第六章 中心力场.pptx

1、Review,微观全同粒子具有不可分辨性，任何两个粒子交换，量子态不变,第1页,全同粒子波函数，要么对称（Bose子），要么反对称（Fermi 子）。,P表示对不同单粒子态的粒子进行对换的置换。,第2页,交换任意两个粒子，等价于行列式中相应两列对调，由行列式性质可知，行列式要变号，故是反对称化波函数。,Pauli 不相容原理 不能有两个全同的Fermi子处在相同的状态。,第六章 中心力场,教学内容,第3页,1 中心力场中粒子运动的 一般性质 2 无限深球方势阱 3 三维各向同性谐振子 4 氢原子,1 中心力场中粒子运动的 一般性质,一、角动量守恒与径向方程 何谓中心力场 粒子的受力经过某个固定

2、的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r的函数，即V (r)，为球对称势。（例如Coulomb场）,第4页,设质量为的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：,经典理论中，中心力场中运动粒子角动量守恒，粒子运动为平面运动。,对于势能只与 r 有关而与, 无关的有心力场，使用球坐标求解较为方便。,第5页,l, H = 0, l2, H = 0,l及l2均为守恒量,径向动能,离心势能,取体系(自由度3)的力学量完全集为,第6页,求解中心力场中粒子的能量本征方程,径向方程可写为：,求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令：,第7页,不同中心力场V(r)，不同Rl(r) （l(r)）； 方

3、程中没有出现磁量子数m，能量本征值E与m无关。 与l有关，给定l，m有2l+1个取值，中心力场的简并度一般为2l+1. 选取对易守恒量完全集(H, l2, lZ)之后，同一能级的各简并态就可标记清楚。,一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本征函数。 非束缚态，E连续变化。 束缚态，E取离散值。 由于束缚态下边界条件，出现径向量子数nr, nr= 0, 1, 2, ，（代表波函数节点数），E依赖于nr和l，记为Enr l， l一定，E随nr增大而增大。 nr一定，E随l（离心势能）增大而增大。 光谱学习惯，把（l=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6）的态记为s, p, d, f,

4、 g, h, i.,第8页,径向波函数在r0邻域内的渐进行为,假定V(r) 满足,第9页,变为,设,当r0，,在任何体积元找到粒子的概率应为有限值。 当r0， 若Rl(r) 1/ra，要求a=1时， Rl(r) r-(l+1)不满足要求。 l=0时， R0(r)Y001/r，但此解并不满足能量本征方程,第10页,r0时，只有Rl(r) rl是物理上可以接受的。等价地，要 求,径向方程的一个定解条件。,两体问题化为单体问题,实际碰到的中心力场问题，通常是两体问题。两个质量分别为m1和m2的粒子，相互作用V(|r1-r2|)=V(r) 只依赖于相对距离。这个二粒子体系的能量本征方程,第11页,ET

5、为体系的总能量。引入质心坐标R和相对坐标r,I 一个具有约化质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整体的质心运动。,可以证明：,第12页,证明：,第13页,以上结果带入到两粒子能量本征方程，,分离变量,第14页,描述质心运动（自由粒子能量本征方程）平面波解,描述相对运动， E 是相对运动能量（单粒子能量本征方程）,两体问题 单体问题,Review 中心力场中粒子运动一般性质,1. 中心力场 V(r) 球对称势 2. 经典力学中，角动量守恒，平面运动 3. 量子力学中， l, H = 0, l2, H = 0,第15页,第16页,当r0，,r0时，只有Rl(r) rl是物理上可以接受的。等

6、价地，要 求,两体问题化为单体问题,2 无限深球方势阱,考虑质量为的粒子在半径为a的球形匣子中运动。这相当于粒子在一个无限深球方势阱中运动，(束缚态),第17页,考虑s态（l=0）。径向方程,势阱内部，,方程的解可以表示为 sin(kr)的形式，再根据r=a处的边界条件，sin(ka)=0, 有,第18页,粒子能量本征值为,归一化，,l0时，径向方程为,第19页,引入无量纲变量=kr,球Bessel方程，解可取为球Bessel函数jl()与球Neumann 函数 nl(), 0时，,球方势阱的解取为,当a取有限值时，k只能取一系列离散值，令jl()=0的根为,第20页,粒子的能量本征值为,相对

7、应的径向本征函数为,第21页,10,A5. 合流超几何函数,合流超几何微分方程为,第22页,，为参数。在z0邻域，,令y=zs, 可得,s=0 时的级数解，,第23页,要求方程左边各次项为0，,由此可得,c0=1, 得出级数解，合流超几何函数,第24页,k, ck/ck-11/k，这与ez的幂级数展开系数比值一致，,s=1- 时,级数解为,3 三维各向同性谐振子,质量为的粒子在三维各向同性谐振子势V(r) 中运动，,第25页,是刻画势阱强度的参量。径向方程为，,r=0的邻域，物理上可以接受的径向波函数的渐近行为是,r时，,自然单位，=1,束缚态边界条件要求,第26页,方程的解写为,化为,合流超

8、几何方程。,方程有两个解，,第27页,u2，是物理上不能接受的解。方程的解只能为,无穷级数解,合流超几何函数,要满足束缚态边条件，要求F(,)中断为 一个多项式。要求=0 or 负整数,第28页,这就要求,这就是三维各向同性谐振子的能量本征值。,能级简并度 能级均匀分布，间隔。 能级一般是简并的，能量本征值只依赖于nr和l的特殊组合N=2nr+l. 给定能级EN, nr = 0, 1, 2, 3, ， (N-1)/2 or N/2 l = N - 2 nr = N, N-2, N-4, N-6, , 1(N奇) or 0(N偶) N偶时， 能级简并度（N奇同样结果）,第29页,径向波函数为,归

