高等数学基础班讲义(张宇)

1、课程铸就品质 服务感动学员 全国免费咨询电话：400-668-21901 高等数学高等数学 基础班讲义基础班讲义 张宇张宇 课程铸就品质 服务感动学员 全国免费咨询电话：400-668-21902 AnAnAnAnAppreciatedAppreciatedAppreciatedAppreciated JourneyJourneyJourneyJourney InInInIn KaoyanKaoyanKaoyanKaoyan MathematicsMathematicsMathematicsMathematics 考研数学：一次欣赏之旅考研数学：一次欣赏之旅 答疑地址：答疑地址： 课程铸就品质

2、 服务感动学员 全国免费咨询电话：400-668-21903 一、一、2013201320132013 考研数学试题特点考研数学试题特点 1、稳定性：重基础，轻技巧 2、新意：计算量大 二、二、谁也抵挡不了几何直观的诱惑谁也抵挡不了几何直观的诱惑从一道优秀试题讲起从一道优秀试题讲起 0.2/0.30.2/0.30.2/0.30.2/0.3 0.5/0.60.5/0.60.5/0.60.5/0.6 【例】如图所示：)(xfy=光滑 以下四个选项一定正确的是（） ( )0fx = = = 选项，其中如图知 由公式得知。故选项 ）不成立。 选项 ）其中由选项 ）知 由公式得知 101010 111

3、10 1 10)(1);(10)0,(1)0, (10)(1)0( )( )0( )( )0 ( )( )(10)(1)(10)(1),(10)(1)0; (10)0 ,(1)0(10 fff fffx dxfx dxfxfxdx Cfxfxdxffffff fff = = 。故选项C）是否成立不确定。 选项D) 故选项D)成立 三、考研数学复习关键三、考研数学复习关键 1、夯实基础 知识（概念、定理、公式）以知识为核心 ( )() ( )()( )( ) , f xaba ba b fbaf bf a = 如果函数在（ ， ）上可导，上连续，则必有一，使 拉日 得 格朗中值定理 ab 凹 a

4、b 凸 课程铸就品质 服务感动学员 全国免费咨询电话：400-668-21905 【例】求()lim sin2014sin x xx + + 【答案简析】 () () ( )sin,2014 1 sin2014sincos2014,2014 2 1 lim sin2014sinlim 1007cos0 x f ttx x xxx x xx + =+ +=+ += 对在上用拉格朗日中值定理 故 数学思想（技术）与命题人成功交流 1）数形结合 【例】 （2014）如图所示：)(xfy=光滑 则 5 0 ( )( )0fxfxdx 【答案简析】 2 （5， 1） 课程铸就品质 服务感动学员 全国免费

5、咨询电话：400-668-21906 555 000 5 0 ( )( )( )( )(5)(1)(5)(1)(5)(1) (5)0 ,(1)0 ,(5)(1)0,( )( )0 fxfxdxfx dxfx dxffffff fffffxfxdx = 由图得知则即 2）等价转化的思想 将题目所给的某种陌生的问题形式， 等价转化为我们所熟知的另一种 问题形式，这是考研数学中普遍且重要的属性思想。 【例】求 3 2 0 1 coscos2cos3 lim x xxx x 【答案简析】 3 2 0 3 2 0 3 222 000 1 coscos2cos3 lim (1 cos )(coscosco

6、s2 )(coscos2coscos2cos3 ) lim (1 cos )cos (1cos2 )coscos2 (1cos3 ) limlimlim 13 13 22 x x xxx xxx x xxxxxxxxx x xxxxxx xxx + = =+ =+ += 【练习】求 0 1 cos cos2 cos3 lim, b x xxx a b ax 求 2、加强计算 指标：准快 1.用思想 2.用知识 3.熟能生巧 课程铸就品质 服务感动学员 全国免费咨询电话：400-668-21907 【例】 （2013） 设 0 arctan lim0, k x xx cc kck x =其中为常

