刚体动力学的基本概念

1、动力学篇,运动学：,研究物体运动的几何性质，而不研究引起物体运动的原因。,研究受力物体的运动状态及其变化与作用力之间的关系。,动力学：,加速度a0,平衡,静力学,加速度a0,动力学,第二篇 动力学,静力学,静力学的核心问题是利用平衡方程求解物体或物体系统的平衡问题。而研究力系的等效简化则是为了探求、建立力系的平衡条件。,Theoretical Mechanics,第二篇 动力学,静力学，又称刚体静力学，是将实际物体抽象为刚体，亦即以刚体作为分析问题的模型，研究物体在力系作用下的平衡规律。包括三方面内容：,物体的受力分析分析结构或构件所受到的各个力的方向和作用线位置。,力系的等效与简化为了寻求各

2、种力系对于物体作用的总效应和力系的平衡条件，需要将力系进行简化，将其变换为另一个与其作用效应相同的简单力系（可能是一个力、力偶或力螺旋或零矢量）。,力系的平衡条件与平衡方程研究物体处于平衡状态时作用在其上的各种力系应满足的条件。利用平衡条件建立所对应的数学方程，称为平衡方程。,第二篇 动力学,第五章 刚体动力学的基本概念,本章我们将学习什么内容 静力学基本概念及公理 约束与约束反力 物体的受力分析图,5-1 力与力的投影,一、力的概念,力是物体间的相互的机械作用,力的作用效应： 1、使物体的运动状态发生改变力的外效应或运动效应。 2、使物体产生变形力的内效应或变形效应。,力的三要素：力的大小、

3、方向和作用点。力为定位矢量。,在国际单位制中，力的单位为牛顿（N）,力的表示方法：可用一个定位的有向线段来表示，,千牛顿(kN),在直角坐标系中力F 的解析式,Fx，Fy，Fz分别为力矢F在x、y、z轴上的投影，为代数量。,若已知力F在直角坐标轴上的三个投影，其大小和方向分别为,二、 力的投影,5-1 力与力的投影,若已知力F与直角坐标系Oxyz三轴之间的夹角分别为、，力F在各轴上投影为,1. 直接投影法,二、 力的投影,5-1 力与力的投影,2.二次投影法,力F 沿某轴的分量的大小与在该轴上投影是否相等？,力在轴上的投影是一个重要的概念，应用投影的概念，可将力的合成由几何运算转换为代数运算。

4、,二、 力的投影,5-1 力与力的投影,例5-1 如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。已知斜齿轮的啮合角(螺旋角) 和压力角，试求力Fn沿x，y 和 z 轴的分力。,例 题,5-1 力与力的投影,将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影,解：,例 题,5-1 力与力的投影,沿各轴的分力为,将力Fxy向x，y 轴投影,例 题,5-1 力与力的投影,5-2 力系的分类及其基本公理,第五章 刚体动力学的基本概念,力系：作用在同一个物体上的一群力,5-2 力系的分类及其基本公理,一、力系的分类,力系的分类：,力系,平面力系,空间力系,平面汇交力系,平面平行力系,平面一般力系,空间汇交力系,空间平行

5、力系,空间一般力系,5-2 力系的分类及其基本公理,一、力系的分类,力系： 汇交力系,若所有力的作用线交于一点，则该力系称为汇交力系,平面汇交力系,空间汇交力系,5-2 力系的分类及其基本公理,一、力系的分类,力系：平行力系,作用在物体上的所有力的作用线均相互平行，该力系称为平行力系。,平面平行力系,空间平行力系,5-2 力系的分类及其基本公理,一、力系的分类,力系：一般力系,平面一般力系,空间一般力系,5-2 力系的分类及其基本公理,一、力系的分类,分力：力系中的各力，则称为此合力的分力,5-2 力系的分类及其基本公理,一、力系的分类,等效力系: 对同一刚体产生相同作用效应的力系。,合力 ：

6、与某力系等效的力,平衡力系： 对刚体不产生任何作用效应的力系,力系的简化：,为了便于寻求各种力系对于物体作用的总效应和力系的平衡条件，需要将力系进行简化，使其变换为另一个与其作用效应相同的简单力系。这种等效简化力系的方法称为力系的简化。,5-2 力系的分类及其基本公理,一、力系的分类,力系的简化：,5-2 力系的分类及其基本公理,一、力系的分类,公理：是人类经过长期实践和经验而得到的结论，它被反复的实践所验证，是无须证明而为人们所公认的结论。,5-2 力系的分类及其基本公理,二、基本公理,公理一（力的平行四边形法则）,F1,F2,FR,矢量表达式：FR= F1+F2,作用于物体上同一点的两个力

