2013-2014学年高一数学同步课件：函数与方程方程的根与函数的零点(新人教A版必修1)

1、31函数与方程 31.1方程的根与函数的零点,【课标要求】 1结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及个数；体会数形结合思想与函数与方程思想的应用 2理解函数零点的概念，掌握函数零点的存在性定理 【核心扫描】 1求函数的零点(重点) 2零点存在性及零点个数的判定(难点) 3函数的零点与方程根的关系(易混点),新知导学 1函数的零点 对于函数yf(x)，把使 的实数x叫做函数yf(x)的零点 2方程、函数、图象之间的关系 方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与 有交点函数yf(x) ,f(x)0,有零点,x轴,3函数零点存在的判定方法 如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是 的一

2、条曲线，并且有 .那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得 . 温馨提示：判定函数零点的两个条件缺一不可，否则不一定存在零点；反过来，若函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0不一定成立,f(a)f(b)0,连续不断,f(c)0,互动探究 探究点1 函数的零点是函数yf(x)与x轴的交点吗？ 提示函数的零点不是函数yf(x)与x轴的交点，而是yf(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数 探究点2 若连续不断的曲线yf(x)，在区间a，b上有f(a)f(b)0，那么yf(x)在(a，b)内一定有零点，但能确定零点的个数

3、吗？ 提示不能，仅能确定一定有零点，但究竟有多少个零点无法确定,探究点3 如果函数yf(x)在a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，则yf(x)在(a，b)内一定没有零点吗？ 提示不一定，如yf(x)x2在1,1上，虽有f(1)f(1)10，但其有零点x0.,类型一求函数的零点 【例1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出 (1)f(x)x22x1；(2)f(x)x4x2； (3)f(x)4x5；(4)f(x)log3(x1) 思路探索求函数的零点，就是求相应方程的根,解(1)令x22x10，解得x1， 所以函数f(x)x22x1的零点为1. (2)f(x)x2(x1)(x1

4、)0， x0或x1或x1， 故函数f(x)x4x2的零点为0，1和1. (3)令4x50，则4x50，方程4x50无解 所以函数f(x)4x5不存在零点 (4)令log3(x1)0，解得x0， 所以函数f(x)log3(x1)的零点为0.,规律方法1.本题通过求方程f(x)0的根得出函数的零点，准确进行因式分解与变形是求方程根的关键 2求函数yf(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)0，根据解方程f(x)0的根求得函数的零点；其二是画出函数yf(x)的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点,类型二判断函数零点的个数 【例2】 判断函数f(x)ln xx23的零点的个数 思路探索可以

5、运用数形结合法或零点存在的判定方法解决 解法一函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2 的图象交点个数 在同一坐标系下，作出两函数的图象 (如图) 由图象知，函数y3x2与yln x的图象只有一个交点 从而ln xx230有一个根，即函数yln xx23有一个零点,法二由于f(1)ln 112320， f(2)ln 2223ln 210， f(1)f(2)0， 又f(x)ln xx23的图象在(1,2)上是不间断的，所以f(x)在(1,2)上必有零点， 又f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个,规律方法判断函数零点个数的方法主要有： (1)对于

6、一般函数的零点个数的判断问题，可以先确定零点存在，然后借助于函数的单调性判断零点的个数； (2)由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系下作出y1g(x)和y2h(x)的图象，利用图象判定方程根的个数； (3)解方程，解得方程根的个数即为函数零点的个数,类型三函数零点的应用 【例3】 已知关于x的二次方程ax22(a1)xa10有两根，且一根大于2，另一根小于2，试求实数a的取值范围 思路探索根据二次方程根的分布画出相应的函数图象，数形结合建立关于a的不等式,解令f(x)ax22(a1)xa1，依题意知，函数f(x)有两个零点，且一零点大于2，一零点小于2. f(x)的图

7、象大致如图所示：,当a0时，应有f(2)4a4(a1)a10， 0a5. 当a0时，应有f(2)4a4(a1)a10，无解 综上可知，a的取值范围是(0,5),规律方法(1)解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论 (2)二次函数的零点分布抓住：对称轴、判别式，图象开口方向与区间端点函数值的符号，利用数形结合直观求解,易错辨析忽视零点存在性定理的使用条件致误,正解函数f(x)的定义域为x|xR，且x0 当x0时，f(x)0，f(x)0无实根 当x0时，f(x)0，f(x)0无实根 综上，函

8、数f(x)没有零点 答案A,防范措施(1)零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；二是f(a)f(b)0.这两个条件缺一不可，如果其中一个条件不成立，那么就不能使用该定理 (2)零点存在定理只能用来判定函数yf(x)在区间(a，b)上零点的存在性，但不能确定其零点的个数,课堂达标 1函数y4x2的零点是 (),3二次函数yax2bxc中，ac0，则函数零点的个数是_ 解析ac0，b24ac0，二次函数yax2bxc的图象与x轴有两个交点，则函数有2个零点 答案2,4函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是_(填序号) (2，1)；(1,0)；(0,1)；(1,2) 解析f(x)exx2. f(0)10，f(1)e10. 函数f(x)的零点所在的一个区间是(0,1) 答案,5若函数f(x)|x22x|a没有零点，求实数a的取值范围 解令g(x)|x22x|(x1)21|. 由于(x1)20，知(x1)211，从而g(x)0. 令f(x)0，则a|x22x|. 当直线ya与g(x)的图象没有交点时，函数f(x)无零点，a0.故实数a的取值范围是(，0),课堂小结 1在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理