2020高考数学艺考生冲刺第六章函数、导数及其应用第15讲函数与函数图象及性质课件.pptx

1、第六章函数、导数及其应用,第15讲函数与函数图象及性质,1.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集. (2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据. 2.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数通常叫做分段函数. 3.分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成,但它表

2、示的是一个函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,值域等于各段函数的值域的并集.,4.函数的单调性与最值 (1)单调函数的定义,(2)单调区间的定义 若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间. (3)函数的最值,(4)函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值.,5.函数的奇偶性与周期 (1)定义,(2)函数奇偶性常用结论 如果函数f(x)是偶函数,那么f(x

3、)=f(|x|). 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.,(3)周期函数 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.,6.函数的图象 (1)利用描点法画函数图象的流程,(2)利用图象变换法作函数的图象 平移变换:,伸缩变换:,对称变换:,翻折变换:,题型一求函数定义域,A.(-3,0B.(-3,1 C.(-,-3)(-3,0D.(-,-3)(-3,1,A.(-

4、1,+)B.-1,+) C.(-1,1)(1,+)D.-1,1)(1,+),【答案】 (1)A(2)C 【规律方法】,【易错警示】求定义域时,对解析式不要化简,求出定义域后一定要将其写成集合或区间形式. 【注意】不要对解析式进行化简变形,以免定义域发生变化.,变式训练一,A.(-4,-1)B.(-4,1) C.(-1,1)D.(-1,1,C,x(0,1,3.(1)已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(x2)的定义域; (2)已知函数f(x2)的定义域为(2,4),求f(x)的定义域; (3)已知函数f(x2)的定义域为(1,2),求f(2x+1)的定义域.,解:(1)f(x)的定义域为(

5、0,1),即0x1,故0x21, -1x1且x0,f(x2)的定义域为(-1,0)(0,1). (2)f(x2)的定义域为(2,4),即2x4,4x216, 故f(x)的定义域为(4,16). (3)f(x2)的定义域为(1,2),即1x2,1x24.,题型二函数的解析式,(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=.,(2)设f(x)=ax+b(a0) 则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b 即ax+5a+b=2x+17,不论x为何值都成立.,【规律方法】求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法

6、:若已知函数的类型,可用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;,式,通过解方程组求出f(x); (4)配凑法:由已知条件f(g(x)=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),即得f(x)的表达式.,变式训练二,f(x)=x2-2(x2或x-2),f(x)=x2-2(x2或x-2).,题型三函数的单调性,(2)(2019青岛模拟)已知函数f(x)=x3+sinx,x(-1,1),则满足f(a2-1)+f(a-1)0的a的取值范围是(),(3)若函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-,4)上是单调递增的

7、,则实数a的取值范围是(),(2)由题意知f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-(x3+sinx)=-f(x),x(-1,1), f(x)在区间(-1,1)上是奇函数. 又f(x)=3x2+cosx0, f(x)在区间(-1,1)上单调递增, f(a2-1)+f(a-1)0, -f(a-1)f(a2-1), f(1-a)f(a2-1),(3)当a=0时,f(x)=2x-3,在定义域R上是单调递增的,故在(-,4)上单调递增;,解得2a3,即实数a的取值范围是(2,3. 【答案】(1)B(2)B(3)D(4)(2,3,【规律方法】 (1)判断函数单调性的常用方法,(2)确定

8、函数的单调区间的方法,变式训练三,C,【解析】当x=1时,loga1=0,若f(x)为R上的减函数,则(3a-1)x+4a0在x1时恒成立. 令g(x)=(3a-1)x+4a.,值范围是() A.(-,1B.1,4 C.4,+)D.(-,14,+),D,【解析】作出f(x)的图象如图,由图象可知f(x)的单调递增区间是(-,2和(4,+), 函数y=f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a4或a+12,即a1或a4.故选D.,题型四函数的奇偶性、对称性及周期性 【例4-1】(1)判断下列函数的奇偶性.,f(x)的定义域为-1,1. 又f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0, f

9、(x)=f(-x). f(x)既是奇函数又是偶函数. 易知函数的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称,又当x0时,f(x)=x2+x, 则当x0, 故f(-x)=x2-x=f(x); 当x0时,-x0, 故f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数.,(3)f(x)是定义在R上的奇函数,f(0)=0. 又当x0,f(-x)=x2+4x.又f(x)为奇函数, f(-x)=-f(x), 即f(x)=-x2-4x(x0),(4)由题意,得f(-1)+f(1)=0,即2(a+1)=0,解得a=-1,经检验,a=-1时,函数f(x)为奇函数. 【答案】(1)奇函数奇函数既奇又偶函数偶函数(2

10、)-2,【例4-2】(1)(2019沈阳模拟)已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0 x1时,f(1)+f(2)+f(3)+f(2018)的值为.,【解析】 (1)由f(x+1)=-f(x)得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)的周期为2,f(1)+f(2)+f(3)+f(2018) =504f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5044+1)+f(5044+2),=1348. 【答案】(1)A(2)A(3)1348,【规律方法】 (1)判断函数周期性的方法 定义法:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T0)便可证明函数是周期函数,且周期为T.

