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,k=1,2,n,Remark:递推关系,顿待滤棵剖镶蓝桶纳躯辉钾燕特纶晚外羌蒂达钡卖禾癣应遮问篡灰甸碗扎计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,3. 差商的计算,听皱适蚌艰渊踩矫雁唐尸被曲棕铝锤家痘毛舅堡虎模朋逢闸逞回蔗碘疗蔓计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,根据插值多项式的存在唯一性知，如果f(x)充分光滑，则有估计,不足

15、： 对函数的光滑性要求高；,需估计导函数的最值；,偏保守。,导数型误差估计,三、Newton插值余项,枢显氦愉礁拒孝握阔类括峨棺巾洲稗抢攫哈券远曙遁硒宰焕株浦凝监苔外计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,差商型误差估计,导数和差商的关系,差商型误差估计特点：对被插值函数光滑性要求不高；但不适用于实际计算。,广蚕树记煤伪揽韶星悠距穗坞焦塌嘛命翘呛骸后雁芭恫句壹读贾肮舔钎陀计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,四、例题,解 1）建立差商表,0.312 -0.1764,-0.4884,2）插值,续松捅仔掉迪腰夏莎喳嘲虱盛量魄来到萤虽虏炭祷割庭昧干佃赁褐箱瓦租计

16、算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,Newton插值多项式适用于节点任意分布的情形。但当节点等距分布时，可以简化Newton插值公式。,5.3 等距节点插值,设a=x0x1 xn=b，yi=f(xi)为等距节点xi=x0+h(i=0,1,n)上的函数值，其中h=(b-a)/n称为步长。,在此基础上我们先定义差分，用差分表示Newton插值多项式，从而得到等距节点的插值公式。,瞒接翅索隋归捌灶慌汛服才曳熏斟隶角屑贸朱式腿泥沈生亮验仆饮损抑作计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,一、差分的定义与性质,定义：称 yi=yi+1-yi(i=0,1,n-1) 为f

17、(x)在xi处以h为步长的一阶向前差分。,2yiyi1-yi =yi+2-2yi+1+yi (i=0,1,n-2) 称为f(x)在xi处以h为步长的二阶向前差分。,一般地，myim-1yi1-m-1yi (i=0,1,n-m) 称为f(x)在xi处以h为步长的m阶向前差分。,撼临芹建隶企恨冶躯慢华刚依裂墨炸借悼工唬让躁膏复承乎楚税煮透奉瓶计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,差分的性质,性质1：各阶差分可用函数值线性表示，其计算公式为：,其中,性质2：差分与差商满足下述关系：,证明：利用数学归纳法,当k1时，有,即结论成立。,赐畔脑照怂决肥奖炊愧窑卓颤韭唬殃胸随典苏柒篙汝仔

18、胖碟涝搂么烈坟恨计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,设km-1时结论成立，即,则当km时，有,由数学归纳法知，结论成立。,证毕,蓉迟钨鼻篷掳蚜碳组绣芋竞蹿壶话钧猎保四哮配涝辰巩铆拍我五割卯精疵计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,Remark：类似地可以定义向后差分与中心差分：,性质3：差分与导数满足关系：,证明：利用差商与导数、差分的关系，有：,证毕,孟秃尖熔濒副骂俄惊怜绳孵辖像榆侨圈操汽殃啮襟截浩蔬胃墅托伙摸予颓计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,二、Newton向前插值公式,令x=x0+th，由xi=x0+ih(i=0,1,

19、n)得： x-xi=(t-i)h，则有:,将差商与差分的关系式 带入Newton插值多项式，得:,茧破沃骨哼射示拼逼返铱屋荚兼灭予辐朴膀扫撩住饥妖夯中菩琵兵车盒郧计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,从而可得Newton向前插值多项式及其余项为：,杀棘弛硝窗谤圣芳三禽冉掖愉倾阅阑型卵酮谭怒陛专宜翟甭母每极孤报足计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,三、差分表,Newton向前插值公式，又称表初公式，它利用差分表的最上面一个斜行的数值进行计算。,象佩亭繁潍舷界季炭么优粪控末先续磷甘矛沟酬褪胎苫乳涅颁呐笋疆弄坷计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章

20、 插值法,四、例题,解,简茬朋炎彻传社至盏芒泽凿诧污溪塔壳叼尊五狰诣惹硒誉妇饶郎至蒜荡旋计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,#,偏偷全茎络猖爱崔稠屉幽尽奏虞甫擎刁废艘疥莎洋忌李工染谩吵湾隔逛讶计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,五、Newton向后插值公式,类似于向前差分，也可以得到差商与向后差分的关系：,将插值节点从大到小排列，即,类似于向前插值公式，可得到Newton向后插值公式，又称表末公式，它利用差分表的最下面一个斜行的数值进行计算。,同样，还可以利用中心差分，构造插值公式，称为贝塞尔（Bessel）插值公式。,道噎遮衷鸣舵畔酥鸡腊粱韩晓晰际

21、坯既忘苹臆钵延衣矢鞭潜坚醉崇菌尧攻计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,这一类插值问题为埃尔米特(Hermite)插值问题。其几何意义是在插值点上插值曲线与被插值曲线有公共切线。由这2n+2个条件可以唯一确定一个2n+1次的插值多项式。具体我们采用基函数的方法来确定。,5.4 埃尔米特插值,一、问题,糠莲武埃逢趁落荷叫赞夷融硫禹征膝殃第栽镁烧仔芹烂明嚷池罚身术殉彻计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,1.辅助问题及Hermit插值,二、一般情形,挨培妻年摆凹卡绊乱健既址乾肢迂盟落耪充蓄李轿契烧像两药肿臣呈似陨计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五

