(线性代数)第一章 矩阵

1、,线 性 代 数,数学系,我想说,课程的重要性,课程要求,综合考评,课时分配,如何学好,做好预习复习,多看多练多想,工科基础,考研基础,期末成绩,平时成绩,授课学时 4*8=32,习题课 1*4=4,数学实验(5%),数学实验 2*2=4,答疑时间：周一晚1-2节 教八4楼专用教室,按时完成作业 A B C,教材与参考书目,教材,购书联系方式,参考书目,工程数学线性代数，第4版，同济大学应用数学系，2003，高教出版社,线性代数,作者：陈建龙，周建华，韩瑞珠，周后型,唐风书店(山西路军人俱乐部长三角文化用品),科学出版社，2007.2,线性代数附册学习辅导与习题选解，第4版，同济大学应用数学系

2、，2003，高教出版社,定价：18.00,线 性 代 数,一、核心工具,解线性方程组,线性方程组,方程间 的关系,向量间 的关系,矩阵的性质和运算,行列式 的运算,返回,二、主要问题,应用线性方程组,求方阵的特征值特征向量,方阵的相似对角化问题,实对称矩阵的正定性,三、重点难点,向量组的线性无关性,逆矩阵,线性方程组：,教学内容和基本要求,第一章 矩 阵,第一章 矩 阵,1.1 矩阵的基本概念,一. 矩阵与向量,二.几种特殊矩阵,一. 矩阵的线性运算,三. 矩阵的转置,1.2 矩阵的基本运算,二. 矩阵的乘法,例1. 某厂家向三个代理商发送四种产品.,第一章 矩阵,1.1 矩阵的基本概念,1.

3、1 矩阵的基本概念,例2. 四个城市间的单向航线如图所示. 若aij表示从i市 到j市航线的条数, 则右图可用矩阵表示为,第一章 矩阵,1.1 矩阵的基本概念,1.1 矩阵的基本概念,一. 矩阵与向量,1. mn矩阵 (Matrix),元素: aij (i = 1, , m, j = 1, , n),注: 元素都是实(复)数的矩阵称为实(复)矩阵. 今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都 是实矩阵(Rmn). 复矩阵(Cmn).,Amn=,= (aij)mn,n阶方阵: nn矩阵,2. 方阵,主对角线元素: aii (i = 1, , n),3. 向量 (Vector),n维行向量: 1n矩阵

4、 ai = (ai1, ai2, , ain),n维列向量: n1矩阵 Aj =,常用希腊字 母,表示.,5.同型矩阵 A = (aij)mn与B = (bij)mn,6.相等矩阵A = B,aij = bij , 1 i m, 1 j n,同型矩阵,第一章 矩阵,1.1 矩阵的基本概念,4.11矩阵 (a11) = a11,7.零矩阵 Omn aij =0， 1 i m, 1 j n,1. 对角矩阵(diagonal), = diag(1, 2, , n) =,1 0 0 0 2 0 0 0 n,2.数量矩阵,3. 单位矩阵,引入Kronecker记号,= (ij),= (ij),= (i

5、ij),第一章 矩阵,1.1 矩阵的基本概念,二. 几种特殊矩阵,4. 三角矩阵,上三角矩阵：方阵的主对角线下的元素全为0,下三角矩阵：方阵的主对角线上的元素全为0,第一章 矩阵,1.1 矩阵的基本概念,5. 行阶梯矩阵,称A中非零行的行数为A的阶梯数, 记为 r(A).,(简称阶梯阵) (row echelon form),若A有零行(元素全为零的行), 则零行位于最下方; 非零行的非零首元 (自左至右第一个不为零的元, 称为主元) 的列标随行标的递增而递增.,r(A)=3,r(A)=4,第一章 矩阵,1.1 矩阵的基本概念,6. 行最简形矩阵,A为阶梯形矩阵(简称阶梯阵),若A有零行, 则

6、零行位于最下方; 主元的列标随行标的递增而递增.,A为行最简形矩阵(reduced row echelon form)(rref),各非零首元(主元)全为1, 主元所在的列(称为主列)除1外其余元素全为0.,不是rref,单位列向量,第一章 矩阵,1.1 矩阵的基本概念,是rref,0,0,1.1 矩阵的基本概念,一. 矩阵与向量,二.几种特殊矩阵,一. 矩阵的线性运算,三. 矩阵的转置,1.2 矩阵的基本运算,二. 矩阵的乘法,Amn = (aij)mn,1. n阶方阵,2. 三角矩阵,3. 对角矩阵, = diag(1, 2, , n),4.数量矩阵,5. 单位矩阵,En = (ij),

