高中数学湘教版选修2-1：(课件)2.2 双曲线2.2.1 双曲线的定义与标准方程

1、22双曲线 22.1双曲线的定义与标准方程,2.2.1,课堂互动讲练,知能优化训练,课前自主学案,学习目标,1.了解双曲线的定义，几何图形及标准方程的推导过程 2掌握双曲线的标准方程 3会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题,课前自主学案,3,1双曲线的定义 平面上到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为 _(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线这两个定点F1，F2叫作双曲线的_，两个焦点之间的距离叫作双曲线的_ 2双曲线的标准方程,固定值,焦点,焦距,(c,0),(0，c),1如何理解双曲线的定义？ 提示：(1)定义中的前提条件为“平面内”，这一限制条件十分重要，不能丢掉，否则就成

2、了空间曲线，不是平面曲线了 (2)不可漏掉定义中“常数小于|F1F2|” (3)双曲线的定义中要注意两点： 距离之差的绝对值；2a|F1F2|. 这两点与椭圆的定义有本质的不同，若|PF1|PF2|2a|F1F2|，点P的轨迹仅为双曲线焦点F2这一侧的一支，若|PF2|PF1|2a|F1F2|，点P,思考感悟,的轨迹仅为双曲线焦点F1这一侧的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中应为“差的绝对值” 2如果去掉“小于|F1F2|”这一条件，轨迹会有怎样的变化？ 提示：当2a|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在,课堂互动讲练,与求椭圆

3、的标准方程的方法一样，若由题设条件易于确定方程的类型，可先设出方程的标准形式，再确定方程中的参数a，b的值，即“先定型，再定量”若两种类型都有可能，则应进行分类讨论,【思路点拨】求双曲线的标准方程时，应先“定位”，再“定型”，即先确定其焦点的位置，再确定a、b的取值；和椭圆一样，在所求曲线的焦点位置不确定的情况下，可借助于双曲线方程的一般形式求解,【名师点评】求双曲线标准方程的方法： (1)定义法 若由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线，可根据双曲线的定义确定其方程，这样可以减少运算量 (2)待定系数法，其步骤为： 作判断：根据条件判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两种情况都有可能 设

4、方程：根据条件，设出标准方程 寻关系：根据已知条件列出关于a、b、c的方程组 得方程：解方程组代入所设方程即为所求,自我挑战1,利用定义法求双曲线的标准方程，首先找出两个定点(即双曲线的两个焦点)；然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离的差(或差的绝对值)是否为常数，这样确定c和a的值，再由c2a2b2求b2，进而求双曲线的方程,【名师点评】如果动点的轨迹可以较容易地判断符合直线、圆、椭圆或者双曲线的定义，通常运用待定系数法求出相关的基本量的值即可,利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件|PF1|PF2|2a的变形使用，特别是与|PF1|2|PF2|2，|PF1|PF2|间的

5、关系；二是要与三角形知识相结合，经常利用余弦定理、正弦定理等知识，同时要注意整体思想的应用,【思路点拨】在F1MF2中运用余弦定理及三角形的三角恒等式，再由三角形的面积公式进行计算、证明,F1MF2与椭圆类似，集中了双曲线的定义、余弦定理、三角恒等变换等知识,1遇到动点到两定点距离之差问题，要联想应用双曲线定义解题，点P在双曲线上，有|PF1|PF2|2a，充分利用这一隐含条件，是解决问题的重要技巧 2求双曲线的标准方程主要有：一是没有给出坐标系，必须建立坐标系，根据双曲线的定义确定出方程；二是给出标准形式，要先判断出焦点的位置，如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2ny21(mn0)的形式求解,3应用双曲线的定