《自动控制原理》 胡寿松 自动控制原理简明教程

1、第四章 线性系统的根轨迹法,4.1 根轨迹法的基本概念 4.2 根轨迹绘制的基本规则 4.3 广义根轨迹 4.4 系统性能的分析,自动控制原理课程的任务与体系结构,特点： （1）图解方法，直观、形象； （2）适用于研究当系统中某一参数变化时， 系统性能的变化趋势； （3）近似方法，不十分精确。,根轨迹法是控制系统的三大分析校正方法之一。,4.1.1 根轨迹概念,根轨迹(root locus)简称根迹，它是开环系统某一参数（如开环增益）从零变到无穷时，闭环系统特征方程式的根在s平面上的变化轨迹。, 4.1 根轨迹法的基本概念,例4-1：系统结构图如图所示，分析l 随开环增益K变化的趋势。,解：,

2、4.1.2 根轨迹与系统性能,系统性能：稳定性、稳态性能、动态性能。, 4.1.3 闭环零、极点与开环零、极点之间的关系,控制系统的一般结构如右图，相应的开环传递函数为 一般传递函数可写为,则,系统闭环 传递函数,由上式可以得到如下关系 1）闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益；对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益； 2）闭环零点由开环前向通路传递函数的零点和反馈通路传递函数的极点所组成；对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点； 3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增益 均有关。 根轨迹法的基本任务在于，如何由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通

3、过图解法找出闭环极点。,根据复数等式两边的幅值和相角应分别相等的原则，可得绘制系统根轨迹的基本条件，即,幅值条件：,相角条件：,4. 1. 4 根轨迹方程,图示系统 ，闭环特征方程为,即,根轨迹方程,式中， 分别 代表所有开环零点、 极点到根轨迹上某一点的向量相角之和。,相角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件；当需要确定根轨上各点的 值时，使用幅值条件。, 4.2 根轨迹绘制的基本规则,180根轨迹的绘制规则（ ）,规则1 根轨迹的起点和终点 根轨迹起于系统开环极点，终于系统开环零点。如果开环零点数m小于开环极点数n，则有(n-m)条根轨迹趋向于无穷远。 规则2 根轨迹的分支数、对称性和连续性

4、 根轨迹的分支数与开环零点数m、开环极点数n中的大者相等，它们是连续的并且关于实轴对称。 根据根轨迹的对称性，只需要作出上半s平面的根轨迹，然后利用对称关系，即可画出下半s平面的根轨迹。,规则3 根轨迹的渐近线(与实轴的交点和夹角) 当开环极点数 n 大于开环零点数 m 时，有n-m条趋向无限零点的根轨迹的走向。 （1）渐近线与实轴的倾角 （2）渐近线与实轴的交点 式中， 分别为开环系统的零点和极点。 注：只有在 时，需要计算渐近线与实轴的交点和夹角。,规则4 根轨迹在实轴上的分布 实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。,例4-2：已知系统的开环传递函数

5、，试确定实轴上的根迹。,-1，-2 右侧实零、极点数=3,-4，-6 右侧实零、极点数=7,解：无零点，有两个极点,其根轨迹有两条分支趋向无穷远 渐近线倾角：,例4-3： ， 绘制根轨迹。,渐近线与实轴只交点：,两条根轨迹分别从极点0、0.5出发 汇合于a点，然后分离，分别沿90，90的渐近线趋向无穷远。,例 4-4设某负反馈系统的开环传递函数为,试确定系统根轨迹条数、起点和终点、渐近线及根轨迹在实轴上的分布。 解：开环极点 p1= 0、p2= 1、p3= 5。 系统的根轨迹有三条分支，分别起始于系统的三个有限的开环极点，由于不存在有限的开环零点，当Kg 时，沿着三条渐近线趋向无穷远处；三条渐

6、近线在实轴上的交点,j,实轴上的根轨迹分布在(0，1)和(5， )的实轴段上。,60,三条渐近线与正实轴上间的夹角：,-2,规则5 根轨迹的分离点与分离角 两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点（或会合点），它对应于特征方程中的二重根。分离角定义为根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向的夹角。,分离点坐标d：,分离角：,式中， 分别为开环系统的零点和极点; 为在s平面上相遇又立即分开的根轨迹的条数， 。,分离点,会合点,l=2时，分离角必为直角。,分离点的性质： 1）分离点是系统闭环重根； 2）由于根轨迹是对称的，所以分离点或位于实轴上，或以共轭形式

