第1讲引言与1,2节.ppt

1、近 世 代 数(Abstract Algebra),主讲教师 ： 蔡 炳 苓,（河北师范大学数学与信息科学学院),20120907,初等代数、线性代数、 高等代数都称为经典代数,近世代数（modern algebra） 也称为,（classical algebra）研究的,对象是代数方程和线性方程组。,抽象代数 （abstract algebra）,带有封闭运算的集合。,研究的对象是代数系统，即,教材分析,古典代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某一方程组是否可解，如何求出方程所有的根包括近似根，以及方程的根有何性质等问题。,近世代数(抽象代数)产生于十九世纪,它是研究各种抽象

2、的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵超数、变换等，这些物集分别依它们各有的演算定律而定，而数学家将个别的演算经由抽象手法把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，这就诞生了抽象代数。抽象代数，包含有群论、环论、伽罗瓦理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。 抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。,被誉为天才数学家的伽罗瓦（法国，1811-1832）是近世代数的创始人之一。他深入研究了一个方程能用根式求解所必须满足的本质条件，他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”都

3、是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。伽罗瓦群论还给出了判断几何图形能否用直尺和圆规作图的一般判别法，圆满解决了三等分任意角或倍立方体的问题都是不可解的。最重要的是，群论开辟了全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。同时这种理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的产生和发展都发生了巨大的影响。,1874年，

4、挪威数学家索甫斯李（Sophus Lie, 18421899）在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群。1882年，英国的冯戴克（von Dyck,18561934）把群论的三个主要来源方程式论，数论和无限变换群纳入统一的概念之中，并提出“生成元”概念。20世纪初给出了群的抽象公里系统。 群论的研究在20世纪后沿着各个不同方向展开。例如，找出给定阶的有限群的全体。群分解为单群、可解群等问题一直被研究着。有限单群的分类问题在20世纪七、八十年代才获得可能是最终的解决。伯恩赛德（Burnside，18521927年）曾提出过许多问题和猜想。如1902年问道一

5、个群G是有限生成且每个元素都是有限阶，G是不是有限群？并猜想每一个非交换的单群是偶数阶的。前者至今尚未解决，后者于1963年解决。,舒尔（Schur，18751941）于1901年提出有限群表示的问题。群特征标的研究由弗罗贝尼乌斯首先提出。庞加莱对群论抱有特殊的热情，他说：“群论就是那摒弃其内容而化为纯粹形式的整个数学。”这当然是过分夸大了。 环和理想的构造在19世纪就可以找到，但抽象理论却完全是20世纪的产物。,1843年，哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数四元数代数。1857年，凯莱设计出另一种不可交换的代数矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普

6、通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是兼容的)，就能研究出许多种代数体系。 1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。,德国数学家诺特被公认为抽象代数奠基人之一，被誉为代数女皇，1882年3月23日生于德国埃尔朗根，1900年入埃朗根大学，1907年在数学家哥尔丹指导下获博士学位。诺特的工作在代数拓扑学、代数数论、代数几何发展中有重要影响

7、。19201927年间她主要研究交换代数与交换算术。1916年后，她开始由古典代数学向抽象代数学过渡。1920年，引入左模、右模的概念。1921年写出的是交换代数发展的里程碑，建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理。1926年发表，给戴德金环一个公理刻画。诺特的理论就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。诺特的思想通过她的学生范德瓦尔登的名著得到广泛的传播。她的主要论文收在(1982)中。,伽罗华使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学，即把代数学由初等代数时期推向抽象代数即近世代数时期。

8、抽象代数学随着数学中各分支理论的发展和应用需要而得到不断的发展。经过伯克霍夫、冯.诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人在1933-1938年所做的工作，格论确定了在代数学的地位。而自20世纪40年代中叶起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响。泛代数、同调代数、范畴等新领域也被建立和发展起来。,中国数学家在抽象代数学的研究始于30年代，在许多方面取得了有意义和重要的成果，其中尤以曾炯 之、华罗庚和周炜良的工作最为显著。 现代数学的基础课程正在更新。50年代数学系的教学以“高等微积分”、“高等代数”、“高等几何”为主体。时至今日，人们认为光靠这“老三高”已不够用了，应该发展“新三高”

9、，即抽象代数、拓扑学和泛函分析。现代数学理论是由这三根支柱撑着的。,几个有趣的应用实例,1.项链问题 2.分子结构的计数问题 3.正多面体着色问题 4.图的构造与计数问题 5.开关线路的构造与计数问题 6.数字通信的可靠性问题 7.几何作图问题 8.代数方程根式求解问题,1.项链问题,问题的提法： 用n种颜色的珠子做成有m颗珠子的项链， 问可做成多少种不同类型的项链？,这里所说的不同类型的项链，指两个,项链无论怎样旋转与翻转都不能重合。,数学上的确切描述,设由m颗珠子做成一个项链，可用一个正m边形 来代表它，它的每个顶点代表一颗珠子。,沿逆时针方向给珠子标号， 由于每一颗珠子的颜色有n种选 择

10、，因而用乘法原理，这些有标 号的项链共有nm种。,但其中有一些可以通过旋转一个角度或翻转180度使它们完全重合，我们称为是本质相同的，我们要考虑的是无论怎么旋转、翻转都不能使它们重合的项链类型数。,1. 用黑白两种颜色的珠子做成有5颗珠子的项链,利用枚举法，得到一共8种不同类型的项链。,随着n、m的增加，用枚举法解决越来越难， 采用群论方法解决是最简单、有效的方法。,3.正面体着色问题,对一个正多面体的顶点或面用n种颜色进,下面以六面体为例说明此问题的数学描述。,例3 用n种颜色对六面体的面着色，问有多,首先建立此问题的数学模 型，将问题中的一些概念给 以量化：,少种不同的着色方法？,行着色，

