第四章 拉普拉斯变换.ppt

1、1,第四章 拉普拉斯变换,拉氏变换的定义从傅立叶变换到拉氏变换 拉氏变换的收敛域 拉普拉斯变换的性质 周期和抽样信号的拉氏变换 拉普拉斯逆变换 拉氏变换与傅氏变换的关系 连续系统的复频域分析,2,有几种情况不满足狄里赫利条件： u(t) 增长信号 周期信号,若乘一衰减因子 为任意实数，则 收敛，于是满足狄里赫利条件,4.1拉氏变换的定义从傅氏变换到拉氏变换,3,从傅里叶变换到拉普拉斯变换,引入：衰减因子e-t(为实常数）,4,从傅里叶变换到拉普拉斯变换,设：s = + j（复频率）, d=ds/j,5,从傅里叶变换到拉普拉斯变换,拉普拉斯变换符号表示及物理含义,符号表示：,物理意义：,信号f(

2、t)可分解成复指数est的线性组合,F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。,s是复数称为复频率，F(s)称复频谱。,6,任一信号f(t)的双边拉普拉斯变换不一定存在。由于f(t)的双边拉普拉斯变换是信号 的傅里叶变换，因此，若 绝对可积，即,双边拉普拉斯变换的收敛域,记：ROCregion of convergence,拉普拉斯变换的收敛域,7,双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂，并且收敛条件较为苛刻，这就使其应用受到限制。实际中的信号都是有起始时刻的(tt0时f(t)=0)，若起始时刻t0=0, 则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变换的积分下限为“0-” ，该变换称为单边

3、拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收敛域简单，计算方便，线性连续系统的复频域分析主要使用单边拉普拉斯变换 。,8,单边拉普拉斯变换及其存在的条件,关于积分下限的说明：,积分下限定义为零的左极限，目的在于分析 和计算时可以直接利用起始给定的0-状态。,单边拉普拉斯变换,9,拉普拉斯变换LT与ILT定义,与傅里叶变换的关系,与单边LT的关系,因果信号的单边LT与双边LT是一样的。,10,单边拉普拉斯变换收敛条件,单边拉普拉斯变换存在的条件,对任意信号f(t) ，若满足上式，则 f(t)应满足,( 0),充要条件为：,11,单边拉普拉斯变换收敛条件,单边拉普拉斯变换存在的条件,0称收敛条件,0称绝对收敛

4、轴,S平面,右半平面,左半平面,12,常用信号的拉普拉斯变换,1.指数型函数,13,常用信号的拉普拉斯变换,.正余弦型函数,14,、双曲正弦余弦信号,.阶跃函数u(t),常用信号的拉普拉斯变换,15,三、常用信号的拉普拉斯变换,.,16,常用信号的拉普拉斯变换,.t的正幂函数tn，n为正整数,根据以上推理,可得,17,表 4. 常用信号的单边拉普拉斯变换,18,4.1拉普拉斯变换,意义： 拉普拉斯变换是求解常系数线性微分方程的工具,使求解方程得到简化，且初始条件自动包含在变换式里 利用系统函数零点、极点分布分析系统的行为规律,19,4.2 单边拉普拉斯变换的性质,1.线性特性,若,则,20,单

5、边拉普拉斯变换的性质,2.展缩特性(尺度变换),若,则,21,单边拉普拉斯变换的性质,3.时移特性,若,则,22,单边拉普拉斯变换的性质,4.卷积特性,若,则,收敛域至少是F1(s)的收敛域与F1(s)的收敛域的公共部分。,23,单边拉普拉斯变换的性质,5.乘积特性,若,则,24,单边拉普拉斯变换的性质,6、复频移性质,若,则,7、复频域微分与积分,25,单边拉普拉斯变换的性质,8.时域微分特性,证明：,26,单边拉普拉斯变换的性质,8. 时域微分特性,重复应用微分性质，求得：,若 f(t) = 0, t0, 则有f r(0 -) = 0，r=0,1,2,.,27,单边拉普拉斯变换的性质,9.

