图形的几何变换.ppt

1、第5章,图形几何变换,5.1 齐次坐标,5.2 窗口区视图区变换,5.3 二维图形变换,5.4 三维图形变换,主要教学内容,程序员用来定义草图的整个自然空间(WD),用户指定的任一区域(W),b. 小于用户域的窗口区W叫做用户域的子域。,a. 窗口区W小于或等于用户域WD,b. 用户域是一个实数域，理论上是连续无限的。,a. 人们所要描述的图形均在用户域中定义。,用户域：,窗口区：,5.2 窗口区视图区变换,5.2.1窗口区和视图区的概念,d.窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再定义第二层窗口，在第I层窗口中可再定义第I+1层窗口等等。,c.窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形窗口、多边形窗口等等

2、。,视图区：任何小于或等于屏幕域的区域,例如:图形显示器分辨率为1024768,屏幕域为？,d.视图区也可以嵌套。,c.视图区可以有多种类型：圆形、矩形、多边形等。,b.窗口区的图形显示在视图区，需进行窗口区到视图区的坐标转换。,a.视图区由用户在屏幕域中用设备坐标定义。,屏幕域(DC)：设备输出图形的最大区域，是有限的整数域。,DC0.10230.767,5.2.2 窗口区到视图区的坐标变换,用户域,屏幕域,(WXR,WYT),(WXL,WYB),(XW,YW),(VXR,VYT),(VXL,VYB),(XS,YS),XW -WXL XS-VXL YW -WYB YS -VYB,WXR-WX

3、L VXR-VXL WYT-WYB VYT-VYB,=,=,VXR-VXL,WYT-WYB,（Xw-WXL）+VXL,Xs=,Ys=,VYT-VYB,WYT-WYB,（Yw-WYB）+VYB,窗口区和视图区的坐标变换,窗口区和视图区的坐标变换,1) 当ac时，即x 方向的变化与y方向的变化不同时，视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。,简化为：,Xs=a.Xw+b,Ys=c.Yw+d,2)当a=c=1，b=d=0则Xs=Xw,Ys=Yw,图形完全相同。,我们可以在同一个图形输出界面上定义多个视图区，用来同时输出不同的图形。（如三视图和轴测图）,5.3 二维图形变换,x*=a.x, y*=d.y

4、a 0 0 (x* y* 1)=(x y 1) 0 d 0 0 0 1,当a=d=1时：物体尺寸不变,以坐标原点为缩放参照点(只有原点是保持位置不变的),当ad时：沿x,y方向作非均匀比例变换，图形变形。,当a=d1时：沿x,y方向等比例缩小,当a=d1时：沿x,y方向等比例放大。,a和d大于0,1. 比例变换（缩放变换）,产生压缩或拉伸的效果。,a=d=2,a=1，d=0.5,C(4,2),A(1,1),B(3,4),相对坐标原点缩放变换(以坐标原点为缩放中心)。当a=2,d=2时,变换后的各顶点坐标是多少?,X,Y,(0,0),C(4,2),A(1,1),B(3,4),相对坐标原点缩放变换

5、。当a=2,d=2时,变换后的各顶点坐标,X,Y,(0,0),如果以A(1,1)为缩放中心的缩放变换呢?,(1)关于X轴对称： X*=X，Y*= -Y 1 0 0（X* Y* 1）=（X Y 1） 0 -1 0 0 0 1 (2)关于Y轴对称： X*= -X，Y*= Y -1 0 0（X* Y* 1）=（X Y 1） 0 1 0 0 0 1,2.对称(反射、镜像）变换,变换的效果完全和平面镜成像一致。,(3) 关于原点对称： X*= -X，Y*= -Y -1 0 0（X* Y* 1）=（X Y 1） 0 -1 0 0 0 1 (4)关于Y=X直线对称： X*=Y，Y*=X 0 1 0（X* Y

6、* 1）=（X Y 1） 1 0 0 0 0 1 (5)关于Y= -X直线对称： X*= -Y，Y*= -X 0 - 1 0（X* Y* 1）=（X Y 1） - 1 0 0 0 0 1,对称变换,Y= -X,Y=X,P,P的各对称点在哪?,1) 当b=0 (c0)时， (x* y* 1)=(x+cy y 1)：沿x方向错切，图形的y坐标不变；,x*=x+c.y, y*=b.x+y 1 b 0 (x* y* 1)=(x y 1) c 1 0 0 0 1,当c0：图形沿-x方向倾斜一个角度。ABCD A2B2C2D2,当c0：图形沿+x方向倾斜一个角度。 ABCD A1B1C1D1,3.错切变换