7、= (ij),= (i ij),6. 行阶梯矩阵,7. 行最简形矩阵,主元全为1,主列为单位列向量.,0行最下方;主元列标随行标递增,1. 加法,注1: A, B同型.,C = A+B = (aij+bij)mn,注3: 负矩阵 A = (aij)mn,注4: 减法：,2. 数乘,kA = (kaij)mn =,向量: k+l = (kai+lbi),(A, B是同型矩阵),kA lB = (kaij lbij)mn,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,1.2 矩阵的基本运算,一. 矩阵的线性运算,A B = A + (B),3. 性质,定理2.1 设A, B, C, O是同型矩阵, k,

8、l是数, 则,(1) A + B = B + A, (2) (A + B) + C = A + (B + C), (3) A + O = A, (4) A + (A) = O, (5) 1A = A, (6) k(lA) = (kl)A, (7) (k + l)A = kA + lA, (8) k(A + B) = kA + kB.,(9) kA = 0 k = 0 或 A=O.,(10) A + X = B X = B A.,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,C=AB,1. 设A = (aij)ms , B =(bij)sn , 则A与B的乘积是 C = AB = (cij)mn = (

9、 Ai* B*j)= , 其中,二. 矩阵的乘法,注1: 时才有意义，且 .,(1) (kA)B = k(AB), (2) A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC, (3) (AB)C = A(BC).,注2: 性质,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,AB = ( Ai* B*j)=,二. 矩阵的乘法,注3:,注4:,不一定都有意义,同型但不相等,AB: A左乘以B; B右乘以A,有意义但不同型,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,注5: 方阵的正整数幂：,A2=AA,Ak+1=AkA,AkAl = Ak+l ,(Ak)l = Akl ,(AB)k,Ak Bk

10、,(A+B)2,A2 + B2+2AB ,只有AB=BA时等式成立.,注6: 消去率未必成立.,(AB)k = AB AB AB.,(A+B)2 = (A+B) (A+B) = A2 + B2+AB+BA,比如:,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,(A+B)(AB) = A2B2AB+BA A2B2,例3. 关于Ak,解:,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,注7：对角矩阵的性质, =,= (i ij),(ti ij),= (i ti ij),= (ti ij),(i ij),=,Em Amn = Amn = Amn En,(a Em) Amn = a Amn = Amn (a En),

11、t1 0 0 0 t2 0 0 0 tn,1 0 0 0 2 0 0 0 n,1t1 0 0 0 2t2 0 0 0 ntn,=,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,注8：方阵的多项式,设A为一个方阵, f(x)为一个多项式,称之为方阵A的一个多项式.,f(x) = asxs + as1xs1 + + a1x + a0,f(A) = asAs + as1As1 + + a1A + a0E,例5：,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,第一章 矩 阵,1.2 矩阵的基本运算,一. 矩阵的线性运算,二. 矩阵的乘法,三. 矩阵的转置,kA lB = (kaij lbij)mn,AB = (Ai*

12、 B*j)=,矩阵乘法是否有意义，乘积矩阵的行列数,交换率一般不成立,消去率一般不成立,三. 矩阵的转置,1. 设矩阵A = (aij)mn,则矩阵A的转置 为,2. 性质：,(1) (AT)T = A,nm,(4) 证明：,(2) (A+B)T = AT + BT,(4) (AB)T = BTAT.,(3) (kA)T = kAT,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,3. 对称矩阵,满足 AT = A.,A = (aij)mn为对称矩阵 m = n且aij = aji (i, j = 1, 2, , n).,反对称矩阵A ：,满足 AT = A.,A = (aij)mn为反对称矩阵 A为方

13、阵且aij = aji (i, j = 1, 2, , n).,比如：,为对称矩阵；,为反对称矩阵.,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,反对称矩阵对角线元素全为0,证明：设A,B,C为n阶方阵，并且,第一章 矩阵,1.2 矩阵的基本运算,例6. 证明任意一个n阶方阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.,1.1-1.2 矩阵及其运算,一. 矩阵与向量,三. 矩阵的线性运算,四. 矩阵的乘法,五. 矩阵的转置,kA lB = (kaij lbij)mn,AB = ( Ai* B*j)=,对称矩阵,对角矩阵(iij),数量矩阵En,单位阵En,(AB)T = BTAT,Amn = (a

