14.(40)孤立奇点

1、回顾泰勒展开与洛朗展开,定理（Laurent）设 在圆环域 内解析,则 对 有 其中 为圆环域 内绕 的任何一条正向简单闭曲线.,定理（Taylor) 设函数 在圆盘 内解析，则,*公式法,*间接展开法,*公式法,*间接展开法,练 习 题,Exercise2.,练 习 题,设 在圆环域 内解析，且在 内有洛朗展开式 则有 或,4 洛朗级数,洛朗展开式的重要应用: 利用洛朗展开式求积分,Note2. 实际上为第五章的留数定义以及计算做铺垫.,Note1. 关键在于确定奇点以及函数的解析圆环域.,例题与习题,Example1.,Example2.,Exercise.,高阶导数公式,利用洛朗级数系数

2、,利用洛朗级数系数,利用洛朗级数系数,习 题,Exercise.,第五章 留数,1 孤立奇点 2 留数 3 留数在求定积分中的应用,回顾奇点的定义:,The singular point 函数不解析的点称为该函数的奇点. 严格来说:函数在某一点处不解析,但在这一点的每个邻域内都有解析点. 举例:,1 孤立奇点,1 孤立奇点,定义 若函数 在 处不解析，但存在 使 在 内解析，则称 为 的孤立奇点.,Example.,奇点的分类孤立奇点、非孤立奇点、,1 孤立奇点,即 在 内解析，则有洛朗级数,主要部分,解析部分,孤立奇点的分类可去奇点、极点、本性奇点,定义 若函数 在 处不解析，但在 的某个去

3、心邻域内处处解析，则称 为 的孤立奇点.,假设 是函数 的孤立奇点,1 孤立奇点,设 为 的孤立奇点，且有洛朗展开式,1.可去奇点,若 ，则称 为 的可去奇点.,若 是 的孤立奇点，如果可以补充定义 在 的值使得 在 的某个邻域内解析,则称 为 的可去奇点.,定理1 设 为 的孤立奇点，则 为 的可去奇点的充要条件是极限 存在.,Example.,1 孤立奇点,I由定义来判断.,II由定理1来判断.,1 孤立奇点,2.极点,若存在正整数 使 ，但 则称 为 的 级极点.,定理2 设 为 的孤立奇点，则 为 的 级极点 的充要条件是,1 孤立奇点,定理3 设 为 的孤立奇点，则 为 的 级极点

4、的充要条件是极限 存在且不等于零.,定理4 设 为 的孤立奇点，则 为 的极点的充要条件是 .,定理2 设 为 的孤立奇点，则 为 的 级极点 的充要条件是,Example.,例 题,(a) apply the definition to show that,(b) Use Theorem3 to show that,Observe that the function has a simple pole (m=1) at .,若存在无穷多个正整数 使 ，则称 为 的本性奇点.,Note.该定理可由定理1与定理4得到证明.,1 孤立奇点,3.本性奇点,定理5 设 为 的孤立奇点，则 为 的本性奇

5、点的充要条件是 不存在.,Example.,1 孤立奇点,4.函数的零点与极点的关系,若不恒等于零的解析函数 可表示成 其中 在 处解析且 ， 为正整数，则称 为 的 级零点.,性质 若 在 处解析，则 为 的 级零点的充要条件是,Note.当函数求导比较简便时常用来判断零点的阶数.,Note.由定义可得非常值解析函数的零点是孤立的.,零点的定义:,1 孤立奇点,性质 若 在 处解析，则 为 的 级零点的充要条件是,1 孤立奇点,定理 为 的 级极点的充要条件是 为 的 级零点.,定理2 设 为 的孤立奇点，则 为 的 级极点 的充要条件是,4.函数的零点与极点的关系,若不恒等于零的解析函数

6、可表示成 其中 在 处解析且 ， 为正整数，则称 为 的 级零点.,1 孤立奇点,定理 为 的 级极点的充要条件是 为 的 级零点.,Example.,1 孤立奇点,I.,II.,5.函数在无穷远点的性态,1 孤立奇点,在扩充复平面上讨论!,定义：如果函数 在无穷远点 的去心邻域 内解析,那么称点 为 的孤立奇点.,提问:在无穷远点的解析性如何判断?,1 孤立奇点,规定：如果 是 的可去奇点、 级极点或本性奇点,那么称点 为 的可去奇点、 级极点或本性奇点.,那么 是函数 的孤立奇点,即 在 内解析，则有洛朗级数,假设 是函数 的孤立奇点,即 在 内解析，则有洛朗级数,可去奇点 极点 本性奇点,Example.,1 孤立奇点,在扩充复平面