9、一化后,直角坐标系,采用直角坐标系，三维各向同性谐振子可分解为相同的三个彼此独立的一维谐振子,第30页,本征函数可以分离变量， 相当于选取（Hx, Hy, Hz）为对易守恒量完全集，共同本征态为,相应的能量本征值为,第31页,能级简并度,给定 N， nx = 0, 1, 2, ， N-1, N ny + nz = N, N-1, N-2, ， 1, 0 (ny , nz ) 种数 N+1, N, N-1, ， 2, 1 能级简并度为,练习 （习题5.7）,中心力场V(r)中粒子运动的径向方程可以写为,第32页,利用Feynman-Hellmann 定理（p.95, 习题4.7）证明对处在能量本

10、征态下的三维各向同性谐振子，,4 氢原子,量子力学发展史上最突出的成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意的解释。 氢原子是最简单的原子，其Schrdinger方程可以严格求解，氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。 氢原子问题是典型的中心力场问题。 氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有一个电子绕着它运动 。它与电子的库仑吸引能为（取无穷远为势能零点）,第33页,具有一定角动量的氢原子的径向波函数 满足下方程：,第34页,若E0: 自由定态, 电子从原子内电离, 连续能谱 若E0: 束缚定态, 电子被束缚在原子内,分立能谱,考虑氢原子的束缚态，即E 0的情况，按1

11、有关结果，r0方程渐进行为：,r时，方程化为,第35页,方程的解可以表示成,再令,第36页,这正是合流超几何方程,合流超几何方程的解为合流超几何函数F (, , )，故方程的解为,第37页,当k时 和e 的级数展开系数的比值相同,因此，当时（即r）， u()=F (, , )的渐进行为和e 相同，即,这和波函数有限性条件矛盾，所以须将F (, , )切断为多项式，只需令,另一方面,第38页,令,得到氢原子束缚定态的能量(本征值)：,( 是电子的约化质量),Bohr半径,此即著名的Bohr氢原子能级公式，n 称为主量子数,因此与En相应的径向波函数可表示为：,第39页,归一化的径向波函数为,a是

12、Bohr半径,综上，氢原子束缚定态的波函数,第40页,a是Bohr半径,最低的几条能级的径向波函数是：,第41页,氢原子内电子状态的光谱学标记,第42页,能级简并,能量只与主量子数n 有关，而本征函数与n, l, m 有关，故能级存在简并。 给定能级En (即给定主量子数n)，角量子数l,第43页,而磁量子数m 有（2l+1）个可能值：,第44页,因此，属于En的量子态nlm数目,即氢原子能级n2度简并。,但基态能级不简并，E1 =e4 / 2 2=-13.6eV，相应基态波函数是100 = R10Y00。,第45页,氢原子内电子位置的几率分布,在束缚定态 nlm(r)下，氢原子内的电子在位置

13、r附近的体积元d 内出现的概率为：,第46页,A. 径向位置概率分布,考虑在(r, r+dr)的球壳内（不管方向）找到电子的概率，结果为,第47页,径向位置的概率分布函数,第48页,s 电子的径向位置概率分布曲线（l = 0）,第49页,p 电子的径向位置概率分布曲线 ( l = 1 ),第50页,d 电子的径向位置概率分布曲线 (l = 2),径向概率分布函数的基本特征：,（1）径向概率分布函数在r = 0 和r = 两点都等于零。 （2）径向几率分布函数除了r = 0 和r = 两点外还有( n l 1= nr )个节点（零点），因而有( n l )个极大值。,第51页,（3）对于l =

14、n 1（即nr = 0）的态，径向几率分布函数有唯一极大值，可以求出 取极大值的径向位置,第52页,C 是常数,极值位置：,最可几半径,最可几半径与玻尔氢原子量子论中电子圆周运动轨道半径完全一致。 因而l = n 1（nr = 0）的态称为“圆轨道”，除两端外，它们无节点。,角向位置概率分布,在束缚定态 nlm(r)下，在空间立体角元d中（不管径向位置r），找到电子的概率，,第53页,角向位置的概率分布函数,与 角无关，故角分布函数绕z轴旋转对称。,=0, m=0：|Y00|2 =(1/4)，与 也无关，球对称分布。,第54页,s态电子,=1, m=1时，|Y1,1()|2 =(3/8)sin

15、2 。在=/2时，有最大值。在 =0（z向）时，Y1,1= 0,第55页,=1, m=0时，|Y1,0()| 2= (3/4) cos2。正好与上面相反，在 = 0时，最大；在 =/2时，等于零。,第56页,第57页, = 2,电流分布与原子磁矩,在 nlm态下，电子的电流密度,第58页,在球坐标中，易知,j 是绕z轴的环电流密度（如图）,通过细环截面d 的电流为：,第59页,对磁矩的贡献为：,氢原子在束缚定态nlm下总磁矩的大小为：,第60页, 轨道磁矩,s态电子(l=0, m=0)，轨道磁矩为0, 回转磁比值或g因子, Bohr磁子,类氢离子,核外只有一个电子，而核电荷数Z大于1的离子，如He+，Li+，Be+等。势能算符为：,第61页,因此氢原子的结果都适用于类氢离子，但需做代换,第62页,类氢离子：,e2 Ze2,a a/Z,例题1：氢原子处在基态 ，求： (1) r的平均值； (2) 势能的平均值； (3) 最可几半径；,第63页,解： (1),第64页,利用积分公式,