第五章-等参元单元法.ppt

1、5.1四节点四边形等参单元PLANE42，1。等参单元的概念四节点矩形单元很难应用于对角线边界。然而，四节点任意四边形单元容易适应这种边界，但用整体坐标表示的位移函数不能满足位移协调条件，计算k和pe时不易确定积分的上下限。为了解决这一矛盾，xy坐标系中的任意四边形单元可以通过坐标变换转换成另一坐标系中的矩形单元。这样，矩形单元的位移函数可以应用于基本单元。2.5.5坐标变换，通过坐标变换，将(，)坐标系中形状简单的母元素变换成(x，y，z)坐标系中具有曲线(曲面)边界的复杂形状元素，变换后的元素称为子元素。几何上，子单元可以适应各种实际结构的复杂形状。经过这种处理后，单元具有双重特征：一方面

2、，子单元的几何特征和载荷均来自实际结构，充分反映了实际情况；另一方面，在母单元中进行大量的计算，由于其形状简单规则，便于计算和循环，特别有利于电子计算机上的计算。因此，它有两个优点。二维线性元素，坐标变换公式是，方程中的直线24，质心坐标，四边的子单元是圆锥，局部坐标系(，)是曲线坐标，空间坐标变换，经过空间坐标变换，原来的直线会变成空间曲线，而原来的平面会变成空间曲面。母单元是一个规则的六面体，它将成为一个有曲线边和曲面的六面体子单元。要验证相邻单元公共边的连续性，请选择坐标转换公式：其中，I和I是节点I的局部坐标，通过此转换，两个单元的点具有一对一的对应关系。对于变换后的基本单元，采用位移

3、模式，单元的位移模式和坐标变换公式采用等效形状函数(等阶)。同时，用于指定元素形状的节点数等于用于指定元素位移的节点数。这种单元称为等参单元。2.元素的特征分析。采用与四节点矩形单元相似的特征分析，建立了单元的应变矩阵、应力矩阵、刚度矩阵和节点力方向的计算公式。然而，全局坐标x和y的导数计算和积分计算应转换为局部坐标的微分和积分计算。单元应变：因为Ni是x和y的函数，根据复合导数规则，有：矩阵：其中j称为雅可比矩阵：它可以从上面的公式获得：应力矩阵：单元刚度矩阵是一个88的矩阵，它仍然是，(1)体积力：让单元的体积力为(pvx，pvy)，然后，(2)表面力：让表面力(psx，psy)作用在单元

4、的一侧(如=1)，然后，5.2参数单元，如原因如下：(1)实际单位是直线边界，不能准确拟合物体的曲线边界；(2)位移模态阶数不够高，影响计算精度。因此，下面介绍一种具有高精度和广泛应用的八节点四边形等参元。实际单位和基本单位如下图所示。1，基本单位的位移模式，由shape函数表示：2，坐标转换公式，它模拟位移模式，并将坐标转换公式作为，它将平面上的正方形映射到xy平面上的弯曲四边形。xy平面上的每条边都是二次曲线，由相应边上三个节点的坐标唯一确定。因此，单元是协调的，并且可以证明单元的位移函数反映了刚体位移和恒定应变，并且是完整的。满足收敛要求。3。单元分析、单元特性分析和节点力计算过程见下表

5、：单元应变，其中：因为倪是，的函数，是x和y的函数，根据复合导数规则，有：矩阵表示：其中j称为雅可比矩阵：它可以从上面的公式：应力矩阵：单元刚度矩阵是1616。(1)体积力：让单元的体积力为(pvx，pvy)，然后，(2)表面力：让表面力(psx，psy)作用在单元的一侧(例如=1)，然后，作为在内压下的厚壁圆筒的例子，作为八节点等参单元方法的应用，现在研究在内压下厚壁圆筒的有限元解。这个问题是平面应变问题，几何尺寸如图所示。由于对称性，只需将1/4区域离散成9个八节点等参单元。弹性模量E=1000，泊松比u=0.3，厚度1.0，厚壁圆筒10的内压。圆柱体的内径为5，外径为20。北-中-北.网

6、格划分、内压作用下厚壁圆筒的径向和周向应力分布、5.320节点六面体等参数单元，由于其精度高且容易适应不同的边界，在平面问题中常选用八节点四边形等参数单元。类似地，20节点六面体等参单元通常用于三维问题。下图。Solid95，在ANSYS中，四面体，棱锥体，棱柱体，1，位移模式，采用位移模式和坐标转换公式，类似于平面八节点四边形等参单元：其形状函数为：2，单元中的应变，子块矩阵，根据复合函数的导数规则，j为雅可比矩阵，及其表达式。5，等效节点荷载(1)体积力，(2)表面力，一定表面力，5.4高斯积分。在计算单元刚度矩阵和节点荷载矢量公式时，由于被积函数的复比，一般很难直接积分，通常采用数值积分

7、。其基本思想是：在单元上选择一些特征点(积分点)，在这些积分点找到被积函数的值，然后将这些函数值与一些权函数相乘，最后将它们相加得到近似的积分值。高斯数值积分是有限元分析中最常用的方法。下面是一个简短的介绍。一维高斯积分公式、二维高斯积分公式，根据上表，仍采用积分点和权函数。在等参元的数值积分中，如、和，一般来说，2-3可以获得足够的精度，2.5.11数值积分，而在求解刚度矩阵和节点荷载时，有必要计算积分如。然而，它通常是非常复杂的，并且通常很难明确地表达它的积分。一般来说，积分值是用数值积分法计算的，即选择单元中的一些点，称为积分点，计算这些点上被积函数的值，然后根据这些值计算积分值。数值积分方法有两种，一种是积分点等距，如辛普森法；另一种积分点是不等间距的，如高斯法。一维高斯积分公式、和是根据最高计算精度选择的，积分点应该是勒让德多项式的根。加权系数根据以下公式计算。二维和三维高斯积分公式，先令保持不变，沿方向计算积分，然后沿方向积分。对于三重积分，一般采用222高斯积分、等效节点力和静力等效原理：