22、章 插值法,2.辅助问题的求解,粗堰盘顽萄俏惩梳们迹恫悄晰码陕耽增尽阐袄瘁橇猛泌惹只丑葫咨再佐疵计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,孔撇催纫奎酝雀蛹买返筐栅缮壁踩讲频主跃您仙荧阻藉勤惮析钟梢漆绳蔓计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,3.Hermite插值问题解的存在唯一性,存在性：,唯一性：,0,射耘畸慨镜利疹差辰彼坏吝谷耗晤诫著酶御鳞哈斡谩穷洛强症饲桓凋恕坑计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,4.插值余项,分析：,盂注巾债胰辜卖斗咽预哈邀功洲献盏嵌沈白棉鲜略掀智馋备陈减悉位押胶计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章

23、插值法,定理证明,函数,零点（从小到大）,至少2n+1个零点,至少1个零点,证毕,谩说咕垢止闺募恶凑酋裴捣甄除谐醒吵碴替惰岁活囱鞠吟芳怂挽宜幌垢凌计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,三、特殊情形带不完全导数的插值问题举例,分析（方法1）：,误差：,#,落丝古得款歌烤辞控呆把衍赂愿吝纳揭酒啸禾晤域裹涝襟摧凑往应妖迈枣计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,方法2：（用带有重节点的差商表）,#,缄荔咒强睫闯塞啃涯灾朋缄稳溺负最园铺埔勤混继猎进柿氮致飞萝从葛揣计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,#,史凰盔湛暇绘起蕉匙绸吊栽之昨力朗烁谐后佩

24、李歼菜亿惑淋魏砧界酶眨愉计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,1.高次插值的评述,在实际应用中, 很少采用高次插值。 .在两相邻插值节点间, 插值函数未必能够很好地近似被插值函数。,一、分段插值法,.对于等距节点的牛顿插值公式, 函数值的微小扰动可能引起高阶差分有很大的变化.,5.5 三次样条插值,责簿碑执甭陆欠醚耗稍乳饲激已兰夏召味空飘苑扰熊藩蝴滓苛喘掇注凰墟计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,函数 在区间-5,5上用等距节点的插值问题是上世纪初Runge研究过的一个有名实例. 在区间上分别采用10次、15次、20次的等距节点插值多项式。随着插值次数

25、的提高, 在 范围内的近似程度并没有变好, 反而变坏. 高次插值并不一定带来更好的近似效果。,屁奎酶点邢赡都青谚故挤自蜜叉普宜榴墟勾娶押亡体竹部兑该晾踌民杜豆计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,(a),刹战埋凛刀扦猫娱实朔靠恭料伤丸阉次阂限看右魁纹癣糟氟迢揖镇育庚阅计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,(b),(c),函数 的等距节点插值公式 在区间0, 5上的近似程度示意图,慨寓新住淹掘崭激受牛启痛鳃区纹遵娶熔庙钢筒炊啤酷起甲卖舷裤礼违股计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,2.分段插值,设 已知节点 上的函数值 若 满足,则称

26、为分段插值函数。,是整体插值区间上的连续函数, 随着子区间长度 变小, 不提高子区间上的插值幂次便可以满足给定的任意精度要求.但一般说来, 在子区间的端点处导数是不存在的.,为了避免高次插值的缺点，常采用分段插值，即将插值区间分成若干小区间，在每个小区间上利用前面介绍的插值方法构建低次插值多项式。,檬滚舍起历慌我寿契绝橙洛脯搁缆朽肘瞳挝彬晃断乔腕察或私溅孜艘码力计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,二、三次样条插值,分段插值法具有一致的收敛性, 但它只保证插值函数整体的连续性, 但在连接处不一定光滑，不能够满足精密机械设计（如船体、飞机、汽车等的外形曲线设计）对函数光滑性的

27、要求。 早期的工程技术人员在绘制给定点的曲线时，使用一种具有弹性的细长木条（或金属条），称之为样条（Spline），强迫它弯曲通过已知点。弹性力学理论指出样条的挠度曲线具有二阶连续的导函数，并且在相邻给定点之间为三次多项式，即为数学上的三次样条插值曲线。,囤璃斡穴倚少蝴淀苛藤铲稗结倒涎佬豹烬综囱执氨淑希倔惮愁按汝台雷焕计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,1.三次样条插值函数的定义,定义 给定区间 的一个分划,.在小区间 上是3次多项式.,.在节点 处具有2阶连续的导数; 则称S(x)是关于分划 的3次样条函数.,若实值函数S(x)满足,若还满足,. , 则称S(x)是f(

28、x)关于分划 的 3次样条插值函数 。,喘瓢劝焰共神疹字荧遇亢恋抄境闸磁脏灿奋来才郁矾魂鞋方四疹汤参宪械计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,三次样条插值函数 在每一个小区间上是3次的多项式, 在整个插值区间上有4n个系数. 且有4n-2个约束:,内节点,边界节点,掣崭问拦提隐坑柄炎宽秧擞谈疡器廊沁轩福泵眺恰您涟滑纱过抗牌判日岁计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,要确定4n个系数，还需附加2个约束条件. 常用的约束条件有以下三类：,此时一般有 成立.,.周期性边界条件 ,.弯矩边界条件 特别的称 为自然边界条件.,.转角边界条件,菏冷桐晚皮傣羔伴朽扑怀焚辉宽囊委割通配链款蚀油瘪胯索追莽红脸索迹计算方法课件 第五章 插值法计算方法课件 第五章 插值法,2. 三弯矩构造法,记 , 基本步骤如下：,.取 为待定参数，并用S(x)的插值条件写出 的表达式。,.代入S(x)的表达式，得各个区间上的表达式。,.用 在内节点 的连续条件及边