数值分析第7章—非线性方程与方程组的数值解法.ppt

1、1，7.1方程式寻找根和二分法，将非线性方程式设定为f (x)=0 (7-1)，方程式(2-1)的解法称为方程式的根或函数f (x)的零点。其中m是大于1的整数，g(x) 0称为方程(7-1)的m根或函数f (x)的m重零点，如果f (x)是n次多项式，则f (x)=0是n次代数方程，f(7-1)，f (x)是第7章非线性方程求根，2，2，1，根区间的一般方法，其中f(x)条件： (1)在a，b内连续，(2) f(a) f可以找到两种方法，其中f(x)在a，b内仍然单调，f(x)=0在a，b内只有一条根，相应地还有根部分。3、1。绘制y=f (x)的草图，该草图根据f(x)和水平轴交点的近似位

2、置确定分隔线。或者，使用函数的正负和函数f (x)的单调性确定根的近似位置。如果F (x)更复杂，您也可以将方程式f(x)=0转换为对等方程式(x)=(x)。然后，曲线y=(x)和y=(x)交点的交叉坐标为原始表达式的根，从而成为通过绘制获得的分隔线部分。4，检查以下方程式中是否有一些实际根和布线段。(1) f(x)=x3-x-1=0(2)f(x)=x4-4x 3 1=0，解决方案(1)f(x)=x3-x范例1，如图所示，方程式只有一条实际布线(1，1.5)，因此存在布线间隙。y=x3和y=x 1，5，5，0，(0，3)，(3，(2)方程式f (x)=x4-4x3 1=0，f ()0，6，上面

3、的分析可能表示f (x)中只有两个实际根，分别位于(0，3)，(3，f (4)=10)，因此第二个根可以收拢为(3，4)。7、2。您可以从逐步搜索方法(查找增值根的方法)、搜索流程、a或b开始。此时需要步骤h 0。增值根查找方法的基本思想是：从初始值开始，按照指定的初始阶段h添加值。同时计算。可能出现三种情况：即，方程式的根，描述区段没有根，描述区段有根，8，图2-1，图2-2，9，3，二分法，设定方程式f(x)=0即f(x)满足条件： (1) a，b内连续，(2) f(a) f(b)0，(3) f(x) a，b内严格单调。10，二分法中的步骤：(2) a2=a，b2=x1，(3)时，a2=x

4、1，b2=b。如果记住，a，b=a1，B1，中点计算f (x1)，(1) f (x1)=0，则x1为方程式的根x*。压缩根间距a2，B2以执行相同的步骤。如果每个2点分割间隔中点不是根，则此过程将无限继续。11，这样重复，可以得到一系列根集。因为每个区间是前一区间的一半，所以区间an，bn的长度为，n，区间最终缩小到一点x*。显然，x*是所需的根。只要，12，n足够大，即间隔二分之一足够大，误差就足够小。将间隙中点用作的近似值时，误差估计为：13，偶数根附近的曲线y=f(x)为向上或向下凸，即f(a)和f(b)的符号相同，因此无法用二分法找到重根。也就是说，范例2使用二分法寻找方程式f(x)=

5、x3-x-1=0的实际根，因此错误不会超过0.005。14，所需的近似根。即，使用x* 1.3242，15，示例3，二分法查找实际根，满足精度，解决方案，二分法计算结果(例如，表2-1: 16，16，)基本想法如下：方程式f (x)=0是等效方程式，然后在根间距内取点x0，按下一个计算以产生结果的序列，如果此序列有限制，则为19，此根方法称为固定点重复方法。如果迭代序列收敛，则称为迭代形式收敛，否则称为发散。如果(x)是连续的，则显然是方程式x=(x)的根。因此，得到了序列中满足精度要求的近似根。迭代格式，(x)是迭代函数，x0是迭代初始值，序列称为迭代序列。20，使用迭代方法执行方程式的三个

6、变体，寻找x4 2x2-x-3=0在间隔1，1.2内的实际根。解决方案，示例1，21，以上述三种形式设置迭代格式，使用x0=1执行迭代计算，结果是：22，第二种格式收敛得比第一种格式快得多，第三种格式不收敛。可见迭代格式不同，收敛也不同。正确的根=1.124123029。23，示例2，求解，原始方程的等效方程为其他形式，24，相应的迭代公式为：列表计算如下：25，表2-2，26，第二，迭代方法的几何意义，图2-3所示，27，28，29，30，3，固定点的存在和迭代方法的收敛，定理1 由于是由微分中值定理和条件值定理及条件(2)决定的，因此有微分中值定理和条件(2)，建立方程，有固定点，33，定