7、成对出现在复平面上； 3）实轴上相邻两个开环零（极）点之间（其中之一可为无穷零（极）点）若为根轨迹，则必有一个分离点；,4）在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹，该段无分离点或分离点成对出现。,例4-5 求例4-4系统根轨迹的分离点。 解：根据例4-4，系统实轴上的根轨迹段（1，0），位于两个开环极点之间，该轨迹段上必然存在根轨迹的分离点。设分离点的坐标为d，则,3d 2 + 12d + 5 = 0 d1 = 0.472 d2 = 3.53(不在根轨迹上，舍去，也可代入幅值方程看Kg0否？) 分离点上根轨迹的分离角为90。,如果方程的阶次高时，可用试探法确定分离点。,d1 = 0.472

8、,例4-6 已知系统开环传函为,试绘制系统的根轨迹。 解：,d = 2.47,d = 2.47,规则6 根轨迹的起始角和终止角(开环极点的出射角和开 环零点的入射角) 起始角 ：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴 的夹角； 终止角 ：根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴 的夹角。,根轨迹的出射角,根轨迹的入射角,出射角对复极点，入射角对复零点。,起始角：,例：起始角,终止角：,试绘制出系统的根轨迹。 解：,例4-7 设负反馈系统的开环传递函数为,起始角与终止角,1,2,3,1,3,2,= 180 + 1 + 2 + 3 1 2 3 =180 + 56.5 + 19 + 59 108.5

9、37 90 = 79,=180 117 90 + 153 + 63.5 + 119 + 121 =149.5,试绘制出系统的根轨迹。 解：三个开环极点 p1= 0、p2,3 = 1 j 渐近线： 3条,例4-8 设负反馈系统的开环传递函数为,根轨迹与虚轴交点：系统的闭环特征方程为 s3 + 2s2 + 2s + Kg= 0 劳斯表,s3 1 2 s2 2 Kg s1 (4 Kg)/2 s0 Kg,令s1系数为0，得 Kg = 4 代入辅助方程 2s2 + Kg= 0,实轴上根轨迹：(，0)，即整个负实轴。,出射角：,绘制出系统根轨迹如图所示。,Kg ,Kg ,Kg ,j1.414 Kg = 4

10、,-45,规则7 根轨迹与虚轴的交点 当根轨迹增益K*增加到一定数值时，根轨迹可能越过虚轴进入右半平面，出现实部为正的特征根。根轨迹和虚轴相交时，系统处于临界稳定状态。则闭环特征方程至少有一对共轭虚根。,根轨迹与虚轴交点的求法：,1）劳斯判据法 应用劳斯判据求出系统处于稳定边界的临界值K， 由K值求出相应的值。 2）代数法,把 代入特征方程,联立求解方程， 得根轨迹与虚轴的交点值和相应的临界K值。,方法1Routh判据法,Routh表：,S3 1 2 S2 3 k S1 0 S0 k 0,K=6时，S1行全为0,辅助方程：3S260 解方程得：,例：系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点,例

11、：系统的开环传递函数 求根轨迹与虚轴的交点。,解：方法2代数法,解方程得：,将 代入系统闭环特征方程,法则8 根之和。,当 时，无论 K* 取何值，开环n个极点之和总是等于闭环特征方程n个根之和。,(4-25),在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。所以，当开环增益K*增大时，若闭环某些根在s平面上向左移动，则另一部分根必向右移动。,式中，si为闭环特征根。,规则9 开环增益的求取,利用幅值条件，可以确定根轨迹上任一点所对应的K*值，也可在根轨迹上标出一些点的K*值。,例：已知单位反馈系统的开环传递函数， 试绘制根轨迹的大致形状。,解：开环极点：P1=0，P2=-3，P3=-1+j，P4

12、=-1-j,无开环零点， n-m =4,实轴上0，-3为根轨迹,渐近线与实轴交点：,渐近线与实轴正方向的夹角：,根轨迹实轴的分离点,（舍去）,分离角,根轨迹在开环极点p3处的起始角,根轨迹与虚轴的交点（劳斯法）,解得临界稳定的条件：K=8.16,代入s2行无素构成的辅助方程,-1.25,-2.3,p1,p2,p3,p4,1350,26.60,2 闭环极点的确定,利用幅值条件，可求特定K*值的闭环极点。 高阶系统常用试探法先求闭环实数极点数值，然后用综合除法得到其余的闭环极点。 在特定的K*值下，如果有一对复数闭环极点，也可以直接在概略根轨迹图上用此方法求取。,例4-9求已知开环传递函数的闭环极

13、点,解：由开环传递函数可知系统的开环增益为：,根轨迹图如示，分离点d=-0.423，对应K*=0.385,虚轴的交点,，对应K*=6。,因此，闭环系统极点有一对共轭复根。由于闭环系统为3阶，同时还有一个实根，下面先用试探法求实根。,可得：,在s= -2的左侧选s1点，由幅值条件：,s1= -2.34,闭环系统特征方程式为：,应用综合除法可求得：,s2=-0.33+j0.58 ， s3=-0.33-j0.58,利用试探法可近似求得满足上述方程的 闭环实极点：,更换课件4-3, 4.3 广义根轨迹,4. 3. 1 参数根轨迹,在控制系统中， K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。其他参数的根轨迹统称为

