第二节 可分离变量微分方程.ppt

1、一、变量可分离方程,如果一阶微分方程可以化为下列形式：,则称原方程为变量可分离的方程。,运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：,其中C 为积分后出现的任意常数。,第二节、可分离变量微分方程,解,原方程即,对上式两边积分，得原方程的通解,解,对上式两边积分，得原方程的通解,隐函数形式,经初等运算可得到原方程的通解为,你认为做完了没有？,原方程的解为,解,两边同时积分，得,故所求通解为,你认为还需要讨论吗？为什么？,解,原方程即,两边积分，得,故通解为,曲线族的包络。,成正比,求,解: 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分 :,得,利用初始条件, 得,代入上式后化简,

2、得特解,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t 足够大时,二、齐次方程,变量代换,代入原方程，得,注意：须将u代回.,解,于是，原方程化为,两边积分，得,即,例7,解,是齐次方程,例8,解,可得 OMA = OAM = ,例 在制造探照灯反射镜面时,解: 设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线,绕 x 轴旋转而成 .,过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T,由光的反射定律:,入射角 = 反射角,取x 轴平行于光线反射方向,从而 AO = OM,要求点光源的光线反,射出去有良好的方向性 ,试求反射镜

3、面的形状.,而 AO,于是得微分方程 :,利用曲线的对称性, 不妨设 y 0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),顶到底的距离为 h ,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得,三、可化为齐次方程的方程,变量代换,变量代换,三、可化为齐次方程的方程,变量代换,变量代换,解,于是，原方程变为,联立方程组,解之，得,两边积分，得,即,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,四、一阶线性微分方程,形如,的方程称为一阶线性微分方程。,方程称为一阶齐线性方程。,方程称为一阶非齐线性方程。,习惯上，称,为

4、方程,所对应的齐方程。,一阶齐线性方程的解,运用分离变量法，得,两边积分，得,故,的解存在，且唯一，其通解为,解,故该一阶齐线性方程的通解为,套公式！,解,先求此一阶齐线性方程的通解：,故该初值问题的解为,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,一阶非齐线性方程的解,比较两个方程：,请问，你有什么想法？,请问，你有什么想法？,行吗 ?!,故,即,上式两边积分，求出待定函数,齐次方程通解,非齐次方程特解,即,解,所以，方程的通解为,解,原方程可以改写为,这是一个以 y 为自变量的一阶非齐线性方程，其中,故原方程的通解为,解,例10,通解为,解,例12,两边求导，得,通解为,于是,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,五、伯努利方程,形如,的方程称为伯努利方程。,代入伯努利方程后，可将其化为一阶线性微分方程,于是，原方程的通解为,解,故,从而，原方程的通解为,变量代换,变量代换,变量分离,常数