14、ij)mn,行阶梯矩阵,行最简形矩阵,二. 几种特殊矩阵,方阵,三角矩阵,一般矩阵：,第一章 矩 阵,1.3 分块矩阵,一. 矩阵的分块,二. 分块矩阵的运算,线性运算,转置,乘法,三. 分块矩阵的应用,线性变换,1.3 分块矩阵,一.矩阵的分块,在矩阵的某些行之间插一些横线，在某些列 之间插一些竖线，将矩阵分成一些子块。,G,H,第一章 矩阵,1.3 分块矩阵,三种特殊的分块方法,设A为mn矩阵, 记Aj为A的第j列, i为A的 第i行(j = 1, , n, i = 1, , m), 则有如下两 种重要的分块方法,A = (A1, A2, , An),其中A1, A2, As都是方阵, 则

15、称A为分块对角阵 (或准对角矩阵).,二. 分块矩阵的运算,分块加法,设矩阵A与B是同型的, 采用相同的分块 法分块将A与B分块如下,第一章 矩阵,1.3 分块矩阵,2. 分块数乘,第一章 矩阵,1.3 分块矩阵,3. 分块乘法,设A为ml 矩阵, B为l n 矩阵, 将它们分块如下,Ai1, Ai2, , Ait的列数分别与B1j, B2j, , Btj的行数相等.,(i = 1, 2, , s; j = 1, 2, , r.),第一章 矩阵,1.3 分块矩阵,求AB.,解:,于是AB =,1 0 1 2,1 0 0 1,2 4 1 3,1 1 1 1,A1B11+B21 B22A1,第一章

16、 矩阵,1.3 分块矩阵,4. 分块转置,分外层内层 双重转置,AT = A1, A2, , AnT,= 1T, 2T, , mT .,A1T A2T AnT,T,第一章 矩阵,1.3 分块矩阵,第一章 矩 阵,1.3 分块矩阵,一. 矩阵的分块,二. 分块矩阵的运算,线性运算,转置,乘法,三. 分块矩阵的应用,线性方程组的表示形式,线性变换,三. 分块矩阵的应用,线性方程组的表示形式,三. 分块矩阵的应用,线性变换,y=Ax,从x1, x2, xn到y1, y2, ym的线性变换,恒等变换,y=Ex,旋转变换,y=Ax,几何含义：将平面上任一点P(x1,x2) 旋转 角得到点P(y1,y2)

17、,1.4 初等变换与初等矩阵,二. 矩阵的初等变换,三. 相抵标准形,第一章 矩阵,1.4 初等变换与初等矩阵,一. 线性方程组的初等变换,四. 初等矩阵,一. 线性方程组的初等变换,1/2,对换变换,倍乘变换,倍加变换,阶梯形方程组,第一章 矩阵,1.4 初等变换与初等矩阵,阶梯形方程组,最简形方程组,或写成向量形式,由此可得原方程组的通解,其中c为任意数.,第一章 矩阵,1.4 初等变换与初等矩阵,二. 矩阵的初等变换,1/2,1/2,增广矩阵的 初等变换,阶梯形方程组,阶梯形矩阵,第一章 矩阵,1.4 初等变换与初等矩阵,1. 矩阵的初等行变换,初等列变换: 把上述定义中的 “行” 换成

18、 “列” (相应的记号是把“r”换成“c”). 初等行变换与初等列变换统称为初等变换.,(1) 对调两行 ri rj (2) 以非零的数k乘以第i行, 记为ri k (3) 把第j行的的k倍加到第i行上去, 记为ri+krj,初等行变换的逆变换：,第一章 矩阵,1.4 初等变换与初等矩阵,(行row),(列column),三. 相抵标准形,2. 性质 (1) 反身性: A A. (2) 对称性: A B B A. (3) 传递性: A B, B C A C.,矩阵间的相抵关系是一种等价关系.,注：初等变换包括初等行变换和初等列变换.,3. 通过初等行变换将矩阵化为与其等价的 行最简形矩阵,第一

