高数完整讲课(一)课件

1、第一节 函数,1,学习交流PPT,一、基本概念,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,2,学习交流PPT,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,3,学习交流PPT,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,4,学习交流PPT,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,5,学习交流PPT,3.邻域:,

2、6,学习交流PPT,4.常量与变量:,在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意,常量与变量是相对“过程”而言的.,通常用字母a, b, c等表示常量,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表示方法：,用字母x, y, t等表示变量.,7,学习交流PPT,5.绝对值:,运算性质:,绝对值不等式:,8,学习交流PPT,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域,二、函数概念,9,学习交流PPT,自变量,因变量,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,10,学习交流PPT,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只

3、有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,11,学习交流PPT,(1) 符号函数,几个特殊的函数举例,12,学习交流PPT,(2) 取整函数 y=x x表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,13,学习交流PPT,(3) 狄利克雷函数,14,学习交流PPT,(4) 取最值函数,15,学习交流PPT,16,学习交流PPT,例1,脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图所示,写出电压U与时间 的函数关系式.,解,单三角脉冲信号的电压,17,学习交流PPT,例2,解,故,18,学习交流PPT,三、函数的特性,有界,无界,1函数的有界性:,19,学习交流PPT,2函数的单调性:,20,学习交流PPT,

4、21,学习交流PPT,3函数的奇偶性:,偶函数,22,学习交流PPT,奇函数,23,学习交流PPT,4函数的周期性:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,24,学习交流PPT,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,四、反函数,25,学习交流PPT,五、小结,基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值.,函数的概念,函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性.,反函数,26,学习交流PPT,思考题,27,学习交流PPT,思考题解答,设,则,故,28,学习交流PPT,练 习 题,29,学习交流PPT,练习题答案,30,学习交流PPT,一、基本初等函数,1.幂函数,31,学习交

5、流PPT,2.指数函数,32,学习交流PPT,3.对数函数,33,学习交流PPT,4.三角函数,正弦函数,34,学习交流PPT,余弦函数,35,学习交流PPT,正切函数,36,学习交流PPT,余切函数,37,学习交流PPT,正割函数,38,学习交流PPT,余割函数,39,学习交流PPT,5.反三角函数,40,学习交流PPT,41,学习交流PPT,42,学习交流PPT,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,43,学习交流PPT,二、复合函数 初等函数,1.复合函数,定义:,44,学习交流PPT,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,2.复合函数

6、可以由两个以上的函数经过复合构成.,2.初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,45,学习交流PPT,例1,解,46,学习交流PPT,综上所述,47,学习交流PPT,三、双曲函数与反双曲函数,奇函数.,偶函数.,1.双曲函数,48,学习交流PPT,奇函数,有界函数,49,学习交流PPT,双曲函数常用公式,50,学习交流PPT,2.反双曲函数,奇函数,51,学习交流PPT,52,学习交流PPT,奇函数,53,学习交流PPT,四、小结,函数的分类:,函数,初等函数,非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数),代数函数,超越

7、函数,有理函数,无理函数,有理整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),54,学习交流PPT,思考题,55,学习交流PPT,思考题解答,不能,56,学习交流PPT,一、填空题:,练 习 题,57,学习交流PPT,练习题答案,58,学习交流PPT,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、概念的引入,59,学习交流PPT,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,60,学习交流PPT,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,61,学习交流PPT,二、数列的定义,例如,62,学习交流PPT,注意：,1.数列对应着数轴上

8、一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,63,学习交流PPT,播放,三、数列的极限,64,学习交流PPT,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,65,学习交流PPT,如果数列没有极限,就说数列是发散的.,注意：,66,学习交流PPT,几何解释:,其中,67,学习交流PPT,数列极限的定义未给出求极限的方法.,例1,证,所以,注意：,68,学习交流PPT,例2,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,

9、但不必要求最小的N.,69,学习交流PPT,例3,证,70,学习交流PPT,例4,证,71,学习交流PPT,四、数列极限的性质,1.有界性,例如,有界,无界,72,学习交流PPT,定理1 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.,推论 无界数列必定发散.,73,学习交流PPT,2.唯一性,定理2 每个收敛的数列只有一个极限.,证,由定义,故收敛数列极限唯一.,74,学习交流PPT,例5,证,由定义,区间长度为1.,不可能同时位于长度为1的区间内.,75,学习交流PPT,3.(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列 收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a,7

10、6,学习交流PPT,五.小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;,收敛数列的性质:有界性唯一性.,77,学习交流PPT,思考题,证明,要使,只要使,从而由,得,取,当 时，必有 成立,78,学习交流PPT,思考题解答,（等价）,证明中所采用的,实际上就是不等式,即证明中没有采用“适当放大” 的值,79,学习交流PPT,从而 时，,仅有 成立，,但不是 的充分条件,反而缩小为,80,学习交流PPT,练 习 题,81,学习交流PPT,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,82,学习交流PPT,三、数

11、列的极限,83,学习交流PPT,三、数列的极限,84,学习交流PPT,三、数列的极限,85,学习交流PPT,三、数列的极限,86,学习交流PPT,三、数列的极限,87,学习交流PPT,三、数列的极限,88,学习交流PPT,三、数列的极限,89,学习交流PPT,三、数列的极限,90,学习交流PPT,三、数列的极限,91,学习交流PPT,三、数列的极限,92,学习交流PPT,三、数列的极限,93,学习交流PPT,三、数列的极限,94,学习交流PPT,三、数列的极限,95,学习交流PPT,播放,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,96,学习交流PPT,通过上面演示实验的观察:,问题:,如何用数学语言刻

12、划函数“无限接近”.,97,学习交流PPT,2.另两种情形:,98,学习交流PPT,3.几何解释:,99,学习交流PPT,例1,证,100,学习交流PPT,二、自变量趋向有限值时函数的极限,101,学习交流PPT,2.几何解释:,注意：,102,学习交流PPT,例2,证,例3,证,103,学习交流PPT,例4,证,函数在点x=1处没有定义.,104,学习交流PPT,例5,证,105,学习交流PPT,3.单侧极限:,例如,106,学习交流PPT,左极限,右极限,107,学习交流PPT,左右极限存在但不相等,例6,证,108,学习交流PPT,三、函数极限的性质,1.有界性,2.唯一性,109,学习交流PPT,推论,3.不等式性质,定理(保序性),110,学习交流PPT,定理(保号性),推论,111,学习交流PPT,4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系),定义,定理,112,学习交流PPT,证,113,学习交流PPT,例如,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是它的任何子列的