整环,除环,域

1、3.2 整环，除环，域(3.2 Domain Ring, Divisor Ring and Field),3.2.1 零因子（Zero divisor） Def 1：设A是一个环, a,bA, 若ab=0 (且a0,b0)， 则称a是左零因子，b是右零因子。 若一个元素既是左零因子又是右零因子，则称它为零因子。 例：在M2(Z)中，,A是左零因子，B是右零因子。,设 则 所以A也是右零因子，因此A是M2(Z)中的一个零因子。 对可换环，左零因子，右零因子和零因子这三个概念合而为一。 那么在什么情况下，一个环内有零因子呢？零因子与环的什么性质有关呢？ 下面的这个定理回答了这个问题 Th1. 环中

2、无左（右）零因子的充要条件是乘法消去律成立 a0，ab=ac b=c (左消去律) a0，ba=ca b=c (右消去律),证明：必要性 ）a0，ab= ac，则有a（b-c）=0。因a0且环中无零因子，故必有b-c=0，即 b=c。 类似可证右消去律成立。 充分性）设若a0，则对a b= a 0，施行消去律得b=0；因而不存在a0，b0，使ab=0，即环中无任何零因子。 由定理可见，环中是否有零因子体现了环内的一种运算上的性质：消去律可否进行，这对方程的求解问题影响很大。,3.2.2 域 （Field）,Def 2：有单位元的可换环（A,+,）叫做整环，若|A|2,且A无零因子。 注：整环满

3、足如下的三个条件： 乘法适合交换律：ab= ba; 有单位元：1a=a; 无零因子：ab=0 a=0或b=0. 例1（Z，+，）是一个整环， 同理（Q,+,）（R,+,）（C,+,）亦然. ,Def 3：环R称为除环，如果（R, ）是一个群，其中R= aaR，a0（非零元集）. 注： R是群说明：R有单位元和逆元存在。 Def 4：环R 称为域，如果R是一个可交换的除环,即（R, ）是交换群。 注1由域的定义可知，域是一种特殊的环可交换 的除环。 注2具有有限个元素的域称为有限域： |R|=n 否则称为无限域： |R|= ,例2（Q,+, ）（R,+, ）（C,+, ）都是域，但是（Z，+，

4、）不是域。因为Z中关于乘法不构成群： a Z的逆元a-1不一定存在， 如 a=3，则a-1= 3-1Z。,Th 2.设（R,+,）是一个环，且有单位e，若aR* 关于乘法有逆元，则a不是零因子，从而除环没有零因子，域是整环。 证明： 设ab=0，则 a-1(ab)=a-10=0, a-1(ab)= (a-1a)b = e b= b， 从而b=0.同样，若ba=0，则可推得b=0，从而a不是零因子。 因为除环中每一个a0可逆，由知除环没有零因子。 因为域是除环，故域没有零因子；又域是有单位元e0的可换环，故域是整环。,例3剩余类环（Z/（n），+，），当n不是素数时，Z/（n）中有零因子，因为,

5、则有,所以 是零因子。但是当n是素数时，Z/（n） 是域。设n=p是素数,则,由于（k, p）=1,存在a,bZ,使ak+bp=1,都有,的逆元，故,是群。因而,是域，且为有限域，是最简单的有限域。,.即对,我们把上面的讨论归结为下面的命题。 命题：（Z/（n），+，）是域 n是素数p. 关于一般的有限环还有以下定理 Th3.一个非零的有限的无零因子环是除环。 证明：设环R0， |R|=n ,则R* （R*, ）是有限半群，由于R 中无零因子，故在R 中消去律成立，（R*, ）中消去律亦成立（因 而在R*中有单位元e=1, ae=a e=1; 且逆元xa=e x=a-1）, 故（R*, ）是群

6、，所以（R,+, ）是除环。 推论：有限整环是域。,最后，我们来看一个非可换除环（从而不是域）的例子 例4哈密顿四元数除环（实四元数除环）， division ring of real (Hamilton) quaternions 设H=ae+bi+cj+dka,b,c,dR,其中,不难验证：,易证H对矩阵的加法和乘法构成环，且有单位元e.下面 看H*中的非零元是否有逆元，设qH*,由于q的行列式,故q有逆,显然q-1 H*,故H*对乘法构成群，即H为除环。最后 指出H不是域。事实上，只要指出H中至少有两个元 素不可换即可。通过计算不难发现,所以H是一个不可换的除环而不是域，称为哈密顿四 元数除环。,H 中的元素 h=ae+bi+cj+dk 称为四元数，是一种比复数更广泛的数。其中e，i，j，k也可以用4维向量空间R4 的基