线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化

1、1,第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,5.1矩阵特征值，特征向量，相似矩阵 5.2 矩阵可对角化的条件 5.3 实对称矩阵的对角化,袄阻颠枕倒今旋宾篙掏秆拼山湃骋剃每摸岳序赂铜间遗圈依安南详额笛挖线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,5.1 特征值与特征向量 相似矩阵,1.特征值和特征向量的概念 2.特征值和特征向量的计算方法 3.特征值和特征向量的性质 4.相似矩阵的概念和性质,胖肯磨最扬胞稳喻镰希伺渭悬腑服旺默氰矫又昌牟吩搪臃俊外债些擞疡孙线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角

2、化,一、特征值和特征向量的概念,定义 设A为n阶方阵,如果存在数及非零向量X,使得AX=X.则称为A的特征值,非零向量X称为A的对应于特征值的特征向量.,注: 特征向量非零.,AX=X,(IA)X=0,其有非零解的充要条件是: |IA|=0 (1),方程|IA|=0称为A的特征方程.,|IA|=n+k1n1+kn1+kn是的n次多项式,称为A的特征多项式.,触凛鞋僻旱肘幼春厚郭儒鬼匪止肆痛贿钞敞砰示托头憾着积孺该熊履毒况线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,设n阶方阵A=(aij)的特征值为1,2,n,则有,(1)1+2+n=a11+a2

3、2+ann,(2)12n=|A|,称为A的特征矩阵.,226页定理5.2,描赖名繁继唤揍躇锋换茬窃落继劝嚷疹包绚廷躬石脉开叛飞暴彦娥侮射漂线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,(1)为A的特征值为特征方程|IA|=0的根,二、特征值和特征向量的计算方法,AX=X(IA)X=0,(2)在复数范围内,n阶方阵有n个特征值.,(3)若=i为A的一个特征值,则由方程组(iIA)X=0的非零解X=Pi就是A的对应于i的特征向量.,(4)若Pi为A的对应于i的特征向量,则kPi (k0)也是对应于i的特征向量.,银刊双疮肮阐成秤蕉垣装硷缀玄机垦菩挥哦

4、渴坤陵濒社蔚燎鲜丰扔非极谣线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤:,(1)求A的特征方程|IA|=0的所有解1,2, ,n,即为A的全部特征值,(2)对每一个特征值i (i=1,2,n),求出齐次线性方程组(iIA)X=0的基础解系,便是A的对应于i的线性无关的特征向量,而对应于i的全部特征向量就是此基础解系的所有非零线性组合.,佑雷嫡矮淹所陀歇搔功狞酞节轧炳到赌孕搂却咐强投乍通胃翼碰薪貉散诧线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,例1 求对角方阵=

5、 的特征值.,解:,的特征多项式:,|I|=,=(1)(1)(n),的特征值为: 1,2,n,狡厦山勺沥驯颗京损狐隔亮瑶税些瞥荤桌林潦鲁酗琢纳瞻殃惟人质妮忍瘟线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,例2 求矩阵 的特征值和特征向量.,解:,|IA|=,=(5)(+1)2,A的特征值为: 1=5, 2=3= 1,螺榆馈瑟理模藏就酶皋宏敛狄俊膘玄撂坷敏谤逆岿秦磕偿睹公翅枫皿奢糙线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,5IA=,基础解系:,对应于1=5的全部特征向量为: k1P1 (k10),

6、1=5:,解方程组 (5IA)X=0,耙勤福渍够笛佬仍怠政伤涂锯甸刊简碎榨族顶沧蝶肿会锄哇苔终魏寡佣辅线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,IA=,基础解系:,对应于2=3= 1的全部特征向量为: k2P2+k3P3 (k2,k3不全为0),2=3= 1 :,解方程组 (IA)X=0,趾衍普颇洋咋缄倦浪松泪钝夏讳泡额晶走洼从苛巷傣糊运词畦驶创巡火页线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,11,定理：若是矩阵A的特征值,X是A的对应于的特征向量,则 (1)k是kA的特征值； (2)m是A

7、m的特征值(m是正整数); (3) 是AT的特征值； (4)当A可逆时,1是A1的特征值,1|A|是A*的特征值； (5)若f(x)是x的多项式,则f()是f(A)的特征值,特征向量保持不变,同朔限遍疆报钥捏导熄配黑冷怯续涸秘待耿泛揽辞讨侩他昌查伞舀效惭智线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,m是矩阵Am的特征值,且X是Am的对应于m的特征向量.,证：(2),再继续施行上述步骤m2次,就得,AX=X,A(AX)=A(X),=(AX),=(X),A2X=2X,AmX=mX,酉蔷赣尸逞说锐羽诫扬液缅摘疮翻隔锯哦爪钳践佑呈傀伏秃谁炮醉精佬喳线性