7、的合力，亦作用于同一点上，其大小及方向可由这两个力所构成的平行四边形的对角线来表示。,F1,F2,FR,F1,F2,FR,5-2 力系的分类及其基本公理,二、基本公理,公理二 （二力平衡公理）,作用于刚体上的两个力，使刚体平衡的必要与充分条件是： 这两个力大小相等 | F1 | = | F2 | 方向相反 F1 = F2 作用线共线， 作用于同一个刚体上。,5-2 力系的分类及其基本公理,二、基本公理,只受两个力作用而平衡的刚体叫二力构件（或二力体）。,二力杆,不是二力构件,二力构件,5-2 力系的分类及其基本公理,二、基本公理,? question,左边两个图中，那个杆（构件）是二力构件？,

8、5-2 力系的分类及其基本公理,二、基本公理,公理三（加减平衡力系公理）,在作用于刚体上的已知力系中，加上或减去任意的平衡力系，不改变原力系对刚体的作用效应。,若,则,5-2 力系的分类及其基本公理,二、基本公理,推论1 力的可传性 作用于刚体上某点的力，可以沿其作用线移动到刚体内任意点，而不改变该力对刚体的作用。,作用在刚体上的力是滑动矢量， 力的三要素为大小、方向和作用线。,5-2 力系的分类及其基本公理,二、基本公理,推论2 三力平衡汇交定理 如果刚体在三个力作用下平衡，其中两个力的作用线汇交于一点，则第三个力的作用线必通过此汇交点，且三个力共面。,F1,F,F2,=,证明：,F,=,A

9、3,A3,5-2 力系的分类及其基本公理,二、基本公理,公理四（作用与反作用定律）,作用力与反作用力总是同时出现、同时消失，两力等值、反向、共线，分别作用在两个相互作用的物体上。,5-2 力系的分类及其基本公理,二、基本公理,作用力与反作用力F F 作用力和反作用力作用于不同的物体 二力平衡情况下，两个力作用的对象是同一个物体,5-2 力系的分类及其基本公理,二、基本公理,公理五 ( 刚化公理),变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。,5-2 力系的分类及其基本公理,二、基本公理,刚体平衡条件是变形体平衡的必要条件而非充分条件。,5-3 力矩与力偶,第五章

10、 刚体动力学的基本概念,力对刚体可以产生,转动效应-取决于力矩的大小、转向。,移动效应-取决于力的大小、方向；,第五章 刚体动力学的基本概念,5-3 力矩与力偶,一、力对点之矩,1、力对点之矩的数学描述,（1）矢量表示式,问题1：已知力 F（矢量）以及该力对 O 点的 矩 M O （矢量），能否确定力F 的作用线？,问题2：已知作用在长方体上的某个力对A、O 两点之矩的矢 量方向，能否确定该力的方向及其作用线？,36,问题3：若已知某个力对A、B两点之矩的矢量方向，能否确定该力的作用线？ A：一定能， B：一定不能， C：不一定能,问题4：补充什么条件，问题的答案将是肯定的。,思考题：已知某个

11、力对A、B两点之矩MA、MB的方向和其中一个力偶的大小，能否确定该力的大小、方向和作用线。,5-3 力矩与力偶,一、力对点之矩,5-3 力矩与力偶,一、力对点之矩,（2）解析表示式,力对点之矩在轴上的投影：,若力F 作用在Oxy 平面内，即Fz0，z0，如图,力F 对此平面内任一点O之矩为,MO(F) = rF = (xFyyFx)k,力F 对O点之矩总是沿着z轴方向，可用代数量来表示,MO(F) = MOz = Fh = 2OAB =xFyyFx,在平面问题中，力对点之矩为代数量，一般规定逆时针为正，顺时针为负。,5-3 力矩与力偶,一、力对点之矩,2、合力矩定理：,5-3 力矩与力偶,二、

12、合力矩定理,F与z轴相交:,5-3 力矩与力偶,三、力对轴之矩,5-3 力矩与力偶,三、力对轴之矩,力对点之矩在过该点任意轴上的投影等于力对该轴之矩，这一关系称为力矩关系定理。,设力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx,Fy ,Fz ,其作用点的坐标为x, y, z,5-3 力矩与力偶,四、力对点之矩与力对轴之矩的关系,5-3 力矩与力偶,三、合力矩定理,合力矩定理：合力对某点（或某轴）之矩等于各分力对同一 点（或轴）之矩的矢量和（或代数和）。,大小相等、方向相反、作用线平行但不重合的两个力称为力偶。,二力作用线所决定的平面称为力偶作用面，两作用线的垂直距离d 称为力偶臂。 力偶是一种特殊的力系；

