三角形的相似判定HL及总结

1、,回顾旧知 （1）所有的等边三角形都相似. （ ） （2） 所有的等腰直角三角形都相似. （ ） （3）有一个角相等的两等腰三角形相似 . （ ）,（4） 两个直角三角形相似 . （ ）,在判定两直角三角形全等时，除根据一般三角形全等判定定理外，还有HL方法. 类似地，要判定两个直角三角形相似，除了前面学习的一般三角形相似的三个判定定理外，也可以类比“HL”方法吗？,探究,已知：RtABC 和 RtA B C .,求证：ABCA B C .,思考：再添加什么条件，就可证明这两个三角形相似呢？,证明:,由勾股定理，得,ABCA B C .,此例可作为判定两个直角三角形相似的依据,请把已知、求证改

2、写成命题！,如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。,判定三角形相似的定理,HL,ABCA1B1C1,几何语言：,C=C1=90,22.2.5 相似三角形的判定（HL）,如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。,A,B,C,15,9,练习( 1 )如图 AB10，AC8，AB15，BC9 ABCABC吗？为什么？,C,A,B,10,8,例4：如图所示，已知ABC=CDB=90，AC=b，BC=a，当BD与a,b之间满足怎样的关系式时，以点A、B、C为顶

3、点的三角形与以点C、B、D为顶点的三角形相似？,分析：题中没给出以“点A、B、C为顶点的三角形与以点C、B、D为顶点的三角形相似的表达式”两三角形相似时对应边怎样确定呢？,例题解析,ABCCDB,故BD与CD的大小有两种可能.,图1,图2,可利用这个比例式解决， BD与a,b之间满足怎样的关系式时两三角形相似.,由图1得：,ABCCDB,解析,如图所示，已知ABC=CDB=90，AC=b，BC=a， 当BD与a,b之间满足怎样的关系式时，以点A、B、C为 顶点的三角形与以点C、B、D为顶点的三角形相似？,解：,CD,ABCBDC,CD,DC=,BD2=a2-( )2,BD=,答：,练习2：P8

4、4. 第3题,例2、如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，E是BC上的一点，AE交CD于点F，AEADAFAC， 求证：(1) AE是CAB的平分线； (2) ABAFACAE。,A,B,C,D,E,F,分析：,要证明AE是CAB的平分线，只要证明RtACERt 即可,要证明ABAFACAE，只要证明ACF,AECAFD,CAE=BAE,AE是CAB的角平分线,ACD+CAB=90,B+CAB=90,ACD=B,CAE=EAB,ACFABE,ABAF=ACAE,(2),(1),又,证明,A,B,C,D,E,F,相似三角形的判定定理：,定理3：两角对应相等，两三角形相似。,定理2：两边对应

5、成比例且夹角相等，两三角形相似。,定理1：三边对应成比例，两三角形相似。,知识回顾,例1：已知如图，ABAB，BCBC求证：ABCABC,证明： ABAB12， AB/ABOB/OB BCBC34， BC/BC OB/OBABCABC AB/AB BC/BC ABCABC,B,c,A,B,C,O,A,1,3,2,4,2.已知：如图，ABC中，P是AB边上的一点，连结CP满足什么条件时 ACPABC,解:A= A，当1= ACB （或2= B）时， ACPABC A= A，当AC:APAB:AC时， ACPABC A= A， 当4ACB180时， ACPABC,答：当1= ACB 或2= B 或

6、AC:APAB:AC或4ACB180时, ACPABC.,3. D为ABC中AB边上一点，ACD= ABC. 求证：AC2=ADAB,分析:要证明AC2=ADAB，需 要先将乘积式改写为比例 式 ，再证明AC、 AD、AB所在的两个三角形相 似。由已知两个三角形有二个 角对应相等，所以两三角形相 似，本题可证。,证明: ACD= ABC A = A ABC ACD AC2=ADAB,4. ABC中， BAC是直角，过斜边中点M而垂直于 斜边BC的直线交CA的延长线于E， 交AB于D，连AM. 求证： MAD MEA AM2=MD ME,分析：已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC

7、,所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相似。AM是 MAD 与 MEA 的公共边，故是对应边MD、ME的比例中项。,证明：BAC=90 M为斜边BC中点 AM=BM=BC/2 B= MAD 又 B+ BDM=90 E+ ADE= 90 BDM= ADE,B=E MAD= E 又 DMA= AME MAD MEA, MAD MEA 即AM2=MDME,A,C,D,E,M,5. 如图，ABCD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E， 求证：ED2=EO EC.,分析：欲证 ED2=EOEC，即证： ，只需证DE、EO、EC 所在的三角形相似。,证明： ABCD C=A AO=OB，DF=FB A= B， B= FDB C= FDB 又 DEO= DEC EDCEOD ，即 ED2=EO EC,6. 过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边 BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF EG .,分析：要证明 EA2 = EF EG ， 即 证明 成 立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：AEDFEB， AEB GED.,证明： ADBF ABBC A