19、章 矩阵,1.4 初等变换与初等矩阵,例1.用初等行变换将A化为行最简形矩阵,r22r1,0 4 1 1,r34r1,0 5 15 15,r4r1,0 2 1 1,r3/5,0 4 1 1,r2r3,0 1 3 3,0 2 1 1,0 0 11 11,0 1 3 3,0 0 5 5,r34r2,r42r2, r3/11,r4+5r3,0 0 1 1,0 1 3 3,0 0 0 0,r1+ r2,r23r3,0 0 1 1,0 1 0 0,0 0 0 0,1 0 0 4,相抵标准形.,rref是初等行变换下的最简形,初等变换下的最简形,r为阶梯数，即阶梯阵中非零行的行数.,第一章 矩阵,1.4

20、初等变换与初等矩阵,四. 初等矩阵,1.初等矩阵:,(1),(2),(3),按定义, 初等矩阵共有如下3类:,一次初 等变换,第一章 矩阵,1.4 初等变换与初等矩阵,E(i,j) =,第i行,1,1,0 1 1 0,1,1,1,1, , ,第j行,第i列,第j列,(1),第一章 矩阵,1.4 初等变换与初等矩阵,E(i(k) =,第i行,1,k,1,1,第 i 列,1,(2),第一章 矩阵,1.4 初等变换与初等矩阵,E(i,j(k) =,第i行,1 k,1,1,第j行,第i列,第j列,1,(3),第一章 矩阵,1.4 初等变换与初等矩阵,2. 初等矩阵的性质,一次初等 行变换,一次初等 列

21、变换,(左行右列),第一章 矩阵,1.4 初等变换与初等矩阵,定理1.1. 对mn矩阵A进行一次初等行变换 相当于在A的左边乘以相应的初等 矩阵; 对A施行一次初等列变换相 当于在A的右边乘以相应的初等矩 阵.,第一章 矩阵,1.4 初等变换与初等矩阵,定理1.2.对任意mn矩阵A, 总存在行最简形矩 阵U和m阶初等阵P1,P2, Ps ,使得 P1P2Ps A = U .,第一章 矩阵,1.4 初等变换与初等矩阵,定理1.3. 对任意mn阶矩阵A, 必可找到m阶初等阵P1,P2, Ps和n阶初等阵Q1, Q2, , Qt ,使得 P1P2Ps A Q1Q2 Qt = E(r), 其中rmin

22、(m,n)为A的阶梯数 .,行阶梯形,Amn,行最简形,相抵标准形,一般地,一. 初等变换和初等矩阵,二. 相抵标准形,一次初 等变换,(左行右列),相抵是一种等价关系形。,初等变换,第一章 矩阵,1.4 初等变换与初等矩阵,一次初等 行变换,一次初等 列变换,Amn,行最简形,相抵标准形,左乘初等阵P1,P2, Ps,右乘初等阵Q1, Q2, , Qt,第一章 矩 阵,二. 初等阵与可逆阵,一. 逆矩阵的概念,三. 用初等变换求逆矩阵,1.5 方阵的逆矩阵,1.5 方阵的逆矩阵,1.5 方阵的逆矩阵,一. 逆矩阵的概念,1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 AB=BA=E. 则称

23、A可逆, 并称B为A的逆矩阵.,事实上, 若AB=BA=E, AC=CA=E, 则B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C. 今后我们把可逆矩阵A的逆矩阵记为A1.,注2.可逆方阵的逆矩阵是唯一的.,注1. 逆矩阵只是定义在n阶方阵上的.,第一章 矩阵,逆矩阵的运算性质,设A, B为同阶可逆方阵, 数k 0. 则,(1) (A1)1 = A.,(2) (AT)1 = (A1)T.,(3) (kA)1 = k1A1.,(4) (AB)1 = B1A1.,例1. 设A与EA都可逆, G = (EA)1E, 求证G也 可逆, 并求G1.,证明: G = (EA)1 (EA)1(

