数理统计的基本概念.ppt

1、1,第六 章 数理统计的基本概念,总体与样本 直方图与经验分布函数 统计量及抽样分布,2,数理统计: 是一门具有广泛应用的学科.它以概率论为理论基础,根据试验或观察得到的数据来研究随机现象,对所研究的对象的客观规律性作出合理的估计和推断. 数理统计的内容: 数据的收集,整理 统计推断,3,6.1 总体与样本,1. 总体：研究对象的全体。 通常指研究对象的某项数量指标（如:某种灯泡的寿命, 某种产品的合格率等) 。更多的情况下,我们把全部可能的研究对象的数量指标的所有观察值称为总体. 组成总体的元素称为个体。 对总体的研究就是对某项数量指标（随机变量）的研究，实际上就是对该随机变量的概率分布进行

2、研究,从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。所以，我们一般用随机变量表示总体,4,2. 样本：来自总体的部分个体X1， ，Xn 如果满足：,（1）同分布性： Xi，i=1,n与总体同分布. （2）独立性： X1， ，Xn 相互独立； 则称为容量为n 的简单随机样本，简称样本。 而称X1， ，Xn 的一次实现为样本观察值，记为x1， ，xn,5,来自总体X的随机样本X1， ，Xn可记为,显然，样本联合分布函数或密度函数为,或,6,3.总体、样本、样本观察值的关系,总体,样本,样本观察值,？,理论分布,统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁

3、。总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律，因而可以用样本观察值去推断总体,7,直方图,设来自总体的一个样本为,样本观察值为,6.2 直方图与经验分布函数,8,(1) 对样本进行排序分组：作为一般性的原则，组数通常在520个，对容量较小的样本;,(2) 确定每组组距：近似公式为 组距t = (最大观测值 最小观测值)/组数;,(3) 确定每组组限： 各组区间端点为 t0, t1=t0+d, t2=t0+2d, , tk=a0+kd, 形成如下的分组区间 (t0 , t1 , (t1, t2, , (tk-1 , tk,具体步骤如下:,其中t0 略小于最小观测值, tk

4、略大于最大观测值.,9,（）统计落在每个小区间的频数,（）作频率直方图,（）近似得概率密度曲线图,例 为研究某厂工人生产某种产品的能力， 我们随机调查了20位工人某天生产的该种产品 的数量，数据如下,10,列出其频数频率分布表。,组序 分组区间 组中值 频数 频率 累计频率(%) 1 (147，157 152 4 0.20 20 2 (157，167 162 8 0.40 60 3 (167，177 172 5 0.25 85 4 (177，187 182 2 0.10 95 5 (187，197 192 1 0.05 100 合计 20 1,11,直方图是频数分布的图形表示，它的横坐标表示所

5、关心变量的取值区间，纵坐标是频率/组距，它可使得诸长条矩形面积和为1。,将直方图中每个长方形的“顶边”的中点用一条光滑的曲线连接起来，即得的分布密度函数的近似曲线,12,经验分布函数,设 X1, X2, , Xn 是取自总体分布函数为F(x)的样本，若将样本观测值由小到大进行排列,为 x(1), x(2), , x(n)，则称 x(1), x(2), , x(n) 为有序样本， 用有序样本定义如下函数,13,则Fn(x)是一非减右连续函数，且满足,Fn() = 0 和 Fn() = 1,由此可见，Fn(x)是一个分布函数， 并称Fn(x)为经验分布函数。,14,例1 某食品厂生产听装饮料，现从

6、生产线上 随机抽取5听饮料，称得其净重（单位：克） 351 347 355 344 354,x(1)= 344, x(2)= 347, x(3)= 351, x(4)= 354, x(5)= 355,这是一个容量为5的样本，经排序可得有序样本：,15,其经验分布函数为,由贝努里大数定律： 只要 n 相当大，Fn(x)依概率收敛于F(x) 。,16,6.3,一、 2分布,数理统计中常用到如下三个分布： 2分布、 t 分布和F分布。,17,2.2分布的密度函数f(x),18,3. 分位点 设X 2(n)，若对于：01， 存在,满足,则称,为,分布的上侧分位数。,19,4.性质 a.分布可加性 若X

7、 2(n)，Y 2(m ), X, Y独立，则 X + Y 2(n+m ) b.期望与方差 若X 2(n)，则 E(X)= n，D(X)=2n,1.构造 若XN(0, 1), Y2(n), X与Y独立，则,的分布称为自由度为n的t分布。 记为Tt(n),二、t分布,20,t(n) 的概率密度为,21,2.基本性质: (1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。 (2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即,3.分位点 设Tt(n)，若对 :00， 满足PTt(n)=， 则称t(n)为 t(n)的上侧分位点,22,注:,23,三、F分布,1.构造 若X 2(n1)， Y2(n2)，X， Y独立，则,称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F分布,其概率密度为,24,2. F分布的分位点 对于：00， 满足 PFF(n1, n2)=， 则称F(n1, n2)为 F(n1, n2)的 上侧分位点；,25,证明:设FF(n1,n2),则,注：,得证!,26,6.4、统计量及抽样分布1.统计量,定义：称样本X1， ，Xn 的函数g(X1， ，Xn ) 是 总体X的一个统计量,如果g(X1，