电动力学-第2.1节.ppt

1、第二章 静电场,Electrostatic field,本章主要研究静电场的一些求解方法。,由于静电场的基本方程是矢量方程，求解很难，因此一般都是采用引入电势来求解。,因此，本章首先引进静电场的标量势函数电势并讨论电势的一些基本特性。然后讨论静电势方程的几种求解方法分离变量法、镜象法、格林函数法以及电荷在小区域分布时的近似求解方法。,本章研究的主要问题：在给定的自由电荷分布以及在周围空间介质和导体分布的情况下，怎样求解静电场。,注意两点：,电荷静止，即：,电场不随时间变化，即:,求解的依据是：唯一性定理。,电磁学中的基本内容复习,静电场的基本特点,静电场：静止电荷产生的电场。,特点：, ， ，

2、静电场可单独存在。, 等均与t无关。,静电场的基本方程（有源场）：,（在本章中，一般以代表自由电荷体密度 和面密度 ）,边值关系：,即,即,求介质分界面上的束缚电荷：,当 有,电磁性质方程：, 均匀各向同性线性介质：, 静电平衡时的导体：,导体内部：,外部表面：,电荷分布在表面上，电场处处垂直于导体表面。,静电场的标势及其微分方程,第二章 第一节,一、静电场的标势,1静电势的引入,静电场满足的方程,因为静电场为无旋场，即 ，所以可以引入标量函数 （利用推论：标量函数的梯度无旋），引入后定义：,静电场标势（简称电势）。, 的选择不唯一，相差一个常数，只要知道 即可确定 。,取负号是为了与电磁学讨

3、论一致。,满足迭加原理,电势差：某点电势无实际意义，两点间电势差才有意义,选空间有限两点P1P2。,得,为电场力将单位正电荷从P1移到P2点所作功负值。,电场力作正功，电势下降 ,电场力作负功，电势上升 。,两点电势差与作功的路径无关。,等势面：该面上电势处处相等。,（ 与等势面垂直，即 处处成立）,参考点：,（1）电荷分布在有限区域，通常选无穷远为电势参考点。,P点电势为将单位正电荷从P点移到处(电势参考点)电场力所做的功。,（2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考点，否则积分将无穷大。,2、电荷分布在有限区域时的几种情况的电势,(1)点电荷,(2)电荷组,(3)无限大均匀线性介质中点电

4、荷,产生的电势,产生的电势,(4)连续分布电荷,无穷远处为参考点。,例1求均匀电场 的电势。,解：,均匀电场可看作由两无限大平行板组成的电容器产生的电场。,因为均匀电场中每一点强度 相同，其电力线为平行直线，选空间任一点为原点，并设原点的电势为 。,根据,得到,设原点O到任一点P的矢径为 ，积分路径也为 ，所以,这里有个参考点选择问题。,例2均匀带电的无限长直导线的电荷线密度的，求空间的电势。,解：,过所求场点P作垂直于直导线的平面交于O点，设OP=R为已知。,设坐标轴Z如图所示，在z处取线元 ，其电荷元为,电荷元在P点的电势为 ，,由于上式是基于无限远处为电势零点，而直导线延申至无限远，所以

5、不能以无限远为电势零点，那么此题电势的计算有两种方法：,已知电场在积分路径中的分布，利用右式计算：,已知某种电荷元电势公式，用积分求电荷连续分布的带电体的电势：,此式基于无穷远处为参考点。,对于点电荷，若设某点P0为电势零点，则P点的电势为：,所以，若取直导线在R0处为电势零点，那么电荷元在P处的电势应为：,整个直导线在P点的电势为：,分子,分母,二、静电势的微分方程和边值关系,1 满足的方程,泊松方程（Poisson equation)：,其中 仅为自由电荷分布，适用于均匀各向同性线性介质。,导出过程：,特例：在无自由电荷存在的空间，拉普拉斯方程（Laplace equation) ：,（适

6、用于 的区域 ）。,静电场的基本问题,在各种不同条件下求解Poisson equation或Laplace equation是处理静电问题的基本途径。,如果电荷是连续分布的，则观察点 处的标势为,这个式子只反映了电荷激发电场这一面，而没有反映电场对电荷的作用另一面。,如果空间还有导体存在的活，那么物理机制为,考虑到感应情况，诸问题的模拟是：,给定电荷分布,求空间一点,电场分布,而场引起导体上,感应电荷分布,而感应电荷分布反过来引起,现在，要找出一个电荷对它邻近的电场是怎样作用的，一点上的电场和它邻近的电场又是怎样联系的，即要找出电荷和电场相互作用规律的微分形式，而在导体表面或其他边界上场和电荷

7、的相互作用关系则由边值关系和边界条件反映出来，称之为边值问题。,2边值关系,(1)在介质的分界面上，电场满足的边值关系为,且为电势所满足的边值关系：,证明：,(a),极限值是0，所以,(b),由,(2)在介质与导体的分界面上的情况,由于导体表面为等势面，因此在导体表面上电势为一常数。将介质情况下的边值关系用到介质与导体的分界面上，并考虑导体内部电场为零，则可以得到第二个边值关系。,因此，导体与介质分界面上的边值关系为：,式中S指导体的表面。,归纳起来，静电场的基本问题是：,求出在每个区域(均匀)内满足泊松方程，在所有分界面上满足边值关系和在所研究的整个区域边界上满足边界条件的电势的解。,三、利用静电标势来描述静电场的能量,1、一般方程,能量密度：,(均匀各向同性线性介质)因为：,总能量：,2、用 表示的静电场能量,总能量为：,推导过程：,即：,注意理解：,1）该公式只适合于静电场情况，能量不仅分布在电荷区。,2） 不代表静电场能量密度，静电场能量存在于整个静电场分布的区域中。,3） 与 的适用范围是有区别的。,积分只需遍及电荷分布的区域V,例3求带电荷量为Q、半径为a的导体球的静电场总能量。,