7、,c与有何关系？,错切变换,2)当c=0 (b0)时， (x* y* 1)=(x bx+y 1)：沿y方向错切，图形的x坐标不变；,当b0：图形沿-y方向错切。ABCD A2B2C2D2,当b0：图形沿+y方向错切。ABCD A1B1C1D1,0 0 1,1 0 1,1 1 1,0 1 1,1 2 0,0 1 0,0 0 1,0 0 1,1 2 1,1 3 1,0 1 1,=,P17例2-2,OABC,错切变换,沿哪个方向错切？,3) 当b0且c0时， (x* y* 1)=(x+cy bx+y 1) ：图形沿x,y两个方向作错切位移。,错切变换,错切变换引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生

8、变形。,4. 旋转变换,S(x,y),S(x,y),O,cos sin 0 (x y 1)=(x y 1) -sin cos 0 0 0 1,如何推导？,点S(x,y)绕坐标系原点O逆时针旋转角,得到点S(x,y),点S(x,y)绕坐标系原点O顺时针旋转 角,得到点S(x,y). cos -sin 0 (x y 1)=(x y 1) sin cos 0 0 0 1,X,Y,物体上每个点旋转相同的角度,X*=X+L，Y*= Y+M 1 0 0（X* Y* 1）=（X Y 1） 0 1 0 L M 1,平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状。,L，M的含义？,5. 平移变换,物体上的每个

9、点平移相同的步长,几何逆变换,所有的几何变换都有逆变换，所谓逆变换就是指与原变换操作相反的操作过程。,平移变换的逆变换：反方向平移,旋转变换的逆变换：反方向旋转,缩放变换（sx,sy)逆变换：缩放变换（1/sx,1/sy),镜面反射变换的逆变换与原变换一样,6.复合变换,例如：先平移后旋转，与旋转后平移不同。,若T1,T2表示两个变换矩阵,一般 有T1.T2T2.T1,注意: 组合变换时,基本变换的顺序不能颠倒！,任何一个线性变换都可以分解为上述几类基本变换。,复合变换由若干个基本变换组合而成，变换结果矩阵是各步骤变换矩阵相乘,又称级联变换，指对图形进行一次以上的几何变换。,例1：复合平移,变

10、换矩阵为Tt=Tt1Tt2,求点P(x,y)经第一次平移变换（Tx1,Ty1），和第二次平移变换（Tx2,Ty2）后的坐标P*（x*, y*）,设点P(x,y,1)经第一次平移变换后的坐标为P(x y 1)，,经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1),解：,如何实现关于任意参照点Pr（Xr，Yr）的旋转变换 ？,需要经过哪几种基本变换?,P18例2-3：点P绕参考点F(xf,yf)逆时针旋转角。,1.把旋转中心F(xf,yf)平移至坐标原点，即坐标系平移（-xf,-yf），则,2.点P绕原点逆时针旋转角,P18例2-3：点P绕参考点F(xf,yf)逆时针旋转角。,3.将坐标系平移回原来

11、的原点,因此变换矩阵：,思考：如何实现关于任意参照点Pr（Xr，Yr）的放缩变换？,当a=1，d=0.5时，P的位置？,关于任意参照点 的放缩变换,需要经过哪几种基本变换?,思考：如何实现关于任意反射轴y=a+bx的反射变换？,P,P的对称点在何处？,需要经过哪几种基本变换?,P19例2-4：关于任意反射轴y=a+bx的反射变换。,每一步是什么变换？,例4：任意的反射轴的反射变换, 为 多少?,1. 将坐标原点平移到(0,a)处,2.将反射轴（已平移后的直线）按顺时针方向旋转角，使之与x轴重合,3.图形关于x轴的反射变换,4.将反射轴逆时针旋转角,例4：任意的反射轴的反射变换,5.恢复反射轴的

12、原始位置,因此,5. 4 三维图形变换,三维齐次坐标 (x,y,z)点对应的齐次坐标为,Z,X,Y,O,右手坐标系,标准齐次坐标(x,y,z,1),a 0 0 0 (x* y* z* 1)=(x y z 1) 0 e 0 0 0 0 j 0 0 0 0 1 1 b c 0 (x* y* z* 1)=(x y z 1) d 1 f 0 h i 1 0 0 0 0 1,当b=c=f=i=0时,则沿x方向错切; 当c=d=f=h=0,则沿y方向错切; 当b=d=h=i=0,则沿z方向错切.,x*=a.x, y*=e.y ,z*=j.z,1.比例变换,2.错切变换,3. 对称(反射、镜像）变换,对称于