7、理2，(1) xa，b，b，正L1，则有随机xa，b，随机迭代，下一个错误估计，34，迭代过程收敛，和重复这个不等式，注意0 L 1，因此，x0 a，b，微分平均值定理，是，35，提示：定理的证明使用了定理1和微分平均值定理。36，37，L 1，所以上述定理在理论上很重要，但条件(1)不容易判别。在根的附近只调查重复形式的情况下，下一个定理可以避免条件(1)的识别。38，重复会发散。相反，如果在根的相邻u内称为局部收敛定理，则证明、39、示例1中使用的三种迭代格式都在根地块(1，1.2)内(例如，迭代收敛)。40，迭代收敛。重复发散。41，示例3，示例2的四重迭代方法的根附近的收敛，取根的近似

8、，解，不收敛，不收敛，42，收敛，收敛，前面的示例中的值越小，收敛速度就越快。43，4，迭代方法的收敛速度，p=1称为线性收敛，P1称为超线性收敛，使用“微分中值定理”和“泰勒”卷展栏，您可以得到以下定理3:显然，收敛顺序越大，收敛速度越快，p=2称为二次(平方)收敛，尤其是在命令、44的情况下，迭代过程是相邻p次收敛。(1)如果，(2)定理4，45，46，泰勒级数，求解，示例2，47，加速迭代方法，李莞迭代公式：李莞因子，7.3迭代收敛的加速方法，48，Steffensen如果能证明：那么厄特金法是2p一次收敛。重复格式，49，x=0.5附近的方程式x=e x，x25=x26=0.56714

9、33，如果此格式使用Stephenson方法，则x0=0.5，重复格式，取得，解析，51，示例4，使用松弛方法，史蒂文森方法查找初始值附近的方程，使用迭代格式，解决方案，松弛方法计算，导入，52，因此松弛方法的迭代公式为：53，Stephenson方法计算，迭代格式计算为：54，列表计算为：您可以在55，7.4牛顿法，1，牛顿法的基本思想，已知方程式f (x)=0的近似根x0，X0附近使用一阶泰勒多项式近似。也就是说，您可以使用线性方程式近似取代方程式f (x)=0。也就是说，56，求解这个线性方程，称为牛顿迭代公式。，57，示例1，解决方案，因此迭代公式计算如下：58，2，牛顿方法的几何意义

10、，表达式的根是曲线和轴交点的横坐标。如果选取初始值，则切线的x轴和交点的横坐标为：59，通常为第n个近似值，x轴和交点的横坐标为：图2-4。60，图2-4，61，将原始方程式转换为x e x=0时，Newton重复格式为x0=0.5，重复，x1=0.566311，x2=0.56561431，x3，示例4，求解，62，3，牛顿迭代法的收敛速度，牛顿迭代法的迭代函数非零，因此，63，万收敛速度明显减慢。1，单，Newton迭代方法在根附近二次收敛。如果将、2、m设置为根，则f (x)可以是表。在这里，使用牛顿迭代方法仍然收敛，找到64，事实上，顺序，65，是因为如果你用牛顿方法来寻找方程的重根，你

11、只能看到线性收敛。计算，66，3，中根的Newton迭代方法有两种方法：1)由于以下迭代格式，67，2)由于单个问题，请注意函数，以使u(x)=0的单根收敛为平方。68，Newton使用迭代方法查找靠近f (x)=(x-1) sin (x-1) 3x-x31=0.95的根。有关使用X0=0.95 Newton iterative method获取的xk，请参见右侧表格。解决方案，示例5，您可以看到xk收敛慢。69，m的中点为2，使用加速度法，x0=0.95 x1=0.998859x2=x3=1，使用牛顿迭代公式直接收敛要快得多。名为70，4，简化牛顿迭代公式的简化牛顿迭代方法。只要m选择正确，

12、常识总是线性收敛的。在Newton迭代公式中，用常数m替换，71，72，Newton向下方法，73，1，割线(弦切割)方法，7.5弦和抛物线方法，74，每一步都是代码切削方法(两点割线方法)，收敛顺序为75，76，000，可以证明每个步骤仅使用单点割线方法新点。在上，将xk-1更改为x0。即，77，3，割线方法的几何意义，两点割线方法使用点和两点的割线和x轴交点的横坐标作为新的近似值。重复此过程，使用点和上两个点的割线方法以及x轴交点的横坐标作为的下一个新近似值。图2-5，78，图2-5，图2-6，单点割线法则是使用点和两点的割线和x轴交点的横坐标的近似值，如图2-6所示。79，Newton iterative method寻找方程式f (x)=x4 2x2 x 3=间距(1，1.5)内的根(错误10-9)。X0=1.5，Newton，X6=1.124123030，使用单一割线方法时重复18次，x18=1.124123