第五章 整数规划.ppt

1、1,第五章 整数规划,1整数规划的数学模型及其特征 2整数规划的应用 3 * 整数规划的分枝定界法,2,1整数规划的数学模型,一、整数规划问题的提出 1.整数规划的含义 所谓整数规划，就是决策变量有整数要求的数学规划问题。 2.整数规划的分类 线性整数规划：又叫整数线性规划（ILP） 非线性整数规划 整数线性规划又分为两类： （1）纯整数线性规划：所有决策变量均取整数。 （2）混合整数线性规划：只有部分决策变量取整数值。 二、整数规划的一般模型 1.引例整数规划的图解法,3,1整数规划的数学模型,例1. 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如

2、表所示。 甲种货物至多托运4件，问两种货物各托运多少件，可使获得利润最大。,4,1整数规划的数学模型,解：设x1 、 x2分别为甲、乙两种货物托运的件数，建立模型 目标函数： Max z = 2x1 +3 x2 约束条件： s.t. 195 x1 + 273 x2 1365 4 x1 + 40 x2 140 x1 4 x1，x2 0 为整数。 如果去掉最后一个约束，就是一个线性规划问题。利用图解法，得到线性规划的最优解为x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为14.66。 由图可看出，整数规划的最优解为x1=4, x2=2,目标函数值为14。,5,1 整数规划的图解法,1整数规划的数学模

3、型,6,1整数规划的数学模型,结论： （1）整数线性规划问题的求解不可以由相应的线性规划的最优解进行四舍五入法或去尾法或进一法取整而得出。 （2）整数线性规划问题的求解有自己特有的方法。 （3）整数线性规划具有如下性质： 任何求最大目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最大目标函数值小于或等于相应的线性规划的最大目标函数值；任何求最小目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最小目标函数值大于或等于相应的线性规划的最小目标函数值。,7,1整数规划的数学模型,2.整数线性规划的一般模型 目标函数： 约束条件：,8,2整数规划的应用,一、投资场所的选择 例2、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四

4、区建立销售门市部，拟议中有10个位置 Aj (j1，2，3，10)可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定： 在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个； 在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个； 在南区由A6 ， A7 两个点中至少选一个； 在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。 Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见表所示 (单位：万元)。但投资总额不能超过720万元，问应选择哪几个销售点，可使年利润为最大?,9,2整数规划的应用,解：设：0-1变量 xi = 1 (Ai 点被选用）或 0 (Ai 点没被选用）

5、。 这样我们可建立如下的数学模型： Max z =36x1+40 x2+50 x3+22x4+20 x5+30 x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t. 100 x1+120 x2+150 x3+80 x4+70 x5+90 x6+80 x7+140 x8+160 x9+180 x10 720 x1 + x2 + x3 2 x4 + x5 1 x6 + x7 1 x8 + x9 + x10 2 xj 0 且xj 为0-1变量，i = 1,2,3,10,10,2整数规划的应用,二、固定成本问题 例3高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，

6、制造一个容器所需的各种资源的数量如表所示。不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大。,11,2整数规划的应用,解：这是一个整数规划的问题。 设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各 种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi 0

7、时) 或0（当不生产第 i种容 器即 xi = 0 时）。 引入约束 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证当 yi = 0 时，xi = 0 。 这样我们可建立如下的数学模型： Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 500 2x1 + 3x2 + 4x3 300 x1 + 2x2 + 3x3 100 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大 xj 0 yj 为0-1变量，i = 1,2,3,12,2整数规划的应用,三、指派问题 有 n 项不同的任务，恰好 n 个人可分别承担这

8、些任务，但由 于每人特长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。现假设必须 指派每个人去完成一项任务，怎样把 n 项任务指派给 n 个人，使 得完成 n 项任务的总的效率最高，这就是指派问题。 例4有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每 人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能 使总的消耗时间为最少。,13,2整数规划的应用,解：引入01变量 xij，并令 xij = 1(当指派第 i人去完成第j项工作时)或0（当不指派第 i人去完成第j项工作时)这可以表示为一个0-1整数规划问题： Min z=15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+

9、22x23+18x24+26x31+17x32+16x33 +19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44 s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工作只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B工作只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只能一人干)

10、 x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能一人干) xij 为0-1变量，i,j = 1,2,3,4 * * * 求解可用管理运筹学软件中整数规划方法。,14,2整数规划的应用,四、分布系统设计 例5某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产能力为 30 千箱，为了扩大生产，打算在 A2，A3，A4，A5地中再选择几个地方建厂。已知在 A2 ， A3，A4，A5地建厂的固定成本分别为175千元、300千元、375千元、500千元，另外， A1产量及A2，A3，A4，A5建成厂的产量，那时销地的销量以及产地到销地的单位运价(每千箱运费)如下表所示。 a) 问应该在哪几个地方建