11、问有多少种不同的着色方法？,设n种颜色的集合为 A=a1 ，a2 ， an,正六面体的面集合为 B=b1 ，b2 ， b3 ， b4 ， b5 ， b6,则每一种着色方法对应一个映射：f：B A,，反之，每一个映射对应一种着色法。由乘法 原理，全部着色法的总数为n6，但这样的着色 法与面的编号有关，其中有些着色法可适当旋 转正六面体使它们完全重合，称它们本质相同 ，我们要求本质不同的着色法的数目。,两种颜色 （红、绿） n=2,利用枚举法，得到一共10种不同的着色法。,对于一般的情况，目前只能用群论方法解决。,1,1,2,2,2,1,1,7. 几何作图问题,古代数学家们曾提出一个有趣的作图问题

12、：用 圆规和直尺能做出哪些图形？ 而且规定所用的直尺不能有刻度和不能在其上 做记号。为什么会提出这样的问题呢？ 一方面是由于生产发展的需要，圆规、直尺是 丈量土地的基本工具，且最初的直尺是没有刻度 的；另一方面，从几何学观点看，古人认为直线与 圆弧是构成一切平面图形的要素。据说，古人还认 为只有使用圆规与直尺作图才能确保其严密性。且 整个平面几何学是以圆规与直尺作为基本工具。,历史上（困扰人们很久）的著名问题：,二倍立方体问题：作一个立方体使其体 积为一已知立方体体积的两倍。 三等分任意角问题：给定一个任意角， 将其三等分。 圆化方问题：给定一个圆（已知半径为r ），作一个正方形使其面积等于已

13、知圆的面积。 n等分一个圆周。 这些问题直到近世代数理论出现后才得到 完全的解决。,8. 代数方程根式求解问题,我们知道，任何一个一元二次代数方程 可用根式表示它的两个解。对于一元三次和 四次代数方程，古人们经过长期的努力也巧 妙地做到了这一点。于是人们自然要问：是 否任何次代数方程的根均可用根式表示？许 多努力都失败了，但这些努力促使了近世代 数的产生，并最终解决了这个问题：五次以 上代数方程没有根式解。,近世代数是一门十分活跃又发展迅速的学科，它的概念众多、内容丰富，群、环、域、模是本课程的基本内容.作为一门基础课，又限于教学时数，我们主要介绍最基础的概念和基本的内容群和环，1-3章。,近

14、世代数在数学的其他分支、近代 物理、近代化学、计算机科学、数字通信、 系统工程等许多领域都有重要应用，因而它 是现代科学技术的数学基础之一，是许多科 技人员需要掌握的基本内容和方法，因此近 世代数也是数学专业的专业基础课之一。,近世代数的常用研究工具和方法,近世代数理论性较强，是在抽象的集合上给出抽象的运算,研究代数体系的代数 性质 ，我们必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种性质和定理的运用，体会近世代数的思想和方法. 近世代数常用的研究工具是集合、映射、同态、同构和等价关系。一方面从代数体系内部（通过元素和子体系）研究，一方面是通过比较两个代数体系的关系进行研究。,参考书目 近

15、世代数，吴品三 近世代数，林磊，韩士安 近世代数，朱平天 近世代数及其应用，刘绍学 近世代数，杨子胥（有相关的习题集）,第一章 基本概念,河北师范大学,教学内容： 1.熟悉集合与映射的概念及相关性质； 2.理解代数运算的概念，理解相关运算律的作用和形 式；掌握有限集合上的运算表； 3.理解一一映射和变换的相关概念； 4.理解同态和同构的概念及在代数体系中的作用； 5.理解等价关系与集合分类的概念及联系，掌握整数 模n的同余关系及剩余类。,第1-2节 集合 映射,河北师范大学,河北师范大学,定义：若干个（有限或无限多个）固定事物的全 体叫做一个集合（简称集）。集合中的每事物叫做 这个集合的元素（

16、简称元）。没有元素的集合叫做 空集。 习惯上用大写拉丁字母A，B，C表示集合，用 小写拉丁字母a，b，c表示集合中的元素。 例1“我们班个子高的同学组成的集合”这不能 组成一个集合。 例2 集合中的元素要求两两互异。即： 1，2，2，3=1，2，3。 集合的要素：确定性、相异性、无序性。,一、 集合,河北师范大学,表示集合通常有三种方法：,3.文氏图法,2.描述法,1. 枚举法（列举法）： 如 A=1，2，3，4，B=1，2，3，100,可形象地表现出集合的特征及集合之间的关系。,集合的蕴含（包含）,定义: 若集B中每个元素都属于集A，则称B是A的子集，记为,，否则说B不是A的子集，,定义：若

17、B是A的子集,且至少有一个A的元素 不属于B,则说B是A的真子集;否则,B不是A的真 子集.,定义：若集合A和B含有完全一样的元素， 那么称A与B相等，记为A=B.,记为,集合的运算,1. 集合的并：,2. 集合的交：,3. 集合的差：,4. 集合在全集内的补：,5.集合的卡氏积：,其中元素可看成由A和B坐标轴所张成的平面上的点。,卡氏积的推广：,例如： A=东,西, B=南, D=高,低.,写出AB,AD,DA.,河北师范大学,集合运算一般满足的运算律：,河北师范大学,二、映射,定义：,河北师范大学,河北师范大学,映射定义要注意以下几点:,1. 集合 可以相同; 的次序不能掉换; 映射一定要替每一个元规定一个象; 一个元只能有惟一的象; 所有