2014届高考数学一轮复习 第15章 第78讲 圆中的有关定理及其应用课件 理

1、第十五章,选考内容,圆中的有关定理及其应用,第78讲,2.如图，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，BAC的平分线与BC交于点D.已知BC=5，EC=4，求ED的长,解析：由切割线定理得AE2= ECEB=4 (4+5)=36， 所以AE=6. 因为AE为切线，所以EAC=B. 又EAD=EAC+CAD，EDA=B+BAD. 且CAD=BAD，所以EAD=EDA，所以DE=AE=6.,3.(2011江苏省扬州中学模拟)如图，设AB为O的任一条不与直线l垂直的直径，P是O与l的公共点，ACl，BDl，垂足分别为C，D，且PC=PD.求证： (1)l是O的切线； (2)PB平分ABD

2、.,解析： (1)连接OP，因为ACl，BDl，所以ACBD. 又OA=OB，PC=PD，所以OPBD，从而OPl. 因为P在O上，所以l是O的切线 (2)连接AP，因为l是O的切线，所以BPD=BAP. 又BPD+PBD=90，BAP+PBA=90， 所以PBA=PBD，即PB平分ABD.,4.已知圆O的直径AB=13，C为圆上一点，过C作CDAB于D(ADBD)若CD=6，求AD的长,5.如图，PA切O于点A，D为PA的中点，过点D引O的割线交O于B、C两点求证：DPB=DCP.,圆的切线的判定,【解析】 (1)连结OC. 因为ACOP， 所以ACO=COP， CAO=POB. 由OA=O

3、C，得 OAC=OCA，所以 COP=POB. 在COP和BOP中， ,所以COPBOP, 所以PBO=PCO=90， 所以PC是的切线. (2)由COPBOP，得 DPO=OPB，所以 . 因为DA=OA=OB，所以 又因为AD等于O的半径，ACOP， 所以 , 所以 .,点评,本题主要考查圆的切线的判定及比例线段的证明，考查平面几何的推理论证能力. 要证直线PC是O的切线，只要证OCPC即可；要求比例线段，可通过中间比来过渡，结合图形，利用条件即可获证.,【变式练习1】如图，AB是O的直径，C，F为O上的点，CA是BAF的角平分线，过点C作CDAF交AF的延长线于D点，作CMAB，垂足为点

4、M. 求证： (1)DC是O的切线; (2)AM MB=DF DA.,【解析】连结OC， 则OAC=OCA. 又因为CA是BAF 的角平分线， 所以OAC=FAC， 所以FAC=OCA， 所以OCAD. 因为CDAD，所以CDOC，即CD是O的切线.,(2)连结BC. 在RtACB中，CM2=AM MB. 因为CD是O的切线， 所以CD2=DF DA. 又RtAMCRtADC，所以 CM=CD， 所以AM MB=DF DA.,切割线定理及其应用,【解析】连结AE，AF. 因为AB是圆O的直径， 所以AEB=AFB=90. 又CDB=90， ABC=DBF， 所以DBCFBA, 所以 ， 即AB

5、 BD=BC BF.,因为AEB=90，CDAB， 所以BE2=BD AB(直角三角形射影定理). 因为CT是切线，CB是割线， 所以CT2=CF CB. 所以BC2 - CT2=BC2 CF CB =BC (BC - CF) =BC BF, 所以 BE2=BC2 - CT2，即BE2+CT2=BC2.,点评,有切线有割线，考虑利用切割线定理；有直径，莫忘直角；有平方形式，考虑直角三角形射影定理.,【变式练习2】如图，AB是O的直径，C，F是O上的两点，OCAB，过点F作O的切线FD交AB的延长线于点D.连结CF交AB于点E.求证：DE2DBDA.,【解析】连结OF.因为DF切O于F， 所以O

6、FD90. 所以OFCCFD90. 因为OCOF， 所以OCFOFC.,【解析】因为COAB于O，所以OCFCEO90. 所以CFDCEODEF，所以DFDE. 因为DF是O的切线，所以DF2DBDA. 所以DE2DBDA.,四点共圆及其应用,【例3】如图，已知ABC 的两条角平分线AD和CE相 交于H，B=60， F在AC上，且AE=AF. 证明：(1)B，D，H，E四点共圆； (2)CE平分DEF.,【解析】(1)在ABC中，因为B=60， 所以BAC+BCA=120. 因为AD、CE是角平分线， 所以HAC+HCA=60，所以 AHC=120， 所以EHD=AHC=120. 因为EBD+

7、EHD=180, 所以B，D，H，E四点共圆.,(2)连结BH，则BH为ABC的平分线. 由(1)知，B，D，H，E四点共圆,CED=HBD=30. 又EBD=AHE=60, 由已知可得EFAD, CEF=30， 所以CE平分DEF.,点评,本题是对考生几何推理论证能力的综合考查，所用到的知识较多，证明的关键是根据四点共圆的条件进行证明.在解题时要根据已知条件，通过等量代换将角集中到一个四边形中，达到使用条件的目的.,2.(2011南通三模卷)如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，AE=AC，求证：PDE=POC.,解析:因为AE=AC，AB为直径， 故OAC=O

8、AE. 所以POC=OAC+OCA=OAC+OAC=EAC. 又EAC=PDE，所以PDE=POC.,【解析】根据相交弦定理，得PD PC=PA PB，所以PD 6=43, 所以PD=2(cm). 因为EA是O的切线，所以EA2=ED EC， 所以 20=ED (ED+8)，所以ED=2(cm), 则PE=4(cm).,4.已知O1和O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D . 经过点B的直线EF与O1交于点E，与O2交于点F. 求证：CEDF.,【解析】如图，连结AB. 因为四边形ABEC 是O1的内接四边形， 所以BAD=E. 因为四边形ADFB 是O2的内接四边形， 所以BAD+F=180. 所以E+F=180, 所以CEDF.,3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法： (1)直接应用相交弦定理、切割线定理及其推论； (2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式或等积式不能直接运用基本定理推导时，通常是由“三点定形法”证