6、时域积分特性,若f -1(0-)0， 则有,28,单边拉普拉斯变换的性质,9.时域积分特性,证明：,其中， 右边第一项,第二项按部分分式，得,29,单边拉普拉斯变换的性质,10.初值定理和终值定理,若f(t)在t=0不包含冲激及其各阶导数 则,若sF(s)的收敛域包含jw轴 则,30,拉氏变换的基本性质（1）,线性,微分,积分,时移,频移,31,拉氏变换的基本性质（2）,尺度变换,终值定理,卷积定理,初值定理,32,周期信号的拉氏变换,第一周期的拉氏变换,利用时移特性,利用无穷级数求和,33,例：正弦余弦信号的拉氏变换,34,例：衰减余弦的拉氏变换,频移特性,35,矩形周期信号拉氏变换,第一周

7、期的拉氏变换,利用时移特性,利用无穷级数求和,36,求周期信号的拉氏变换,LT,信号加窗 第一周期,37,单对称方波,周期对称方波,乘衰减指数,包络函数,38,抽样信号的拉氏变换,抽样序列,抽样序列的拉氏变换,时域抽样信号,抽样信号的拉氏变换,39,4.3 单边拉普拉斯逆变换,计算拉普拉斯反变换方法：,2. 利用复变函数中的留数定理,3. 采用部分分式展开法,1. 查表法,40,4.3.1 查表法,例 已知 ，求F(s)的原函数f(t)。 解 F(s)可以表示为,41,由附录五查得编号为13的象函数与本例中F(s)的形式相同。编号13的变换对为,与本例中F(s)的表示式对比，则b1=1, b0

8、=1，=2，代入变换对得,42,4.3.2 部分分式展开法,若F(s)为s的有理分式，则可表示为,式中，ai(i=0, 1, 2, , n-1)、bi(i=0, 1, 2, , m)均为实数。若mn, 则 为假分式。若mn，则 为真分式。,43,式中，ci(i=0, 1, 2, , n-1)为实数。N(s)为有理多项式，其逆变换为冲激函数及其一阶到m-n阶导数之和。 为有理真分式，可展开为部分分式后求逆变换。例如，,若F(s)为假分式，可用多项式除法将F(s)分解为有理多项式与有理真分式之和， 即,44,则,45,若 为有理真分式， 可直接展开为部分分式后求逆变换。要把F(s)展开为部分分式，

9、必须先求出A(s)=0的根。因为A(s)为s的n次多项式，所以A(s)=0有n个根si(i=1, 2, , n)。si可能为单根，也可能为重根；可能为实根，也可能为复根。si又称为F(s)的极点。F(s)展开为部分分式的具体形式取决于si的上述性质。,46,1. F(s)仅有单极点,若A(s)=0仅有n个单根si(i=1, 2, , n)，则根据因式分解方法分解，无论si是实根还是复根，都可将F(s)展开为,式中，各部分分式项的系数Ki为 :,47,2. F(s)有重极点,若A(s)=0在s=s1处有r重根，而其余(n-r)个根sj(j=r+1, ，n)，这些根的值是实数或复数，则,式中：,4

10、8,先求F1(s)的逆变换，因为,由复频移性质，可得,F(s)的单边拉普拉斯逆变换为,49,3. F(s)有复极点,如果A(s)=0的复根为s1,2=-j，则F(s)可展开为,式中，K2=K*1。 令K1=|K1|ej, 则有,50,由复频移和线性性质得F(s)的原函数为,对于F(s)的一对共轭复极点s1=-+j和s2=-j，只需要计算出系数K1=|K1|ej(与s1对应)，然后把|K1|、代入上式中，就可得到这一对共轭复极点对应的部分分式的原函数。,51,如果F(s)有复重极点，那么相应的部分分式也呈现与复单极点类似的特点。以A(s)=0的根为二重共轭复根s1,2=-j为例， 其F(s)可展

11、开为,52,式中：,根据复频移和线性性质，求得F(s)的原函数为,53,4.4 连续系统的复频域分析,微分方程描述系统的s域分析 电路的s域模型,54,一、微分方程描述系统的s域分析,55,一、微分方程描述系统的s域分析,1.连续信号的复频域分解,根据单边拉普拉斯逆变换的定义，若信号f(t)的单边拉普拉斯变换为F(s)， 则信号f(t)可以表示为,56,2.基本信号 激励下的零状态响应 若线性时不变连续系统(LTI)的输入为f(t), 零状态响应为yf(t)，冲激响应为h(t)，由连续系统的时域分析可知:,若系统的输入为基本信号，即 则,若h(t)为因果函数，则有,57,式中：,即，H（s）是