13、力偶是一种基本力学量；力偶对刚体的作用，只有转动效应。,五、 力偶,5-3 力矩与力偶,力偶矩矢,力偶对O点之矩矢,注：力偶矩矢量垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与取矩点无关。,在图中空间任取一点O，则A、B两点的矢径，用rA、rB表示， 。,力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。,五、 力偶,5-3 力矩与力偶,力偶的等效条件和性质:,1、力偶的等效条件(定理）,两个力偶等效的条件是它们的力偶矩相等,五、 力偶,5-3 力矩与力偶,2、力偶的性质,性质一 力偶不能与一个力等效,性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平面),而不改变对刚体的作用效应,五、 力偶,5-3 力矩与力偶,

14、性质三 只要力偶矩矢量的方向和大小不变（F，d 可变）， 则力偶对刚体的作用效应就不变。,五、 力偶,5-3 力矩与力偶,力偶矩在平面问题中视为代数量，记为M,M = Fd,正负号规定：逆为正，顺为负。,五、 力偶,5-3 力矩与力偶,例5-2 如图所示圆柱直齿轮，受到啮合力Fn的作用。设Fn=1400 N。压力角=20o ，齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r = 60 mm，试计算力 Fn 对于轴心O的力矩。,r,h,O,Fn,5-3 力矩与力偶,例题,计算力Fn对轴心O的矩，按力矩的定义得,或根据合力矩定理，将力Fn分解为圆周力F 和径向力Fr ,解：,则力Fn对轴心O的矩,5-3 力矩与力偶

15、,例题,例5-3 手柄ABCE在平面Axy内,在D处作用一个力F，如图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为。如果CD=b，杆BC平行于x轴,杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F 对x，y和z三轴的矩。,5-3 力矩与力偶,例题,应用合力矩定理求解。,力F 沿坐标轴的投影分别为：,由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有,解：,方法1,5-3 力矩与力偶,例题,应用力对轴的矩之解析表达式求解。,因为力在坐标轴上的投影分别为：,力作用点D 的坐标为：,则,方法2,5-3 力矩与力偶,例题,5-4 约束与约束反力,第五章 刚体动力学的基本概念,自由体Free Body

16、 ： 可以在空间任意运动的物体（或位移不受任何限制的物体）。,非自由体Nonfree Body ： 运动（或）位移受到某些限制的物体。,基本概念,5-4 约束与约束反力,约 束(constraint)：限制物体运动的条件。,约束体(constraint body) 约束非自由体运动的物体。,列车是非自由体 铁轨是约束体,约束力(constraint force)：约束体作用在非自由体上的力。,铁轨作用在车轮上的力为约束力,基本概念,5-4 约束与约束反力,大小常常是未知的； 方向总是与约束限制的物体的位移方向相反； 作用点在物体与约束相接触的那一点。,约束反力特点：,G,主动力：使物体运动或产

17、生运动趋势的力。 例如载荷，重力，风力，压力，驱动力等,被动力：约束反力 没有主动力作用，也就不会有被动力的存在，没有主动力，也就不会有约束反力的存在。,基本概念,5-4 约束与约束反力,约束的分类,5-4 约束与约束反力,柔性体（或柔索）约束 Cable Constraint,由不计自重的绳索，传送带、链条，拉索等柔性体构成的约束。,约束的分类,5-4 约束与约束反力,一 、 柔性体约束,5-4 约束与约束反力,柔性体约束 Cable Constraint,特点 :只能承受拉力，不能承受压力,约束反力是沿其中心线的拉力(沿柔索方向背离被约束物体）,柔索约束限制了物体沿柔索拉伸方向的运动。,通

18、常用 表示柔索的约束反力。,二、 光滑面约束,5-4 约束与约束反力,光滑面约束（Smooth Surface Constraint）,约束反力沿接触处的公法线方向指向被约束的物体,二、 光滑面约束,5-4 约束与约束反力,约束反力沿接触处公法线方向指向被约束的物体,二、 光滑面约束,5-4 约束与约束反力,点接触时，约束反力为集中力。 线或面接触，用分布力的合力来表示。,在不计摩擦的条件下，齿轮间的约束也属于光滑面约束。,滑块为双面约束,二、 光滑面约束,5-4 约束与约束反力,单面约束的约束反力只能限制物体沿一个方向的运动 ，方向一般能事先确定。,双面约束的约束反力方向只能假设，其真实方向