14、广义根轨迹。,除根轨迹增益 以外的其他参量（开环零点、开环极点、时间常数、反馈比例系数等）从零变化到无穷大时绘制的根轨迹称为参数根轨迹。 研究参数根轨迹的目的：分析参数变化对系统性能的影响。 绘制参数根轨迹图基本原理：引入“等效开环传递函数”，将绘制参数根轨迹的问题化为绘制常规根轨迹的问题。,常规根 轨迹方程：,参数根 轨迹方程：,等效开环传递函数,A为除 外，系统任意的变化参数，而 和 为两个与A无关的首一多项式。,例：已知某位反馈系统的开环传递函数为 试绘制参数 a 由零连续变化到正无穷时，闭环系统的根轨迹。 解：系统的闭环特征方程为 等效系统开环传递函数为 （1）起点： 。 （2）终点：

15、三条根轨迹都趋向于无限零点。 （3）实轴上的根轨迹：含坐标原点在内的整个负实轴。 （4）分离点：分离点的计算公式为 其中,（5）根轨迹的渐近线 渐近线的倾角 渐近线的交点 （6）根轨迹与虚轴的交点 系统的闭环特征方程为 解得交点为 可绘制系统根轨迹如下图所示,劳斯表：,-1/6,-0.5,0.5,绘制参数根轨迹的一般步骤 （1）写出原系统的特征方程； （2）以特征方程式中不含参量的各项除特征方 程，得等效系统的根轨迹方程，该方程中 原系统的参量即为等效系统的根轨迹增益； （3）绘制等效系统的根轨迹，即为原系统的参数根轨迹。,4. 3. 2 附加开环零点的作用,附加零点对闭环系统性能的作用体现在

16、改变根轨迹的形状和走向； 适当的附加零点减少渐近线条数，能够改善系统的稳定性； 附加零点位置的选择应兼顾稳定性和动态性能。,4. 3. 3 零度根轨迹,如果所研究的控制系统为非最小相位系统，则有时不能采用常规根轨迹的绘制法则来绘制系统的根轨迹。因为其相角遵循 条件，故一般称之为零度根轨迹。 零度根轨迹的来源有两个方面：其一是非最小相位系统中包含s最高次幂的系数为负的因子；其二是控制系统中包含有正反馈内回路。前者是由于被控对象，如飞机、导弹的本身特性所产生，或者是在系统结构图变换过程中所产生的；后者是由于某种性能指标要求，使得在复杂系统设计中，必须包含正反馈回路所致。,零度根轨迹的绘制，原则上可

17、参照常规根轨迹的绘制法则，但在与相角条件有关的一些法则中，需作适当调整。绘制0度根轨迹的基本规则：,规则1 根轨迹的起点和终点同常规根轨迹；,规则2 根轨迹的分支数对称性和连续性同常规根轨迹；,规则3 渐进线：与实轴的交点同常规根轨迹；但倾斜角不同，为： ，有n-m个角度；,规则4 实轴上的根轨迹：其右方实轴上的开环零、极点个数之和为偶数（包括0）的区域；,规则5 分离点、会合点和分离角：同常规根轨迹；,规则7 与虚轴的交点：同常规根轨迹；,规则8 闭环极点之和与之积：同常规根轨迹。,规则6 起始角和终止角(出射角和入射角)：起始角为其它零、极点到所求起始角复数极点的诸向量相角只差，即 终止角

18、等于其它零、极点到所求终止角复数零点的诸向量相角之差的负值，即, 4.4 系统性能的定性分析,（1）稳定性。稳定性只与闭环极点位置有关，而与闭环零点位置无关。 （2）运动形式。如果闭环系统无零点，且闭环极点均为实数极点，则时间响应一定是单调的；如果闭环极点均为复数极点，则时间响应一般是振荡的。 （3）超调量。主要取决于闭环复数主导极点的衰减率 ，并与其它闭环零、极点接近坐标原点的程度有关。 （4）调节时间。主要取决于最靠近虚轴的闭环复数极点的实部绝对值 ；如果实数极点距虚轴最近，且它附近没有实数零点，则调节时间主要取决于该实数极点的模值。,4. 4. 1 闭环零极点位置对时间响应性能的影响,（5）实数零、极点影响。零点减小系统阻尼，使峰值时间提前，超调量增大；极点增大系统阻尼，使峰值时间滞后，超调量减小。它们的作用，随着其本身接近坐标原点的程度而加强。 （6）偶极子及其处理。如果零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则它们就构成了偶极子。远离原