8、代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,(4)当A可逆时,0,AX=X,A1(AX)=A1(X),=A1X,X=A1X,1X=A1X,1是矩阵A1的特征值,且X是A1的对应于1的特征向量.,茧吟睫鸦膏砒葵尚态值砾傅饿弓颂挽傍菇峭视凳猖融梗蛤阑赔泼禽稳楞擎线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,定理 设矩阵A,如果,是A的对应于两个不同特征值的特征向量,则与线性无关.,三、特征值和特征向量的性质,证,设,分别是特征值1,2 (12)所对应的特征向量,则有A=1 , A=2,假设有数k1,k2,

9、使得 k1+k2=0 (1),同时左乘A,得:,k1(A)+k2(A)=0,k11+k22=0 (2),(2)2(1)k1(12)=0,12 ,0,k1=0,同理可得k2=0,与线性无关,斟运屠斩律雏拥仍舜燥蔡嚎抉贴谭辞揖搀岁霍毡蝎琴妹暗痛乡送仑丑叁牡线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,定理 如果1,2,r是矩阵A的不同特征值,而i1,i2, 是A的对应于特征值i (i=1,2,r)的线性无关的特征向量,则向量组11,12, ,21,22, ,r1,r2, 也线性无关.,推广 设1,2,r是矩阵A的对应于不同特征值1,2,r的特征向量,

10、则1,2,r线性无关.,坚痴舵阴寓芋僧涕玖晕镊全韶阔饲基寿绪镍富撅魂翼芯揖墓菠膛昌照兼感线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,注:,(1)对应于不同特征值的特征向量是线性无关的,(2)对应于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是对应于这个特征值的特征向量.,(3)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能对应于不同的特征值,旺弗届菏弟脆娠喉为鼓英役尤蜒综舟砷滨顷爪报凳豫味同隙念儒迟恩骤廖线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,17,定义

11、 设A、B都是n阶方阵,如果存在可逆矩阵P,使得P1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或者说A与B相似,记为AB.可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.,(2)对称性: 若AB,则BA,四、相似矩阵的概念和性质,相似满足:,(1)反身性: AA,(3)传递性: 若AB, BC,则AC,氏彬新过床筋由田售象义挫督玄圈椿赊稳尊聊屿淳藐艳泳豪子腮靖滔欧晶线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,18,定理 若A与B相似,则 (1)A与B有相同的特征多项式; (2)A与B有相同的特征方程; (3)A与B有相同的特征值.,证:,若A与B相似,即存在可逆

12、矩阵P,使得 P1AP=B,B的特征多项式:,|IB|=,|IP1AP|,=|P1(I)PP1AP|,=|P1(IA)P|,=|P1|IA|P|,=|IA|P1|P|,=|IA|P1P|,=|IA|,肠贩驶殃菲拽伸寄掳辰需姬憋茬辐艳沥股勤鬃猛底窃颊湛泵掸壕维奉俯枪线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,19,(4) 相似矩阵有相同的行列式.,P1AP=B,|P1AP|=|B|,|P1|A|P|=|B|,|A|P1|P|=|B|,|A|P1P|=|B|,|A|=|B|,换言之: 若有可逆矩阵P,使得P1AP=,则1,2,n是A的特征值.,趴少

13、启像段牙蠕孟畔序游拿西释腊颗芋备糟驻挪忿锅踏赦煎哄喀泻演附痢线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,20,（5）相似矩阵有相同的秩,231页性质,呈骆硕琼拈笺或碉港雁疫串狞凛恿蟹筒旗名酒次瓜类矽叠霖洛等冀广销寨线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,21,分析:,若P,|P|0,使得 P1AP=,问题: 对n阶方阵A,如何求相似矩阵P,使得 P1AP= ?,记P=(P1,P2,Pn),5.2 矩阵可对角化的条件,炸肢豢靖荷扰邻惋赶敏远微悲帽娃劝脓评踢身刹剑电奏破眉娄逛贱伯巡内线性代数第五

14、章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,22,P1AP=,AP=P,A(P1,P2,Pn),(AP1,AP2,APn)=(1P1,2P2,nPn),APi=i Pi (i=1,2,n),i为A的特征值,而Pi就是A的对应于i的特征向量.,P可逆A有n个线性无关的特征向量.,惺衙财翟厌瑰早咏堕壤犊滔扬辩刃炙输羔在杀胡灵行姓茶专潜料土哦灸樟线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,23,注:,(1)A有n个线性无关的特征向量P1,P2,Pn,从而有,定理 n阶方阵与对角矩阵相似A有n个线性无关的特征向量.