7、数。则 【例】 （2009）已知 3 0 sin lim1, x xax a bab bx =其中为常数。则 【例】 （2014）设 3 0 arcsin lim1, x xlx l v vx =求 【例】 0 arctanarcsin lim tansin x xx xx 洛必达法则： 1( )( ) 2( )( )( )0 ( ) 3 lim ( ) ( )( ) limlim ( )( ) xa xaxa xaf xx afxxx fx x f xfx xx = （）当时，函数及F都趋于零； （ ）在点 的某去心邻域内，及F都存在且F； （ ）存在（或为无穷大）， F 那么 FF 证明：

8、 ( ) lim( )( )( )( )0 ( ) 12( )( ) ( )( )( )( ) () ( )( )( )( ) xa fx xaf aF af aF a x f xxax xa f xf xf af xa xxF a xa = = 因为求当时的极限与及无关，所以可以假定= F 于是由条件（）、（ ）知道，数及F在点 的某一邻域内是连续的。设 是 这邻域内的一点，那么在以 及 为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足， 因此有在 与 之间 FFF 令，并对上式两端求极限，3xaa注意到时，再根据条件（ ）便得到要 证明的结论。 课程铸就品质 服务感动学员 全国免费咨询电话：400

9、-668-21908 泰勒展开式： sincosxx 1357 33 33 111 sin 3!57 0,sin( ) 1 0,sin() 6 1 0,sin() 6 xxxxx xxxo x xxxxo x xxxxo x =+ =+ =+ =+ 【例】 2 5 0 sinsin(sin ) sin lim x xxx x 求 【答案简析】 32 2 55 00 1 sinsin sinsin(sin ) sin1 6 limlim sin6 xx xx xxx xx =不难看出 33 33 33 1 0,arcsin() 6 1 tan() 3 1 arctan() 3 xxxxo x x

10、xxo x xxxo x =+ =+ =+ 课程铸就品质 服务感动学员 全国免费咨询电话：400-668-21909 ( )( ) x a f xg t dt=设，则函数g(x)的图像为 udvuvvdu= ( ) ( ) n m P t nm Qt = = 极小值点 极大值点 【例】( ),( )( )() b a f xa ba bf x dxfba = 设在上连续，证明使得 【考点分析】本题考察了介值定理和最值定理 ( ) ( ) () 1( )(2)(3) ( ), b a f x dx f ba mf xMmMfa b = = 于是，用介值定理 介值定理三部曲： （） 欲证结论 【答

11、案简析】 1( ) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) (3),( ) bbb aaa bbb aaa b a mf xM mdxf x dxMdx mdxf x dxMdx mdxf x dxMdx bababa mM f x dx a bf ba = （） 由介值定理，使得 【考点分析】 极值： 课程铸就品质 服务感动学员 全国免费咨询电话：400-668-219012 ()() 6 1, ( )2,.( )0 3( )( ) a b f xa bda bf f af b = = （罗尔定理） ）上C 设满足以下三条）内则使得 ） () () 7 1, ( ) 2, ,. ( )( )

12、( )() ( )( ) 2)( ) () a b f x a bd a b f bf afba f bf a f ba = = （拉格朗日中值定理） ）上C 设满足以下两条 ）内 则使得 1) tansin 3 0 tansin 3 0 lim 0( )sin ,tan (tansin )tansin tansin1 lim 2 xx x t xx x ee x xf texx eeexxxx xx x + = = = 例 在上用拉格朗日中值定理 原式= sintansin 33 00 (1)tansin1 limlim 2 xxx xx eexx xx = 另解 原式= 最值： 00 00

13、 12112 ,( )()0, ,( )()0, I xI f xf xx xI f xf xx 区间 ：如（，），（，+ ）， 是最小值点； 是最大值点。 Th区间内部的最值点必为极值点 【定理证明】 00 00 00 00 00 000 0 ( )( )()0 ( )()( )() ()lim0;()lim0 ()()() ()0 xxxx f xxff xf x f xf xf xf x fxfx xxxx fxfxfx fx + + + = = = = 不妨设在 处取极大值，即 又 由于 于是 课程铸就品质 服务感动学员 全国免费咨询电话：400-668-219013 () 8 9 10 ( ),( )( )0 ,.( )0 f xa bfafb a bf + = 2 ( )( ) bb f xf b = 使得 证毕 不妨设 2 2 2 2、典型例题分析典型例题分