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1、齐次坐标变换与四元数,1齐次坐标,1.1位置和姿态的表示 1.2坐标变换 1.3齐次坐标变换,1.1.1位置描述,对于直角坐标系 ，空间任一点p的位置可用的列矢量 表示。,1.1.2方位描述,用与此刚体固接的坐标系 的三个单位主矢量相对于参考坐标系 的方向余弦组成的矩阵 来表示刚体B相对于坐标系的方位。,的性质,由于 的三个列矢量 ， 和 都是单位矢量，且双双相互垂直，因而它的9个元素满足6个约束条件（正交条件） 可见，旋转矩阵是正交的，并且满足条件,1.2坐标变换,1.2.1平移坐标变换 1.2.2旋转坐标变换 1.2.3一般坐标变换,1.2.1平移坐标变换,称 为相对于 的平移矢量,1.2

2、.2旋转坐标变换,用旋转矩阵 描述 相对于 的方位。,1.2.3一般坐标变换,可看成是坐标旋转和坐标平移的复合变换。,1.3齐次坐标变换,1.3.1齐次变换 1.3.2平移齐次坐标变换 1.3.3旋转齐次坐标变换,1.3.1齐次变换,式 用齐次坐标表示为,1.3.2平移齐次坐标变换,对已知矢量u=x,y,z,wT进行平移变换所得的矢量v为,1.3.3旋转齐次坐标变换,对应于轴x，y或z作转角 为的旋转变换,2四元数,2.1四元数的定义及其运用,2.1四元数的定义及其运用,四元数是由一个实数单位l和三个虚数单位i、j、k组成的包含四个实数的超复数。 也可将i、j、k视为单位矢量 这里sw且vx y z,四元数的乘法运算,（1）若 、 为两实数，则 （2）若 为一实数， 为一矢量 ，则,（3）若a、b为两个矢量，则 设i、j、k为直角坐标系的3个单位矢量,若p、q为两个四元数，且 ，,（4）一个四元数 ，其共轭四元数为 ，则有 式中 称为四元数q的范数。,（5）两个四元数p、q，则有 （6）四元数的逆 对于规范四元数,（7）四元数的微分 若令 ，则有 若令 ，则有,（8）四元数积的矩阵表示 若令p、q为两个四元数，且 若有四元数 ，且记,可用矩阵表示为,2.2四元数于坐标系转换的关系,矢量 绕某一单位矢量n旋转一个角度后 ，得

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