试验设计与分析 7 （均匀设计 ）2013

1、1,第七章 均匀试验设计,1978年原7机部某军工项目531试验，普通试验需2800多万次，正交试验需961次，试验条件要求必须小于50次。 针对此问题，数理统计专家高开泰、数论专家王元潜心研究，创立了全新的试验设计方法均匀试验设计法，仅做31次试验解决上述问题。,一 均匀试验设计背景,2,“均匀试验设计的理论、方法及其应用” 中科院数学与系统研究院王元、高开泰） 2008年获国家自然科学二等奖（34项之一） 首次创立了均匀设计理论与方法，开均匀试验设计之先河，开创了新的研究方向，形成了中国人创立的学派，并获国际认可。, 均匀性： 保证试验因素的每个水平在试验因素空间中都出现，且仅出现一次。

2、均匀设计： 只考虑试验点在试验因素空间内均匀分布的一种试验设计方法。 适用场合 （比正交试验）更多因素、水平的试验设计。,3,二 均匀设计表, 代号：Ua（bc） U： 均匀设计表 a ：行数（均匀试验次数） b ：每列中的不同字码个数(各因素的水平数） c ：列数（该表最多能安排的因素数） Ua *（bc）与Ua （bc）相比，前者均匀性更好，优先使用。,U9(96),4,U5(54)表,U6(66)表,5,均匀设计表 U11(1110),6,7,两种试验设计方法的比较： 正交试验设计： 要求 “均衡分散、整齐（综合）可比” 为保证整齐可比，对任何因素，每个因素的水平必须有重复，试验点在试验

3、范围内就不能充分均匀分散，n不能过少。均匀性受到一定限制，试验点的代表性相对不够强。 均匀试验设计： 不考虑整齐可比性，仅完全保证均匀性，使试验点在试验范围内充分均匀分散，大大减少试验点且试验结果仍能反映试验区域主要特征。,均匀设计表 U11(1110),9,均匀设计表的特点（7个）：,1）各因素的各水平仅出现1次。（每个因素的每个水平作一次且仅作一次试验试验。见各均匀设计表）,10,U6(66)表,eg: 对于32试验 做正交试验： L9 (34) ；n=9；因素的每个水平均重复3次 做均匀试验： ；n=9；因素分成9个水平，每水平做1次，试验点分布更均匀、代表性更强。,11,U9(92),

4、eg: 53试验 做正交试验： L25(56) ；n=25；因素的每个水平均重复5次 做均匀试验： n=25；因素分成25个水平，每水平做1次，试验点分布更均匀、代表性更强。,12,2）均匀性（任两因素的试验画在平面格子点 上，每行每列都有一个试验点，代表性更强。）,正交试验点 均匀试验点 52正交试验L25(56)与均匀试验( n=25 相等时)的均匀性比较,例如：U6(66) 第1列(横轴)和第3列（纵轴）各水平组合,3）任两列间的均匀性不一定平等（均匀性有强有弱）,6 5 4 3 2 1,U6(66) 第1列(横轴)和第3列（纵轴）各水平组合图例,3,6,2,5,4,1,（1 ，3）,（

5、 2 ，6）,（3 ，2）,（4 ，5）,（6 ，4）,（5 ，1）,（ a）,3）任两列间的均匀性不一定平等（均匀性有强有弱）,6 5 4 3 2 1,3,6,2,5,4,1,U6(66) 第1列(横)和第6列（纵）各水平组合图例,（1，6）,（2，5）,（3 ，4）,（4 ，3）,（5 ，2）,（6 ，1）,16,6 5 4 3 2 1,3,6,2,5,4,1,U6(66) 第1、3列各水平组合 U6(66) 第1、6列各水平组合, (a) 试验点分布均匀，(b)试验点均匀性差。 均匀设计不可随意挑列，应选均匀性较好的列。具体设计时，查均匀设计表对应的使用表，按表选列安排试验。,6 5 4

6、 3 2 1,1,2,3,4,5,6,（ a）,17,3）任两列间的均匀性不一定平等（均匀性有强有弱）,U7(76)的使用表, 利用表U7(76)均匀设计时，若只有2个因素，用1、3 列；有3个因素，用1、2、3列；有4个因素， 用1、2、3、6列，以此类推。 每个均匀均匀设计表都配有使用表。用做设计时的列选择依据。 均匀度偏差愈小，均匀性愈好。,18,4）试验工作量大大减小（因素的水平数多时更明显） eg：64试验： n全因素组合试验=1296 n正交试验=72 n均匀试验=6,5）因素水平及试验次数划分灵活，因素水平增加 时，n仅有小的增加 eg：对 52试验 正交试验：L25(56)；

