《大高考》2016届高考复习数学理(全国通用)：第八章 立体几何初步 第六节

1、第六节空间向量的应用,知识点一 空间向量的有关概念及定理 1.空间向量的有关概念,大小,方向,1,长度,模,模为0,相同,模相等,互相平行,重合,同一平面,相同,模相等,2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使cxayb. (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p_.其中，a，b，c叫做空间的一个_.,xaybzc,基底,知识点二 空间

2、向量的数量积及坐标运算 1.空间向量的数量积 (1)空间向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b.,a，b0,a，b,ab=0,(4)空间向量数量积的运算律 交换律：_； 分配律：_； 结合律：(ab)(a)ba(b)(R).,abba,a(bc)abac,2.向量的坐标运算,(a1b1，a2b2，a3b3),(a1b1，a2b2，a3b3),a1b1a2b2a3b3,a1b1，a2b2，a3b3(R,a1b1a2b2a3b30,【名师助学】 1.本部分知识可以归纳为： (1)一种方法：用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是： 适当的选取基底a，b，c； 用a，b，c表示相关向量； 通过运

3、算完成证明或计算问题. (2)三种对称： 关于坐标平面对称的三种情况,关于坐标轴对称的三种情况,方法1 空间向量的运算 用向量法或坐标法解决几何问题时，先用向量(或坐标)表示相应的点、线段、夹角等几何元素；然后通过向量(或坐标)的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系；最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论.,【例1】 (2014北京海淀模拟)如图，在空间 四边形OABC中，OA8，AB6，AC4， BC5，OAC45，OAB60， 则OA与BC所成角的余弦值为_. 解题指导(1)已知：空间四边形OABC，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60. (2

4、)分析：本题主要考查利用向量法求两条异面直线所成的角，解题的关键是选取合适的基底，并把相关的向量用基底表示出来.,点评利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题.,方法2 利用空间向量定理证明平行或垂直问题 (1)用向量证平行的方法 线线平行：证明两直线的方向向量共线. 线面平行：a.证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；b.证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行. 面面平行：a.证明两平面的法向量为共线向量；b.转化为线面平行、线线平行问题.,(2)用向量证明垂直的方法 线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零. 线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示. 面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示. 提醒：用向量证明平行、垂直时，要注意解题的规范性.如证明线面平行时，仍需要表明一条直线在平面内、另一条直线在平面外.,点评