19、由计算值的正负号确定。,二、 光滑面约束,5-4 约束与约束反力,光滑铰链约束 Constraint Of Smooth Cylindrical Pin,光滑球铰链,光滑柱铰链,三、 光滑铰链约束,5-4 约束与约束反力,1. 光滑球铰链,这种作用实质是光滑面约束,特点：通过球与球壳将构件连接，构件可以绕球心任意转动，但构件与球心不能有任何移动。,三、 光滑铰链约束,5-4 约束与约束反力,光滑球铰链,约束反力作用于接触点，方向沿径向指向球心， 也可用三个大小未知的正交分力表示约束力。,三、 光滑铰链约束,5-4 约束与约束反力,简图,物体之间若用铰链连接，这种铰链称为 中间球铰链。,三、 光

20、滑铰链约束,5-4 约束与约束反力,首都机场候机楼顶棚拱架支座,三、 光滑铰链约束,5-4 约束与约束反力,2、光滑柱铰链,将具有相同圆孔的两构件用圆柱形销钉连接起来,三、 光滑铰链约束,5-4 约束与约束反力,中间铰链约束,运动特性 圆柱形销钉约束，只限制两构件沿销钉孔径向的位移。,三、 光滑铰链约束,5-4 约束与约束反力,销钉对构件的约束力，其作用点在接触处，总是沿销钉的径向，指向其中心。,也可将圆柱铰链约束用两个大小未知的正交分力表示，其作用点在圆柱的中心上。,三、 光滑铰链约束,5-4 约束与约束反力,固定铰链支座,三、 光滑铰链约束,5-4 约束与约束反力,简图及约束力画法,固定铰

21、链支座,用两个相互垂直的力表示铰支座的约束反力。,三、 光滑铰链约束,5-4 约束与约束反力,约束只限制物体沿支承面法线方向的运动,滚（活，可）动铰链支座,三、 光滑铰链约束,5-4 约束与约束反力,简图及约束力画法,支座约束力的方向沿支承面法线，作用点在铰链中心。,三、 光滑铰链约束,5-4 约束与约束反力,光滑铰链约束,光滑铰链约束,盆骨与股骨之间的球铰连接,三、 光滑铰链约束,5-4 约束与约束反力,轴承,常见的两种轴承: 1、向心(径向）轴承,四、 轴承约束,5-4 约束与约束反力,它限制转轴的径向平移，并不限制它的轴向运动和绕轴转动，它相当于铰链支座。,2、向心推力轴承（止推轴承），

22、它限制转轴的径向平移，又限制它的轴向运动，只允许绕轴转动。,四、 轴承约束,5-4 约束与约束反力,3、导向轴承 它限制转轴的径向平移，又限制它的绕x、y轴转动。,四、 轴承约束,5-4 约束与约束反力,两端用光滑铰链与其他构件联接且不考虑自重的刚杆称为链杆，常被用来作为拉杆或撑杆而形成链杆约束。,五、 链杆约束,5-4 约束与约束反力,链杆为二力杆，链杆约束的反力沿链杆两端铰链的连线，指向不能预先确定。,五、 链杆约束,5-4 约束与约束反力,物体在空间各个方向上的运动（包括平移和转动）都受到约束的限制，这类约束称为固定端约束。,对平面情形，固定端约束的约束力只剩下三 个分量，即两个约束力分

23、量和一个约束力偶 。,六、 固定端约束,5-4 约束与约束反力,七、 其它约束,5-4 约束与约束反力,七、 其它约束,5-4 约束与约束反力,七、 其它约束,5-4 约束与约束反力,5-5物体的受力分析和受力图,第五章 刚体动力学的基本概念,受力分析：将所研究的物体或物体系统从与其联系的物体中分离出来，分析它的受力状态（分析物体上作用有哪些外力以及各力的位置和方向）。,两个步骤：,1. 选择研究对象，取分离体,解除它受到的全部约束，将其从周围的约束中分离出来，并画出相应的简图，这一过程称为取分离体。, 5-5 物体的受力分析和受力图,受力分析,2.画受力图 在分离体图上，先画上所有的主动力，

24、再依据去掉的约束特征，逐个画上相应的约束力，然后标明各力的符号,这个简图称为受力图。,画受力图,画受力图时，应注意以下几点：,1.根据题意选取研究对象，并单独画出其简图，即取分离体（受力图上无约束）； 2.画出研究对象上全部主动力和约束反力。画约束反力时，要根据约束的性质确定约束反力的作用线和指向； 3.有时需根据基本公理（二力平衡公理、三力平衡汇交定理、作用力与反作用力定律）确定某些约束反力的作用线和指向； 4.各力必有来源，即不能多画，也不能少画。如果选取物体系统为研究对象，系统中的内力均不应画出。, 5-5 物体的受力分析和受力图,例5-4 结构如图所示，不计构件自重，画出AB杆的受力图。,CD杆为二力杆,Step 1 选择AB作为研究对象,Step 2 将AB从系统中脱离出来,Step 3 画主动力,Step 4 画约束反力,错误!,例 题