13、XOY平面 x y z 1 = x y -z 1=x y z 1 对称于YOZ平面 x y z1 = -x y z 1=x y z 1 对称于XOZ平面x y z 1 = x -y z 1=x y z 1,4.三维旋转变换,绕X轴变换 空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标不变 只是Y、Z坐标发生相应的变化。,X,Y,Z,(y,z),(y,z),Y,Z,O,O,(y, z),(y,z),x = x y = cos(+) = y*cos- z*sin z = sin(+) = y*sin+z*cos,矩阵表示为：,三维旋转变换,遵循右手法则，即若0，大拇指指向轴的方向，其它手指指的方向为旋

14、转方向。,绕Y轴旋转 此时，Y坐标不变，X，Z坐标相应变化。,X,Y,Z,(x,z),(x z),X,O,O,Z,三维旋转变换,x = sin(+) = x*cos + z*sin y = y z = cos(+) = z*cos- x*sin,三维旋转变换,矩阵表示为,绕Z轴旋转 此时，Z坐标不变，X，Y坐标相应变化。,X,Y,Z,(x,y),(x y),X,Y,O,O,三维旋转变换,x = cos(+) = x*cos - y*sin y = sin (+) = x*sin+ y*cos z = z,三维旋转变换,矩阵表示为：,点P(x,y,z)绕z轴正向(逆时针)旋转 角,得到点P*(x

15、*,y*,z*). cos sin 0 0 (x* y* z* 1)=(x y z 1) -sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 点P(x,y,z)绕x轴正向(逆时针)旋转 角,得到点P*(x*,y*,z*). 1 0 0 0 0 cos sin 0 (x* y* z* 1)=(x y z 1) 0 -sin cos 0 0 0 0 1 点P(x,y,z)绕y轴正向(逆时针)旋转 角,得到点P*(x*,y*,z*). cos 0 -sin 0 (x* y* z* 1)=(x y z 1) 0 1 0 0 sin 0 cos 0 0 0 0 1,归纳,1 0 0 0（X* Y*

16、 Z* 1）=（X Y Z 1） 0 1 0 0 0 0 1 0 L M N 1,5. 平移变换,例：绕空间任意轴旋转（P23）。,基本思想：因任意轴不是坐标轴，应设法旋转该轴，使之与某一坐标轴重合，然后进行旋转角的变换，最后按逆过程，恢复该轴的原始位置。,已知任意轴AB，A点(Xa，Ya，Za),AB的方向数（a,b,c）,点P绕AB逆时针旋转 角,请写出变换矩阵。,何为方向数？,x,y,z,c,a,b,L,L,D,绕任意轴的旋转变换,需要几次基本变换?,绕任意轴的旋转变换,（1）将空间直线平移，使之通过坐标原点,T=,0 1 0 0,0 0 1 0,-Xa -Ya -Za 1,1 0 0

17、0,（2）绕x轴旋转角使之位于XOZ平面内,直线段L在YOZ平面上的投影L L2= b2+ c2 Sin=b/L cos=c/L,x,y,z,c,a,b,L,L,D,绕任意轴的旋转变换,0 cos sin 0,0 -sin cos 0,0 0 0 1,1 0 0 0,Rx=,(3) 绕y轴顺时针旋转角(使之与Z轴重合) 由于绕x轴旋转时，x坐标不变,A,L,Sin =a/L cos =L/L,L2-a2= b2+ c2=L2,绕任意轴的旋转变换,0 1 0 0,-sin 0 cos 0,0 0 0 1,cos 0 sin 0,Ry=,-sin cos 0 0,0 0 1 0,0 0 0 1,c

18、os sin 0 0,Rz=,(4)绕z轴旋转角,绕任意轴的旋转变换,(5)绕y轴逆时针旋转角(使之位于XOZ平面内),sin 0 cos 0,0 0 0 1,Ry=,cos 0 -sin 0,0 1 0 0,(6)绕x轴顺时针旋转(使之恢复通过原点的直线),0 sin cos 0,0 0 0 1,Rx=,1 0 0 0,0 cos -sin 0,绕任意轴的旋转变换,(7)平移使坐标原点返回到它原始位置,0 0 1 0,Xa Ya Za 1,T =,1 0 0 0,0 1 0 0,因此，绕空间任意轴旋转角的变换矩阵,R=T.Rx.Ry.Rz.Ry.Rx.T,绕任意轴的旋转变换,P24例2-5,已知单位立方体一顶点在原点O，与之相对的顶点为A（1,1,1),将该立方体绕OA轴逆时针旋转300,求变换后的立方体各顶点的坐标。,与前例有何关系？,第6章,形体的投影变换,6.1 概述,6.2 平行投影,6.3 透视投影,主要教学内容,显示器屏幕、绘图纸是二维的 显示对象是三维的 解决方法-投影,在二维屏幕上如何显示三维物体？,投影：将n维的点变成小于n维的点。,穿过物体的投影线将与投影平面相交,在投影面上形成物体的像, 这个像称为三维物体在二维投影面上的投影。,平面几何投影:投影