12、冲激响应h(t)的单边拉普拉斯变换，称为线性连续系统的系统函数， 称为系统的特征函数。,58,3.一般信号f(t)激励下的零状态响应,对于-j到+j区间上的任一s，信号est产生的零状态响应为H(s)est。est与其响应的对应关系表示为,根据线性系统的齐次性，对于-j到+j区间上的任一s， 为一复数，因此，信号产生的零状态响应可以表示为,59,根据线性系统的可加性，由于系统的输入信号f(t)可以分解为-j到+j区间上不同s的指数信号 和(积分)，因此，系统对f(t)的零状态响应等于这些指数信号产生的零状态响应之和。 对应关系为,即f(t)产生的零状态响应Yf(t),60,因为 是因果信号，所

13、以yf(t)也是因果信号。 另一方面，由于yf(t)=h(t)*f(t)，根据时域卷积性质，则yf(t)的单边拉普拉斯变换为,61,前面讨论表明，系统的零状态响应可按以下步骤求解： (1) 求系统输入f(t)的单边拉普拉斯变换F(s); (2) 求系统函数H(s); (3) 求零状态响应的单边拉普拉斯变换Yf(s)，Yf(s)=H(s)F(s); (4) 求Yf(s)的单边拉普拉斯逆变换yf(t)；,62,系统微分方程的复频域解,设二阶连续系统的微分方程为,式中，a0、a1和b0、b1、b2为实常数；f(t)为因果信号，因此，f(0-)、f(0-)均为零。设初始时刻t0=0, y(t)的单边拉

14、普拉斯变换为Y(s)，对式两端取单边拉普拉斯变换， 根据时域微分性质，得,63,分别令,64,对上式取单边拉普拉斯逆变换，就得到系统的完全响应y(t)、零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)， 即,65,由于Yf(s)=H(s)F(s), 则二阶系统的系统函数为,设n阶连续系统的微分方程为,n阶系统的微分方程为,66,关于响应的初始值需注意以下问题：,于是得,（1）对于n阶线性连续系统，由于yx(t)+yf(t), 因此有,系统微分方程的复频域解,67,（2）对于n阶线性连续因果系统，若在t0时yx(t)满足的微分方程相同，则,对于因果系统，若输入f(t)为因果信号，则 一般不等于零，因此

15、得,68,例 已知线性系统的微分方程为,求系统的零输入响应yx(t)、零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。,69,f(t)的单边拉氏变换为,解 : 根据单边拉氏变换的时域微分性质，对系统微分方程取单边拉氏变换，得,70,求Y(s)、Yx(s)、Yf(s)的单边拉氏逆变换，得,71,二、电路的s域模型,系统元件的s域模型 KCL KVL的s域模型 RLC系统（电路）的复频域模型,72,二、电路的s域模型,时域,复频域,73,二、电路的s域模型,R、L、C串联形式的s域模型,74,二、电路的s域模型,L、C并联形式的s域模型,75,RLC系统的复频域分析,KCL、KVL的复频域形式,KCL和K

16、VL的时域形式分别为,设RLC系统(电路)中支路电流i(t)和支路电压u(t)的单边拉普拉斯变换分别为I(s)和U(s)，对上式取单边拉普拉斯变换，根据线性性质， 得到,76,例 图 (a)所示RLC系统，us1(t)=2V, us2(t)=4V, R1=R2=1，L=1H，C=1。t0时电路已达稳态，t=0时开关S由位置1接到位置2。求t0时的完全响应iL(t)、零输入响应iLx(t)和零状态响应iLf(t)。,解 (1) 求完全响应iL(t)：,77,例 图,78,则S域的网孔方程为,式中， ， 把Us2(s)及各元件的值代入网孔方程， 解网孔方程得,79,求IL(s)的单边拉氏逆变换，得

17、,80,(2) 求零输入响应iLx(t)：设零输入响应iLx(t)的单边拉氏变换为ILx(s)，网孔电流的象函数分别为I1x(s)和I2x(s)，如图 (c)所示。列网孔方程，得,把各元件的值及uC(0-)和iL(0-)的值代入网孔方程，,81,(3) 求零状态响应iLf(t)：,对图 (b)所示电路模型，令iL(0-)=0、uC(0-)=0，得到开关S在位置2时零状态响应的S域电路模型，如图 (d)所示。设零状态响应ILf(t)的单边拉氏变换为ILf(s)，可应用网孔分析法求ILf(s)， 然后求ILf(s)的逆变换得到iLf(t)。此外，也可以根据S域电路模型求出系统函数H(s)，然后通过H(s)求ILf(s)和iLf(t)。令ab端的输入运算阻抗为Z(s)，则有,82,于是得,把Z(s)的表示式代入上式得到H(s)为,83,因此得,求ILf(s)的单边拉氏逆变换， 得,84,拉氏变换与傅