用二次函数求面积最值.ppt

1、九年级 上册,南宁三十五中 蒙永宁,用二次函数求图形面积的最值,一、审题分析： 题目背景 ，学情分析， 教材编写意图,二、解题过程： 知识准备 ，说题目意思 说题目的解法 ，解题操作，解题归纳,三、总结提升:解题方法总结 ，题目变式延伸,四、评价分析： 教法设计 ，教学反思,说题流程,原题展现 习题22.3,7. 如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小。,一、审题分析- 题目背景,1、题材背景：本题出自人教版九年级上册22.3的第7题.,3、方法背景：学生从小学开始就知道正方形面积公式是正方形面积等于边长乘边

2、长，边长大正方形面积也就大，边长小面积就小，所以此题的关键在于怎么求出正方形EFGH边长的最小值。,2、知识背景：本题涉及的知识点有： 正方形的性质及面积， 全等三角形的证明， 勾股定理， 抛物线的顶点、二次函数的最值,几何图形中的动点问题。,4.思想背景：化归思想、函数思想、数形结合思想 。,一、审题分析- 学情分析,1.学生特点：本题的教学对象是九年级学生，他们的观察能力有所发展，有一定的模仿能力，会想到课本49页探究1是通过二次函数性质求图形面积最大或最小值，具有了一定化归思想 。,2.估计学生会出现的错误：有学生直接认为四个直角三角形全等，也就有了AE=BF，先求出小正方形的边长，然后

3、再利用边长的平方求面积。甚至会选取E在几个特殊点时求正方形EFGH的面积，然后从中取个最小面积所对的AE值作为题目的答案。,一、审题分析- 编者意图,此题作为二次函数与实际问题的一个综合运用题目，编者要求学生能用运动变化的观点看数学问题，进一步发展学生的数形结合思想。,本题从旨在引导利用二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，特别是顶点坐标的意义来求面积的最小值，也是对课本49页探究1的变式与拓展。也让学生去感受数学来源于生活并服务于生活。,二、解题过程-知识准备,1能抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向 ， 顶点坐标是 ，当x= 时，y有最 值是 .,2学生看课本49页探究1的解法，

4、再次感受把图形面积化为二次函数关系式来表示的化归思想。,二、解题过程-说题目意思,题目类型：本题从二次函数与实际问题的关系考察学生数形结合思想，是个综合性较强的题目。,已知条件：有两个正方形，内部小正方形的顶点E，F，G，H分别位于外部大正方形ABCD的四条边上。,待求的结论是：问我们当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？这样的一个问题情景学生还是比较熟悉的。当AE的长改变时会引起EF也发生变化，正方形EFGH的面积也就随之改变。所以此题是一个动态几何问题，题目就是相当于问AE等于多少时EF最长。,二、解题过程-说题目意思,待求的结论是：问我们当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？

5、这样的一个问题情景学生还是比较熟悉的。当AE的长改变时会引起EF也发生变化，正方形EFGH的面积也就随之改变。所以此题是一个动态几何问题，题目就是相当于问AE等于多少时EF最长。,画出函数y=x2-2x-3的图象，这是题目对我们的第一要求。到这个阶段应该如何作图？列表、描点、连线是作函数图象的三步曲，但现在我们已经对二次函数图象比较熟悉，就应采用五点作图法。,说题目,说题目,此题分为三问，第一问：方程 的解是什么，第二、三都是x取什么值时，函数的值大于或小于0。由易到难，步步为营，符合数学设问由浅入深的原则。,做好这个题对以后高中数学求函数值域、解一元二次不等式有很大的帮助，所以此题也是初高中

6、数学的连接纽带。,x2-2x-3=0,-1,1,-4,-3,y=x2-2x-3 =x2-2x+1-1-3 =(x-1)2-4,3,2,y=x2-2x-3,画函数图象的步骤： 1)列表 2)描点 3)连线(用圆滑的曲线),画出函数图象：,-1 0,0 -3,1 -4,2 -3,3 0,说解法,分析：这道题作为二次函数的典型复习题，用于复习和巩固二次函数的图象及其性质。 （1）分别令x=0，y=0即可求得交点坐标；（2）把函数解析式转化为顶点坐标形式，即可得顶点坐标；（3）根据图象与x轴交点可知方程的解； 、根据图象即可得知x的取值范围。,说解法,y=x2-2x-3,解：由图象知 方程x2-2x-

7、3=0的 解为x1=-1，x2=3,解答,y=x2-2x-3 =(x+1)(x-3),x-1或x3,-1x3,当 时，函数值小于0.,当 时，函数值大于0；,说思想,本题的设计先考察了把一元二次方程一般式化成顶点式、化归的数学思想方法，其次有效地考查了学生的作图能力，最后要求学生充分展现数形结合思想。,数学是研究现实世界中数与形关系的学科。我国著名数学家华罗庚教授有这么一段名言：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。” 此名言见人教版教师教学用书九上P105,二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题

8、：(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根； (2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围(3)写出不等式ax2+bx+c0的解集。,题形变式,解:(1)由抛物线y=ax2+bx+c(a0) 的图象, 可得x1=1，x2=3；(2) 由图先找到抛物线的对称轴， 要y随x的增大而减小 则x的取值范围为x2; (3) ax2+bx+c0 不等式解集为1x3。,问题:(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根； (2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 (3)写出不等式ax2+bx+c0的解集。,说反思,实际解题时有些学生为什么会对这类题感到困惑呢？ 我想主要是因为他们不能较快的由关系

9、式作出抛物线草图，或者不能理解图象上点的坐标的意义，也就是缺乏数形结合思想。,原题引申1,1. 画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答： (1)方程x2-2x-3=5的解是什么； (2)x取什么值时，函数的值大于5； (3)x取什么值时，函数的值小于5。,-1,1,-4,-3,y=x2-2x-3 =x2-2x+1-1-3 =(x-1)2-4,3,2,y=x2-2x-3,画出函数图象：,-1 0,0 -3,1 -4,2 -3,3 0,说解法,-1,1,-4,-3,3,2,y=x2-2x-3,解答,解：由图象知 方程x2-2x-3=5的 解为x1=-2，x2=4,当 时，函数值小于5.,当 时，函数值大于5；,x-2或x4,-2x4,2. 二次函数y=ax2+bx+c（a0）与一次函数y=mx+n的图象如图所示，直线与抛物线交于（0，3），（3，1）两点,根据图象解答问题：(1)写出方程ax2+bx+c=mx+n的根； (2)写出不等式ax2+bx+cmx+n的解集;(3)写出不等式ax2+bx+cmx+n的解集。,原题引申2,一叶知秋，题海不是解决问题的最好方法，如果能够深