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文档简介

1、第二节 齐次线性方程组,齐次线性方程组的概念,齐次线性方程组的基础解系,齐次线性方程组的解空间,一、齐次线性方程组,齐次线性方程组,若令,则 （1）可写成矩阵形式:,则 (1) 也可写成向量形式:,那么齐次线性方程组在什么条件下有非零解？ 当方程组有非零解时，如何求出其所有的解？,由(3)式可知:如果方程组(2)只有零解,即等式,线性无关,那么R(A)=n。,如果方程组(2)有非零解,则向量组,线性相关,那么R(A)n,定理,证明,只有系数全为零时成立,从而,反之亦然。,齐次线性方程组的解有两个重要的性质如下：,二、齐次线性方程组的解空间,若用S表示方程组(1)的全体解向量所组成的集合 则上述

2、两个性质即为：,这说明集合 S 对向量的线性运算封闭，所以S 构 成 的一个子空间，称其为齐次线性方程组(1) 的解空间。,是齐次线性方程组,的一组解向量，若它满足下列条件：,三、齐次线性方程组的基础解系,定义,解齐次线性方程组的关键即求其基础解系， 进而求出通解。,注意,得行最简形矩阵,不妨设,定理,以B为系数矩阵的方程组,称为方程组（*）的自由变量，,因为向量组（*）线性无关，按定理，加长的 向量组（*）也是线性无关的，这样就得线性方 程组(1) 的 n-r个线性无关的解。,下面，我们再证明,的任一解,则 仍是,的解，并且,的基础解系，即证明了当 R（A）= r n 时齐次,使基础解系由n

3、- r个解向量组成。,说明,方程组的基础解系不是唯一的,方程组的基础解系又称为解空间的基,若 是 的基础解系， 则其通解为,解 对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵,例 求解齐次线性方程组,由 知方程组有非零解且与下面方程组同解,选 为自由变量，得,令,解得,令,解得,从而得到一个基础解系,方程组的通解为,为任意常数,其中,注意：,将（1）式写成：,则直接可以写出方程组的通解为：,为任意常数,其中,例 求解齐次线性方程组,解 对系数矩阵进行初等行变换，化成阶梯形矩阵,得同解方程组,解得,故得方程组的一个基础解系为：,方程组的通解为,即,同上例：将系数矩阵化成行最简矩阵,得同解方程组：,则可得方程的通解：,线性方程组的解法,（1）应用克莱姆法则,（2）利用初等变换,特点：只适用于系数行列式不等于零的情形， 计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可 用来证明很多命题,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有 无

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