24、EA),= (EA)1(E (EA) = (EA)1A,G1 = A1(EA) = A1 E.,(5) (ABG)1 = G1 B1A1.,1.5 方阵的逆矩阵,第一章 矩阵,二. 初等阵与可逆阵,1.初等矩阵的可逆性,按定义, 初等矩阵共有如下3类:,一次初 等变换,1.5 方阵的逆矩阵,第一章 矩阵,初等矩阵,(1),(2),(3),E(i,j) =,第i行,1,1,0 1 1 0,1,1,1,1, , ,第j行,第i列,第j列,E(i,j)1 = E(i,j),(1),1.5 方阵的逆矩阵,第一章 矩阵,E(i(k) =,第i行,1,k,1,1,第 i 列,1,(E(i(k)1 = E(

25、i(1/k),(2),1.5 方阵的逆矩阵,第一章 矩阵,E(i,j(k) =,第i行,1 k,1,1,第j行,第i列,第j列,1,E(i,j(k)1 = E(i,j(k),(3),1.5 方阵的逆矩阵,第一章 矩阵,1.初等矩阵的可逆性,1.5 方阵的逆矩阵,第一章 矩阵,命题. 初等矩阵都可逆, 且E(i,j)1 = E(i,j), (E(i(k)1 = E(i(1/k), (E(i,j(k)1= E(i,j(k).,定理1.2.对mn矩阵A, 总存在行最简形阵U和m阶初等阵P1,P2, Ps ,使得 P1P2Ps A = U .,问题：可逆方阵A的行最简形矩阵U=？,E, 可逆方阵A =

26、 Ps1 P21 P11.,定理1.5 n阶方阵A可逆 A=初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1,P2, , Ps ,使得A = P1P2Ps .,推论. A B 存在初等阵使B=P1Ps AQ1Qt 存在可逆矩阵P,Q使得B=PAQ.,1.5 方阵的逆矩阵,第一章 矩阵,定理1.6 对mn矩阵B, B 存在初等阵使B=P1Ps Q1Qt 存在可逆矩阵P,Q使得B=P Q.,设A可逆, 则A可以经过有限次初等行变换化为 行简化阶梯阵单位矩阵E.,A E,(A E) (E ?),? =Pl Pl-1P2P1 = A1 ,(A E),(E A1),相当于左乘A1,(A B),(E ),相当于左乘A1

27、,A1B,AX=EX=A1,AX=BX=A1B,例3. 设A =,1 2 3 2 2 1 3 4 3, 求A1.,.,r3 r2, 1/2r2,r1 2 r2,r25/2r3 r1+2r3,1.5 方阵的逆矩阵,第一章 矩阵,例4. 设A =, B =,2 5 3 1 4 3,求矩阵X 使AX = B.,r2 2 r1,r3 3 r1,r1 2 r2,r25/2r3 r1+2r3,1.5 方阵的逆矩阵,第一章 矩阵,1 2 3 2 2 1 3 4 3,XA = BX = BA1,注: 当求一个逆矩阵时，事先不必知道A是否可 逆，因为当A不可逆时，A就不可能通过初等行 变换化成单位阵，此时，则可

28、判别A不可逆。,A E,E A1,A B,E A1B,相当于左乘A1,AX=BX=A1B,相当于右乘A1,左行右列,1.5 方阵的逆矩阵,第一章 矩阵,三. 用初等变换求逆矩阵,(左行右列),A可逆, A E,A = P1Ps,A E,E A1,A B,E A1B,解AX=BX= A1B,解XA=BX= BA1,1.5 方阵的逆矩阵,第一章 矩阵,一. 定义: 方阵A可逆, 若方阵B, 使AB=BA=E.,注. 只定义在方阵上，且唯一.,二. 初等阵与可逆阵,1.5 方阵的逆矩阵,(初等阵都是可逆的),1.6 方阵的行列式,一. 二元线性方程组与二阶行列式,三. n阶行列式的定义,二.三阶行列

29、式的特点,四. 行列式的性质,五. 行列式的计算,六. 行列式的应用,1.6 方阵的行列式,1.6 方阵的行列式,一. 二元线性方程组与二阶行列式,(a11a22a12a21)x1 = b1a22a12b2 (a11a22a12a21)x2 = a11b2b1a21,当a11a22a12a21 0时,第一章 矩阵,第一章 矩阵,1.6 方阵的行列式,则当D = a11a22a12a21 0时,x1=,b1a22a12b2,a11a22a12a21,有唯一确定的解,x2=,a11a22a12a21,a11b2b1a21,三阶行列式的对角线法则,a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