7、均匀试验：若使各因素水平数5， 可方便地安排5n25的均匀试验 对于等水平均匀试验：U表的试验次数=该表的水平数。水平数增加，n随之作等量增加。如水平数由78时， n随之由7 8。但对等水平正交试验：水平数由7 8，试验次数由49 64。,20,52正交试验L25(56)与均匀试验( n正交=25， n均匀=5)的试验次数比较, 正交试验点 均匀试验点,21,6 ）水平数为奇数的表与水平数为偶数的表之间具有确定的关系,奇数表划去最后一行水平数构成比原奇数表少1的偶数表，试验次数也减1，使用表不变。 如，将U7(76)划去最后一行 U6(66)，使用表不变。,7）不考虑因素间的交互作用,U5(5

8、4)表,U6(66)表,22,U4(44)表,U7(76)表,23,U7(76)表,见下表第7列, 为避免某号试验是各因素的最大水平组合，可对某因素水平作平滑处理，需按原顺序进行平滑。,如：均匀设计表 U11(1110)第11行,24,25,eg ：U10(1010)第1列因素水平的平滑“*”处从此处开始为第1水平（中水平）箭头方向水平依次顺序,26,三 均匀试验设计方法,eg：纺织厂用化学原料CMC(羧甲基纤维钠)代替淀粉对纺织品的上浆试验。为了寻找CMC的最佳生产条件，拟进行53因素试验，选定的因素水平如下：,注：正交试验 L25（56）,均匀试验方案1 选用合适的均匀试验表安排试验 U5

9、(54) 查U5(54)的使用表安排因素上列 l、2、4列 分别A、B、C,U5(54) 表,U5(54)的使用表,28,U5（53）均匀试验方案1 U5(54) 表,29,n=5，相对于正交试验节省试验量！ 均匀试验方案2：为使试验结论更可靠，可用U10(1010) 安排试验；各因素5个水平不变，用拟水平法，按U10(1010) 的使用表（3因素1、5、7列）设计均匀试验方案。,30,U10(103)均匀试验方案2 U10(1010)表,时间间隔：15 min； 浓度间隔1 。（不变，拟水平）,由U11(1110) U10(1010)表 ；查 U11(1110) 使用表（3因素分别为1、5、

10、7列）, 均匀试验方案3：若想重点考察A 、C因素水平改变对指标的影响，使试验结论更可靠，仍可用U10(1010) 安排试验。,31,U10(103)均匀试验方案 3 U10(1010)表,A 、C 细分为10个水平（间隔7 min ）； B仍5个水平且对B用拟水平法 浓度间隔为1 。, 均匀试验方案4：若将A 、B、C因素更为细化（13个水平），可用U13(1312) 表安排试验。,33,U13(133)均匀试验方案 4 U13(1312)表,A 、C 、 B均细分为10个水平（时间间隔5 min 、浓度间隔0.5 。 ),35,13号试验：A6B13C13,13号试验A、B、C的第13个水

11、平（最高水平）相遇。 为避免之，可调整因素的水平次序。 如对A的水平顺序作平滑处理： 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 现A 7 A8 A 9 A10 A11 A12 A13 A 1 A 2 A 3 A4 A5 A 6,原1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 11 12 13,36,四 因素水平数不等的均匀设计,例： 3221均匀试验，A、B因素为三水平，C因素为二水平。 分析： 可选的最小正交表L18(2 X 37) ,（为全组合试验）。 不能直接选用等水平均匀设计表U*a(bc)或Ua(bc),37, 混合型U表法（多

12、为2因素表）,38, 拟水平法, 选用适宜的等水平均匀设计表。 据该U表的使用表所推荐的列号选定与试验因素数相等的列。 将试验因素安排在选定的各列上，并分别对各列的不同水平进行合并，组成新的水平（拟水平），任一列拟水平数应与安排在该列上的因素水平数相等。,39,例1：3221试验均匀设计步骤（4步）, 选U6(66)表，其使用表推荐用第1、2、3列 A、B置第1、2列；C置第3列 将第1,2两列的水平分别合并为三水平： 1、2 1， 3、4 2， 5、6 3， 将第3列水平合并为二水平： 1、2、3、 1， 4、5、6 2， 即得表U6(32 21) 将U6(32 21) 各列上的不同数字用相

