用二重积分计算旋转体的体积

1、6.2定积分的几何应用1，利用二重积分计算旋转体的体积，shunan Zhuhai，6.2定积分的几何应用2，定积分的几何应用，旋转体的体积一般按定积分计算。本课件使用单元法推导旋转体体积二重积分的计算公式。将二重积分转换为二次积分，得到了计算旋转体体积的有限积分公式，最后举例说明。6.2有限整数的几何应用3，在第一个特殊情况下，设定旋转轴为坐标轴，6.2有限整数的几何应用4，d是上半平面内的边界闭合区域。将d绕x轴旋转一周，以找到该旋转体的体积Vx。使用元素法建立回转体体积的二重积分公式。D，6.2应用有限整数的几何图形5，D，从区域D的(x，y)中获取区域元素，到地物x轴的距离为y。此区域

2、元素绕x轴旋转的旋转体的体积大约为，(体积元素)，整个区域绕x轴旋转的旋转体的体积为：6.2有限整数的几何应用6，d，命题1:上半平面中边界封闭区域d绕x轴旋转的旋转体的体积：6.2有限整数的几何应用7，同样，6.2定积分的几何图形应用8，下面的区域对徐璐其他区域使用二重积分作为定积分，得到熟悉的旋转体体积公式。6.2有限整数的几何图形绕9，X轴旋转，6.2有限整数的几何图形为10，y=f (x)，如果是圆方法，则绕X轴D旋转的旋转体体积为，6.2整数的几何图形为11，y=f 6.2应用有限整数的几何图形14，x=f (y)，x=g (y)，d绕y轴旋转的旋转体体积是垫圈方法，6.2有限整数的

3、几何图形应用15，x类型区域绕y轴旋转！ 注：一般教科书没有介绍这个公式。如果将16，y=f (x)，y=g (x)应用于6.2积分几何图元，则d绕y轴旋转的旋转体体积为：柱壳法，6.2积分几何应用于17时，如果6.2积分几何为18，d为曲线边扇形，则d绕极轴(x轴)旋转的旋转体体积为：6.2有限整数的几何应用19，我们用命题1推导出区域D的中心(质心)和旋转体积之间关系的定理：滚动定理，Paul Guldin)1577 1643 Swiss mathematician who wrote on volumes and cees，屈折定理，质心，A，6.2静态分的几何学是，21，D，D，质心，

4、A，如果你能轻易求出D的面积和质心，那么屈折定理就会求出旋转体的体积。6.2套用整数几何图形22，一般区域x 1:=0: x 23360=2330y 1:=x-x 2:y 2:=x-2 * x : int(f(x，y).y2)；Int (int (f (x，y)，y=y1 (x).y2(x)x=x1.x2)；(2 * pi/sqrt (5) * int (int (f (x，y)，y=y1 (x).y2 (x)，x=x1.x2)=(2 * pi/sqrt (5) * int (int (f (x，y)，y=y1 (x).y2 (x)，x=x1.x2)；with(plots): qun :=pl

5、ot(x2，2 * x，x=-1.3，y=-1.5，thickness=4) : display(符号，tick段宜恩=0，0，scaling=constrainted)；6.2应用有限整数的几何图形28，示例2查找x=y2和y=x2包围的区域d围绕线y=x-1旋转的旋转体体积v。，f:=(x，y)-y-x 1；x 3360=03360 x 23360=13360y 1:=x-x 2:y 2:=x-sqrt(x): int(f(x，y)，y.y2)；Int (int (f (x，y)，y=y1 (x).y2(x)x=x1.x2)；Sqrt (2) * pi * int (int (f (x，y

6、)，y=y1 (x).y2 (x)，x=x1.x2)=sqrt (2) * pi * int (int (f (x，y)，y=y1 (x).y2(x)x=x1.x2)；with(plots): qunx 360=implicit plot(y=x2，x=y2，y=x-1，x=-1.3，y=-1.2，thickness=4) : display(符号，tick段宜恩=0，0，scaling=constrainted)；6.2应用有限整数的几何图形29，示例3查找y=0、y=lnx和x=e包围的区域d围绕直线y=-x旋转的旋转体体积v。f:=(x，y)-y-x 1；x 3360=03360 x 2

7、3360=13360y 1:=x-x 2:y 2:=x-sqrt(x): int(f(x，y)，y.y2)；Int (int (f (x，y)，y=y1 (x).y2(x)x=x1.x2)；Sqrt (2) * pi * int (int (f (x，y)，y=y1 (x).y2 (x)，x=x1.x2)=sqrt (2) * pi * int (int (f (x，y)，y=y1 (x).y2(x)x=x1.x2)；with(plots): qunx 360=implicit plot(y=x2，x=y2，y=x-1，x=-1.3，y=-1.2，thickness=4) : display(符号，tick段宜恩=0，0，scaling=constrainted)；6.2有限整数的几何应用30或二重积分可以按x后y的积分顺序计算。f:=(x，y)-x y；y 1:=0:y 23360=13360 x 1:=y-exp(y): x 23360=y-exp(1): sqrt(2)*。x2(y)y=y1.y2)=sqrt