11、厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小? b) 如果由于政策要求必须在A2，A3地建一个厂，应在哪几个地方建厂?,15,2整数规划的应用,解： a) 设 xij为从Ai 运往Bj 的运输量(单位千箱)， yk = 1(当Ak 被选中时)或0（当Ak 没被选中时),k =2,3,4,5这可以表示为一个整数规划问题： Min z = 175y2+300y3+375y4+500y5+8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+4x31+ 3x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10 x51 +4x52+2x53 其中前4项为固定投资额，后面的项为

12、运输费用。 s.t. x11+ x12+ x13 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 10y2 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 20y3 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 30y4 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 40y5 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) xij 0

13、，i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3， yk 为0-1变量，k =2,3,4,5。 * * * 求解可用管理运筹学软件中整数规划方法。,16,2整数规划的应用,例6.一个公司考虑到北京、上海、广州和武汉四个城市设立库房，这些库房负责向华北、华中、华南三个地区供货，每个库房每月可处理货物1000件。在北京设库房每月成本为4.5万元，上海为5万元，广州为7万元，武汉为4万元。每个地区的月平均需求量为：华北每月500件，华中每月800件，华南每月700件。发运货物的费用（单位：元/件）如下表所示：,公司希望在满足地区需求的条件下使平均月成本最小，且还要满足如下条件：（1）如果在上海设库

14、房，则必须也在武汉设库房； （2）最多设两个库房； （3）武汉和广州不能同时设库房。,17,2整数规划的应用,例7.某公司有5个投资项目被列入投资计划，各项目需要的投资额和期望的收益如下表所示。已知该公司只有600万元资金可用于投资，由于技术上的原因，投资受到如下约束： （1）项目1,2和3至少应有一项选中； （2）项目3和4只能选一项； （3）项目5选中的前提是项目1必须选中。,18,3整数规划的分枝定界法,分枝定界法是求解整数规划的一种常用的有效的方法，它既能解决纯整数规划的问题，又能解决混合整数规划的问题。大多数求解整数规划的商用软件就是基于分枝定界法而编制成的。 分枝定界法是先求解整数

15、规划的线性规划问题。如果其最优解不符合整数条件，则求出整数规划的上下界，用增加约束条件的办法，把相应的线性规划的可行域分成子区域（称为分枝），再求解这些子区域上的线性规划问题，不断缩小整数规划的上下界的距离，最后得整数规划的最优解。 下面以例8予以说明。,19,3整数规划的分枝定界法,例8 用分枝定界法求解整数规划 Max 2x1+3x2 s.t. 195x1+273x21365 4x1+ 40 x2140 x1 4 x1,x2 0且x1,x2为整数 解: (一)先求出以下线性规划的解： Max 2x1+3x2 s.t. 195x1+273x21365 4x1+ 40 x2140 x1 4 x

16、1,x2 0 得z1=14.66,x1=2.44,x2=3.26 (二)确定整数规划的最优目标函数值z*初始上界 和下界z。 分析后，知道 =14.66，由观察法得下界z=13（当x1=2,x2=3时）。,20,3整数规划的分枝定界法,(三)将一个线性规划问题分为两枝，并求解。 可由x12或x13中取值。将线性规划1分解为两支，如下： 线性规划2： Max 2x1+3x2 s.t. 195x1+273x21365 4x1+ 40 x2140 x1 4 x2 2 x1,x2 0 解得z2=13.90,x1=2,x2=3.30 线性规划3： Max 2x1+3x2 s.t. 195x1+273x2

17、1365 4x1+ 40 x2140 x1 4 x1 3 x1,x2 0 解得z3=14.58,x1=3,x2=2.86,21,3整数规划的分枝定界法,(四)修改整数规划的最优目标函数的上下界。 经分析，将上界 =14.66修改为 =14.58，z=13。 (五)在线性规划2和线性规划3中选择一个上界最大的线性规划，即线性规划3，进 行分枝。 线性规划3分解为线性规划4和线性规划5，如下： 线性规划4： Max 2x1+3x2 s.t. 195x1+273x21365 4x1+ 40 x2140 x1 4 x1 3 x2 2 x1,x2 0 解得z4=14,x1=4,x2=2 线性规划5： M

18、ax 2x1+3x2 s.t. 195x1+273x21365 4x1+ 40 x2140 x1 3 x2 3 x1,x2 0 无可行解,22,3整数规划的分枝定界法,(六)进一步修改整数规划最优目标函数值z*的上下界。 从线性规划2，4，5中修改上下界。分析后，可得 =14， z=14。都 取线性规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值的最大值。 性质2： 当整数规划的最优目标函数值z*的上界 等于其下界z时，该整数规划的最优解已经被求出。这个整数的最优解即为其目标函数值取此下界的对应线性规划的整数可行解。,23,3整数规划的分枝定界法,用图8-2表示例8的求解过程与求解结果,线性规划1 Z1=14.66 X1=2.44 X2=3.26,z=13, =14.66,线性规划2 Z2=13.90 X1=2 X2=3.30,线性规划3 Z3=14.58 X1=3 X2=2.86,线性规划4 Z4=14.00 X1=4 X2=2,线性规划5 无可行解,X12,X13,X22,X23,z=13, =14.58,z