30、,= a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2 a3b2c1a1b3c2a2b1c3,每项都是三个元素的乘积.,每项的三个元素位于不同的行列.,问题: 能用对角线法则计算四阶行列式吗?,否,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,第一章 矩阵,1.6 方阵的行列式,一般地, 在n阶行列式中, 把元素aij所在的第i行 和第j列划去, 留下来的n1阶行列式叫做元素 aij的余子式, 记作Mij, 令Aij = (1)i+jMij, 并称之 为aij的代数余子式. 例如, 四阶阶行列式,中a32的余子式为,代数余子式A32 = (1)3+2M32 = M32.,第一章 矩阵,1.6 方阵的行列式,3阶

31、方阵A =,的行列式|A|定义为,a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33,|A| =,= a11A11 + a12A12 + a13A13,= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31 .,第一章 矩阵,1.6 方阵的行列式,1阶方阵A = a11的行列式|A|定义为a11.,a11(1)1+1a22 + a12 (1)1+2a21,第一章 矩阵,1.6 方阵的行列式,a11的余子式:,M11 =,代数余子式:,A11 = (1)1+1M11,a12的余

32、子式:,M12 =,代数余子式:,A12 = (1)1+2M12,a13的余子式:,M13 =,代数余子式:,A13 = (1)1+3M13,aij 的余子式 Mij ：,划去aij 所在的行列得到的n-1阶行列式,比如M22 ：,aij 的代数余子式 Aij ：,按第一行展开,二. 三阶行列式的特点,= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 a11 a23 a32 a12 a21 a33 a13 a22 a31,1. n阶行列式的定义,注: 一阶行列式|a11| = a11, 有正负号,与绝对值不同, 行列式只定义在n阶方阵A上,记为|A|或detA

33、.,三. n阶行列式的定义（Determinant）, n阶行列式是定义在n阶方阵集合上的一个 函数，即 f(A)=detA: Rnn R.,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,= a11A11+a12A12+a1nA1n,关于第一行的展开式,2. 几个特殊的行列式,= 12n ,12n .,(1) 对角行列式,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,(2) 上(下)三角形行列式,= a11 a22ann,=,=,a1na2n-1an1,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,1.6 方阵的行列式,三. n阶行列式的定义,二. 二、三阶行列式的特点,四. 行列式的性质,五. 行列式的计算,六. 行列式

34、的应用,对角线法则,按某行(列)展开,|A|= a11A11+a12A12+a1nA1n 按第1行展开,f(A)=detA: Rnn R.,四. 行列式的性质,性质1 |AT| = |A|.,记|A| =, |AT| =,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,性质2,性质3,0,性质4,证明:,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,当n=2时成立.,假设对任意n1阶行列式结论成立.,|A|= a11M11+(1)1+i a1iM1i +(1)1+n a1nM1n,|B|= b11N11+(1)1+i b1iN1i +(1)1+n b1nN1n,当ij时,b1i=a1i ,由归纳假设,N1i=M1i

35、, (1)1+i b1iN1i = (1)1+ia1i( M1i)= (1)1+i a1iM1i,当i=j时,b1i= a1i ,N1i=M1i, (1)1+i b1iN1i = (1)1+i( a1i)M1i = (1)1+i a1iM1i,性质4,性质5,性质6,性质7,性质8,性质9,？,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,0,|A|= ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin 按第i行展开,|A|= a1jA1j+a2jA2j+anjAnj 按第j列展开,定理1.7,= a31A31 + a32A32 + a33A33.,下面来看a11A31 + a12A32 + a13A33 =,a

36、11A31 + a12A32 + a13A33 =,a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a12 a13,= 0.,推广到一般情形, 我们有如下结论:,定理1.8. ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + + ain Ajn = 0 (i j) a1i A1j + a2i A2j + + ani Anj = 0 (i j).,A31, A32, A33与a31, a32, a33的取值无关,0,?,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,定理1.8. ai1 Aj1 + ai2 Aj2 + + ain Ajn = 0 (i j) a1i A1j + a2i A2j + + ani

37、 Anj = 0 (i j).,推论：,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,其中,行列式与矩阵的区别,五. 行列式的主要计算方法,四. 行列式的性质,1. 化为三角形行列式,|AT| = |A|.,3. 行列式按行(列)展开,2. 箭形行列式的计算,4. 提公因子法,5. 降阶递推法,6. 分解行列法,例5. 设|A| = |A1 A2 A3 A4| = 3, AiR41, 求|B| = | A2 + A3 A1 2A3 A4 2A1 | =？,= 4 ( 1)3 |A| = 12.,五. 行列式的主要计算方法,1. 化为已知行列式的关系式,解:,|B| = | A2 + A3 A1 2A3