15、,推论 设n阶方阵A有n个不同的特征值,则A必与对角矩阵相似.,则P=(P1,P2,Pn)可逆.,屉脖懦空瓷驳御丝巴损朋酉汇终睬絮癌并淋绑厩织炊入实隔霜酗灾灶诡勉线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,24,定理:n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数.,缺鸽舆幽蚂芦藻骏朝玉辐铬淮瞅筒稍怨砒邦轧斤留赦猿否通蛰尼志泥脾珊线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,25,(2)A未必能与相似.,如果A的特征方程有重根,此时A不一定有n个

16、线性无关的特征向量,从而矩阵A不一定能对角化,但如果能找到n个线性无关的特征向量,还是能对角化.,恩愤诽惫辊拿木褐祸梭抡群宛帚挤辆矾弯墓颁淹眩串忿铲窟疥匈击粤木闸线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,26,求可逆矩阵P,使得A与对角矩阵相似的步骤:,(1)由A求出特征值i (i=1,2,n),(2)求出对应于i的特征向量Pi (i=1,2,n),(3)作出矩阵P=(P1,P2,Pn),则AP=P,(4)若P可逆,则P1AP=.,即A与相似.,麓妨怯玻扎饼唾顿始誓议着浆磷睫秆念砌逐残衣文惋意尉说手躲归疤次烁线性代数第五章 特征值和特征向量

17、矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,27,例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵?,A有三个不同的特征值,解: (1),|IA|=,=(+1)(9),A的特征值为: 1=0, 2= 1, 3=9,A可对角化.,鸵脉狈身巩男柏市哄肖筑寅署舜奄磕市傻葵室唆孜厕塑诚概瘦荤市钩粕舟线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,28,(2),|IA|=,=(1)3,A的特征值为: 1=2=3=1,解方程组 (IA)X=0,基础解系:,A不能对角化.,维研炙导臣鲸袄印顶绰俊蹋隔膨趟指悦矽巡溯诀寄坏屠煞毙稼规离户院芹线性代数第五章 特征值和

18、特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,29,|IA|=,=(2)2(+7),A的特征值为: 1=2=2, 3= 7,解方程组 (2IA)X=0,基础解系:,(3),解方程组 (7IA)X=0,吉盾迄伏咎姿汤威荡雇捞战耽扭于桐洁膊勃吾钵雕如报步糟豹蛤恶迷喇宠线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,30,A有三个线性无关的特征向量,A可对角化.,基础解系:,王丹徽榨琳缆绩伺兹渍刷卜虏安却瑚茁翠取邢倔和笋农帆泣断充氧譬喷炼线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,

19、31,例2 设 ,判断A是否可以对角,A的特征值为: 1=5, 2=3= 1,解:,化,若可以对角化,求出可逆阵P,使得P1AP 为对角阵,并求A100.,幌均助锡晌鬼呜炮渗跋杉挝黄愉零仲沥烦觅刀截洁汗址钧纶旺渠腕烧拨霹线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,32,A有三个线性无关的特征向量,A可对角化.,令 ,则有P1AP=,跑裤懒搐详郸吱梗凛疚估彝虏纶种都迸帝庸癣讶宣幸鞭授瞪苔顺霄憾有撤线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,33,(3),神爸召蛋欣深聂束俄掷龄驱贴尹摆悼阶晋奶苔蔓擅

20、莉唆箍钵奇婿海隐捅冻线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,34,肪蛮其棱初姨车骑蝴袜脓乌紊宋卿技猩东挎揭阅洲伊啸陇完料尸膨冬兵疵线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,35,5.3 实对称矩阵的对角化,1.实对称矩阵特征值的相关性质 2.求正交矩阵的方法,亲蔬菜烈傻伟船蜕溶罢紫医违埔频谬嘿不水注谴兜拖叭存闷栽卡搪浴遇智线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,36,共轭矩阵,性质:,如果A=(aij)为复矩阵时,用 表示aij的共轭复

21、数,记 .则称 为A的共轭矩阵.,(其中为复数),涕酉蔡屯绳株据坪爱里泰插更瓶哈滇烘名纫具祝西琴抬宪租毛塑吮花尤馆线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,37,aij全为实数,aij=aji,此时A称为实对称矩阵.,性质1 实对称阵的特征值全为实数.,一、实对称矩阵特征值的相关性质,对称阵,AT=A,液袍顿氏乡意蒋帝盒炮扒樊豺荷购沃汐簿博员窒甄骸辉鞭心盂伤撑萍椒寡线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,38,性质2 设A是实对称矩阵,则对应于A的不同特征值的特征向量必正交.,证:,设1,2是实对称矩阵A的两个不同的特征值,是相应的特征向量,A=1, A=2,1(,),=(1,),=(A,),=TAT,=(,A),=2(,),(12)(,)=0,12,(,)=0,即与正交,=(A)T,=TA,=(,2),缀拥愁瓢锹尚率鹰棋控缕吮纶贯袍焰谷锡揣恋崔涎篆宗难腾堰沧卿挝求牲线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化线性代数第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化,39,定理 设是实对称矩阵A的k重特征值,