13、应列上的因素A、B、C的各水平置换即为该均匀设计方案。,40,U6(32x 21 )拟水平设计,U6(66)表前3列, A与C列，B与C列的二因素所有组合都出现，为全组合试验。 A与B列的二因素中无重复试验，U6(32 21)均衡性很好。,41,例2：5221试验均匀设计, L50(256)做正交设计，n 均衡性差的U设计例子： 选U10*(1010)，按其使用表选定1、5、7三列（见下页）。,均匀设计表 U10*(1010)第1、5、7列,42,对第1、5列作水平合并： 1、2 1， ， 9、10 5 对第7列做水平合并： 1、2、3、4、5 1， 6、7、8、9、l0 2， 得表U10(5

14、2 x21) 。,43,U10(52 21)均匀试验方案,设计缺陷： A和C 组合中： 出现 (2，2) 2次， (4，1) 2次， 不出现(2，1)， (4，2)， 均衡性差!,44,均衡性较好的设计方案：, 选用U10(1010)的1、2、5列，用拟水平法便可获U10(5221)表（下页），均衡性较好。,45,U10(52 21) 均匀试验方案,避免方法1 的缺陷 均衡性好!,拟水平设计应充分考虑U表的均衡性，不必受使用表推荐列的限制,46,五 混合(定性、定量)因素的均匀设计,1 虚拟变量 对定性试验因素（水平仅为几个孤立的状态，相互间无联系），如品种、材料种类、仪器型号、性别、地域等。

15、 利用正交设计、区组设计都可合理地安排。 均匀设计的试验数据分析主为回归分析，故首先必须把定性因素定量化（将一个定性因素表示成一个或多个虚拟变量），而后再建立含有虚拟变量的回归模型，进行回归分析。,47,如何将定性因素虚拟变量？,【例】： 通过实际种植试验考察3个优良稻种（定性因素为品种）(A1，A2，A3)与产量y之间的关系。试验干扰基本可以控制，每个品种做2次重复(2个地块)。 试验得6个产量y分别为： 897.5，902.5，948，952，996，1004(kg) 用直观法即可判别品种的好坏。,48,回归分析时的定性因素 虚拟变量？,6次试验A的水平列向量：(1 1 2 2 3 3)

16、， 对应状态因素：(A1 A1 A2 A2 A3 A3) 则A因素对应的3个特征变量（虚拟变量）： (1 1 0 0 0 0)、 (0 0 1 1 0 0)、 (0 0 0 0 1 1) 记为： Z1 、 Z2 、 Z3,49,3个虚拟变量中仅有2个（自由度）是独立的。本列：取Z1、Z2 虚拟变量 设：,解得： =1000， =-100， =-50， R=0.997 4， F回(2，3)=285.7，回归方程高度显著 回归方程 =1000-100Z1-50Z2, 回归模型：, 矩阵式：,=,+,50,（从上述）虚拟变量量化过程规律： 定性因素为r 个水平时， 试验设计同于定量因素； 分析时，因

17、其不为一个连续变量，此时对应于 r-1 个相对独立的虚拟变量,51,2 定性因素均匀设计,【例2】 3因素混合水平均匀设计： 对31 22三个定性因素进行均匀试验设计 其中A（三水平)、B 、C （二水平）,试验设计 从U6(323)中选3列,52, 选择虚拟变量,1） 定性因素A对应3个虚拟变量： Z11、Z12、Z13，选其中2个：Z11、Z12 2 ）因素B对应2个虚拟变量： Z21、Z22，选1个：Z21 3） 因素C对应2个虚拟变量： Z31、Z32，选1个：Z31,53, 含4个虚拟变量的回归模型,解得 = 549.5-17Z11-5.5Z12-43Z21+102Z31 F回=35

18、73.6，相关系数 R=1 回归方程高度显著。, 矩阵式,=,+,定性因素最佳状态组合的估计：, 据以上回归方程，记第i个定性因素有p个状态，令 ui=max（ ， ， ）-（1）， 若ui = 0，则第i因素的最佳状态为K水平； 若ui0，则第i因素的最佳状态为p水平。 本例 =5.5 0 ， 则取k=1 本试验最佳状态组合为：(A3 B2 C1 试验中未出现)。 此点的估计值为：,55,3 混合因素均匀设计, 适用场合：多因素试验中既有定性因素又有定量因素，而用正交试验设计n多的情形。 【例】 对同时含2个定量因素X1、X2和2个定性因素A、B的121614131的四因素试验进行均匀设计。,因素水平表, 选混合均匀正交表 U12(12643222),U12(12643222)均匀试验方案,57,、,回归方程模型:,=,+,x1 x2 z31 z32 z33 z41 z42,58,相关系数R0.8735 ，F回1.84 。回归方程不显著，需考