38、A4 2A1 |,= | A2 + A3 2A3 A4 2A1 |,= | A2 2A3 A4 2A1 |,= 4 | A2 A3 A4 A1 |,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,例6.,1 2 4 2 2 1 3 4 2,2. 化为三角形行列式,= 1 6 (7/3),= 14.,法1:,法2:,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,= 14.,行列式按行(列)展开,= 48.,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,例7. 设D =,证明: D = D1D2.,证明: 对D1施行ri+krj , 把D1化为下三角行列式,= p11 pmm ,D2 =,对D2施行ci+kcj 这类运算, 把D

39、2化为下三角形行列式:,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,于是对D的前m行施行上述ri+krj 运算, 再对D 的后n列施行上述施行ci+kcj 运算, 可得:,= p11 pmm q11 qnn,=D1D2.,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,3. 箭形行列式,例8.,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,4. 可化为箭形的行列式,例9.,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,五. 行列式的主要计算方法,1. 化为三角形行列式,3. 行列式按行(列)展开,2. 箭形行列式的计算,4. 提公因子法,5. 降阶递推法,Ajk = (1)j+k Mjk,熟练计算

40、三四阶行列式,6. 分解行列法,例10. 证明n阶 (n2)范德蒙 行列式,证明:当n =2时, D2 = (a2 a1). 现设等式对于(n1)阶成立.,4. 提公因子法,1 1 1 1 0 a2a1 a3a1 an a1 0 a2(a2a1) a3(a3a1) an (ana1) 0 a2n-2(a2a1) a3n-2(a3a1) ann-2(ana1),rn a1 rn-1,r3 a1 r2,r2 a1 r1,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,= (a2a1)(a3a1)(ana1),1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,Dn = ( a+ b) Dn1 ab Dn2,解：按第一行展开,

41、Dn = (a +b),Dn-1,+ ab(1)1+2,Dn-2,= = bn2 (D2aD1),例11. 求 Dn =,双轮形,DnaDn1 = b (Dn1aDn2),= = an2 (D2bD1),DnbDn1 = a (Dn1bDn2),D1=a + b, D2 = a2 + b2 + ab,5. 降阶递推法,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,DnaDn1 = bn2 (D2aD1) (3),DnbDn1 = an2 (D2bD1) (4),由 (3)b (4)a 可得，,D1=a + b, D2 = a2 + b2 + ab,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,6. 分解行列法,解

42、：将第一列拆成两列的和,Dn = b,Dn-1,+ Dn,例11. 求 Dn =,Dn,= an,Dn = b Dn-1 + an,= b2 Dn-2 +ban-1 +an,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,六. 行列式的应用,1. 行列式与逆矩阵,2. 克拉默法则,设A = (aij)nn为方阵, 元素aij的代数余子式为Aij, 则称如下矩阵,(1) 方阵A的伴随矩阵,六. 行列式的应用,1. 行列式与逆矩阵,为方阵A的伴随矩阵.,定理1.9. 方阵A可逆的充分必要条件是|A| 0.,当|A| 0时, 有,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,性质1. 设A为方阵, A*为其伴随矩阵. 则

43、AA* = A*A = |A|E.,第二章 矩阵运算和行列式,2.4 逆矩阵,例12. 求下列方阵的逆矩阵.,解: (1),(2) |B| = 2 0,B21 =6,B22 = 6, B23 = 2,B31 = 4, B32 = 5, B33 = 2.,2 3 2,B12 = 3,B13 = 2,7,3,5,1,主换位, 副变号,4 5 2,6 6 2,推论. 设A, B为方阵, 若AB=E(或BA=E), 则B= A1.,事实上, AB = E, |A| 0, A可逆, B = EB = (A1A)B,= A1(AB) = A1E = A1.,例13. 设方阵A满足A32A2+3A2E =

