高中数学课件 椭圆的标准方程

1、椭圆及其标准方程(一),平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做焦距,1.椭圆的定义,椭圆的定义应该包含几个要素？,（1）在平面内,（2）到两定点F1，F2的距离等于定长2a,（3）定长2a |F1F2|,2.方程的推导,以两定点F1、F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图)。,设|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-c，0)，F2(c，0)，且M到F1，F2的距离和为2a.,由椭圆的定义, 可知：|MF1|+|MF2|=2a,由两点间的距离

2、公式，可知：,即：,两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),因2a2c，即ac，故a2-c20， 令a2-c2=b2，其中b0，代入上式 , 可得：,两边同时除以a2(a2-c 2) 得：,这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)这里c2=a2-b2,3椭圆标准方程分析,我们把方程 叫做椭圆的标准方程，它表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、 F2(c，0)这里c2=a2b2,如果椭圆的焦点在y轴上，焦点是F1(o,-c)、F2(0,c

3、).这里c2=a2-b2方程是怎样呢？,由两点间的距离公式，可知：,设|F1F2|=2c(c0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(0,-c)，F2(0,c)，,又由椭圆 的定义可得： |MF1|+ |MF2|=2a,4椭圆标准方程分析,只须将(1)方程的x、y互换即可得到,这个也是椭圆的标准的方程,x,Y,椭圆的标准方程的再认识：,（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1,（3）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。,（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪 一个轴上。,例1、填空： (1)已知椭圆的方程为： ，则a=_，b=_，

4、c=_，焦点坐标为：_焦距等于_;若CD为过左焦点F1的弦，则F2CD的周长为_,例题精析,5,4,3,(3,0)、(-3,0),6,0,判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。,|CF1|+|CF2|=2a,(2)已知椭圆的方程为： ,则 a=_，b=_，c=_， 焦点坐标为：_，焦距 等于_; 若曲线上一点P到左焦点F1的距离为3，则 点P到另一个焦点F2的距离等于_， 则F1PF2的周长为_,2,1,(0,-1)、(0,1),2,P,|PF1|+|PF2|=2a,例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：,(1)两焦点的坐标分别是（-4，0）、（4，0）， 椭圆上一

5、点P到两焦点距离之和等于10。,(2)两焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0）， 且椭圆经过点P 。,.,例2.圆 上任取一点P ,过点p作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？,点击此处观看动画演示,y,O,P,x,D,M,例3.如下图，设点A,B 的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是 ，求点M的轨迹方程。,y,O,M,x,B,A,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c之间的关系,c2=a2-b2,MF1 + MF2 =2a (2a2c0),定 义,注:,共同点：椭圆的标准方程表