11、 结论法:对f(x)定义域内任一自变量的值x, .若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a0);,(2)函数周期性的应用,根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质,即周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(kZ且k0)也是函数的周期.,变式训练四 1.已知函数f(x)=x3+sin x+1(xR),若f(a)=2,则f(-a)的值为() A.3B.0 C.-1D.-2,A.-1B.-2 C.1D.2,B,【解析】 设F(x)=f(x)-1=x3+sin x,显然F(x)为奇函数,又F(a)=f(a)-

12、1=1,所以F(-a)=f(-a)-1=-1,从而f(-a)=0.故选B.,A,【解析】 因为f(x)为奇函数,所以f(-8)=-f(8)=-log39=-2, 所以gf(-8)=g(-2)=f(-2)=-f(2)=-log33=-1.,3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x),则x0时,f(x)=.,则下列函数值为1的是() A.f(2.5)B.f(f(2.5) C.f(f(1.5)D.f(2),x(1-x),【解析】 当x0, 所以f(-x)=(-x)(1-x).又f(x)为奇函数, 所以f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x),所以f(x)=x(1-x

13、).,D,【解析】 由f(x+1)=-f(x)知f(x+2)=-f(x+1)=f(x),于是f(x)是以2为周期的周期函数,从而f(2.5)=f(0.5)=-1,f(f(2.5)=f(-1)=f(1)=-1,f(f(1.5)=f(f(-0.5)=f(1)=-1,f(2)=f(0)=1,故选D.,5.设定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x0,2)时,f(x)=2x-x2,则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(2019)=.,1010,【解析】 f(x+2)=f(x), 函数f(x)的周期T=2. 又当x0,2)时,f(x)=2x-x2,f(0)=0,f(1)=1,f

14、(0)+f(1)=1. f(0)+f(1)=f(2)+f(3)=f(4)+f(5)=f(2018)+f(2019)=1, f(0)+f(1)+f(2)+f(2019)=1010.,题型五作函数图像 【例5】作出下列函数的图象:,(2)将函数y=log2x的图象向左平移1个单位,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图.,先用描点法作出0,+)上的图象,再根据对称性作出(-,0)上的图象,即得函数图象如图.,【规律方法】函数图象的画法,变式训练五 作下列函数的图象:,(2)y=x2-2x+2,x(-1,2; (3)y=|x-1|,xR.,(2)用描点法

15、作出函数f(x)=x2-2x+2,x(-1,2的图象,如图所示.,(3)可先作出y=x-1的图象,将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,x轴上方的图象保持不变可得y=|x-1|的图象.如图中实线部分所示.,题型六函数图象的识别 【例6】(1)函数y=(x3-x)2|x|的图象大致是(),A B C D,(2)如图,矩形ABCD的周长为8,设AB=x(1x3),线段MN的两端点在矩形的边上滑动,且MN=1,当N沿ADCBA在矩形的边上滑动一周时,线段MN的中点P所形成的轨迹为G,记G围成的区域的面积为y,则函数y=f(x)的图象大致为(),AB C D,【解析】 (1)易判断函数为奇函数,由y=

16、0得x=1或x=0.且当01时,y0,故选B. (2)法一:由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径为 的扇形. 因为矩形ABCD的周长为8,AB=x,【答案】 (1)B(2)D,【规律方法】识辨函数图象的入手点 (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势. (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性. (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复. (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.,变式训练六,A B C D,A,B,B,【解析】由定义知,当x0时,2x1,f(x)=2x,当x0时,2x1,f(x)=

17、1,4.如图,不规则四边形ABCD中,AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线lAB交AB于点E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分的面积为y,则y关于x的图象大致是(),C,【解析】当l从左至右移动时,一开始面积的增加速度越来越快,过了D点后面积保持匀速增加,图象呈直线变化,过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢.故选C.,1.若函数y=f(x)的定义域为M=x|-2x2,值域为N=y|0y2,则函数y=f(x)的图象可能是(),B,【解析】可以根据函数的概念进行排除,使用筛选法得到答案.,B,3.设函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f

18、(x),则g(x)的表达式是() A.g(x)=2x+1B.g(x)=2x-1 C.g(x)=2x-3D.g(x)=2x+7,B,【解析】令t=x+2x=t-2,则有g(x+2)=f(x)g(t)=f(t-2)=2(t-2)+3=2t-1.,D,5.(2019开封模拟)已知f(x)是定义在R上周期为4的奇函数,当x(0,2时,f(x)=2x+log2x,则f(2019)=() A.5B. C.2D.-2,D,【解析】 由题意得f(2019)=f(4505-1)=f(-1)=-f(1)=-(21+log21)=-2,故选D.,6.下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是(),D,(0,1)

19、上是单调递增的,故排除.,7.若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间1,2上都是减函数,则a的取值范围是() A.(-1,0)B.(-1,0)(0,1 C.(0,1)D.(0,1,A.cbaB.bac C.bcaD.abc,D,【解析】f =-x2+2ax=- 2 +a2,因为f(x)在区间1,2上是减函数,所以a1;因为g(x)=(a+1)1-x,在区间1,2上是减函数,所以a+11,即a0.所以a的取值范围为(0,1.,B,9.已知函数f(x)=log2x+ ,若x1(1,2),x2(2,+),则() A.f(x1)0 C.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0,B,10.y=-x2+2|x|+3的单调增区间为 .,(-,-1,0,1,由图象可以得知,函数y=-x2+2