44、0. 证明: A及A2 +3E可逆, 并求它们的逆矩阵.,推论的作用. 若A, B为方阵, 只需检查AB = E 或 BA = E, 即可判别 A的可逆性.,证明：A32A2+3A = 2E A (A22A+3E) = 2E A1 = (A22A+3E),( A2 +3E)1 = 1/4 (A 2E),1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,可以表示为Ax = b.,线性方程组,2. 克拉默法则,下面讨论A为n阶方阵的情形.,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,对于n元线性方程组,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,定理2.9(Cramer法则). 若系数行列式D=|A|0,则Ax = b有唯一的

45、解,由Ax = b可得,x =A1b,证明:,因为D=|A|0,所以A可逆.,该法则的适用范围：,解n元线性方程组,|A|0,1.6 方阵的行列式,第一章 矩阵,第一章 矩 阵,1. 方阵的正整数幂,只定义在n阶方阵上的运算,A可逆 |A| 0,4. 伴随矩阵,5. 可逆矩阵,A2=AA,Ak+1=AkA,3. 行列式,2. 对称矩阵AT = A,数量矩阵 En,|A|: Rnn R,三角矩阵,1. 方阵的正整数幂,乘积可交换的运算,4. 伴随矩阵,5. 可逆矩阵,AkAl=AlAk,3. 行列式,2. 对角矩阵 (i ij),数量矩阵 En,单位矩阵En,(i En) (ti En) = (

46、ti En) (i En),(a Em) Amn = Amn (a En),第一章 矩 阵,第一章 矩 阵,一. 基本概念,二. 几个重要结论,1.7 矩阵的秩,第一章 矩阵,1.7 矩阵的秩,1. k阶子式：在Amn中, 任取k行与k列(km, kn), 位于这些行列交叉处的k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式. 这样的子式共有 个.,为1个2阶子式,= 2,为1个3阶子式,= 0,一. 基本概念,注2. 矩阵 r(A) = r ,A中至少有一个r阶子式,而A的所有3阶子式,都等于0, 所以 r(A) = 2.,不等于0, 而当kr时, A的任一k阶子式都为0.,第一

47、章 矩阵,1.7 矩阵的秩,2. 矩阵A的秩 (rank)：,A中非零子式的最高阶数, 记为r(A).,注1. 0 r(Amn) minm, n,注2. 矩阵 r(A) = r ,A中至少有一个r阶子式,而A的所有4阶子式都等于0,中有一个3阶子式 不等于0;,所以 r(A) = 3.,不等于0, 而当kr时, A的任一k阶子式都为0.,第一章 矩阵,1.7 矩阵的秩,2. 矩阵A的秩r(A)：A中非零子式的最高阶数.,注1. 0 r(Amn) minm, n,注3. 阶梯阵的秩等于其阶梯数, 即非零行行数.,注2. 矩阵 r(A) = r ,A中至少有一个r阶子式,不等于0, 而当kr时,

48、A的任一k阶子式都为0.,第一章 矩阵,1.7 矩阵的秩,2. 矩阵A的秩r(A)：A中非零子式的最高阶数.,注1. 0 r(Amn) minm, n,注3. 阶梯阵的秩等于其阶梯数, 即非0行行数.,注4.设A为n阶方阵，|A| 0,r(A) =,n,？,3. 方阵A称为非奇异(非退化)矩阵，若|A| 0.,注5.,方阵A称为满秩矩阵，若r(A) = n.,方阵A非奇异(非退化),满秩,可逆, r(A) = n, |A| 0, A E, A = P1Ps,引理1. r(A) = r(AT).,第一章 矩阵,1.7 矩阵的秩,二. 几个重要结论,证明:,设AO.,AT的子式等于A的某个子式的转

49、置,因此AT与A的非零子式的最高阶数相等.,A的(非)零子式与B的(非)零子式一致.,因此A与B的非零子式的最高阶数相等.,即 r(A) = r(B).,第一章 矩阵,1.7 矩阵的秩,先证r(B) r(A)=r.,即证B的任意r+1 阶子式D=0.,(1) D不含Bi :,Bi,Bj,D=DA= 0,(2) D含Bi ,Bj :,D=DA= 0,(3) D含Bi ,不含Bj :,D=DA1kDA2= 0,r(A) r(B),r(A) = r(B).,引理1. r(A) = r(AT).,第一章 矩阵,1.7 矩阵的秩,二. 几个重要结论,证明:,初等列变换,初等行变换, r(A) = r(AT),= r(BT),= r(B).,推论2. 若矩阵