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文档简介

1、1.1 复数及其代数运算,1、复数的概念 2、复数的代数运算 3、小结与思考,一、复数的概念,1、虚数单位：,对虚数单位的规定：,虚数单位的特性,：,2、复数的定义,对于任意二实数x，y，称z=x+iy或z=x+yi为复数。 其中x，y分别称为z的实部（real part）和虚部（imaginary part），记作 x=Re(z)y=Im(z) 而i也称为虚单位。,当x=0时，y0，z=iy称为纯虚数； 当y=0时，z=x+0i，我们把它看作是实数x，例如复数3+0i可看作实数3。,复数的相等,两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。 一个复数z等于0，当且仅当它的实部和虚部同时等于

2、0。,说明：两个数如果都是实数，可以比较它们的大小， 如果不全是实数，就不能比较大小，也就是说，复数不能比较大小。,二、复数的代数运算,两个复数：z1=x1+iy1，z2=x2+iy2。,1、复数的加、减、乘运算 两个复数z1，z2的加、减及乘法定义分别为： (x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2)+i(y1y2) 及 (x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2y1y2)+i(x2y1+x1y2) 显然，当z1与z2为实数（即当y1=y2=0）时，以上两式与实数的运算法则一致。,2 复数的除运算,复数的除法可定义为：满足： z2z=z1 （z20） 的复数z=x+iy，称为z1=x1+

3、iy1除以z2=x2+iy2的商，记作z=z1/z2。 即：,复数除法公式的推导,因为z2z=(xx2yy2)+i(xy2+x2y)=x1+iy1，所以 xx2yy2=x1 （1） xy2+x2y=y1 （2） 由于z20，那么 从（1）和（2）式可以解得 ：,3 共轭复数/conjugate,把实部相同而虚部正负号相反的两个复数称为共轭复数，与z共轭的复数记作 。如果z=x+iy，那么 。,例1,解,共轭复数的性质,共轭复数有如下性质： （1） ； （2） （3） （4）,（5） 为实数。,复数运算满足交换律、结合律和分配律,z1+z2=z2+z1 z1z2=z2z1 （交换律） z1+(z

4、2+z3)=(z1+z2)+z3 z1(z2z3)=(z1z2)z3 （结合律） z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 （分配律）,复数运算的其它结果： （1）z+0=z 0z=0 （2） （3）若z1z2=0，则z1与z2至少有一个为零，反之亦然。,复数除法的计算,计算时z1/z2，可以利用共轭复数的性质（3）把分子分母同乘以 ，即可得到所求的商。,复数运算举例,例3 设z1=55i，z2=3+4i，求z1/z2与 。,解 所以,复数运算举例,例4 设z=1/i3i/(1i)，求Re(z)，Im(z)与 。,解 所以,复数运算举例,例5 设z1=x1+iy1，z2=x2+iy2为两个任意复数

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