竞赛辅导班第一讲函数极限.ppt

1、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,函数与极限,第一讲,一、 历年试题分类统计及考点分布,二、考点综述及主要解题方法与技巧,三、真题解析,一、 历年试题分类统计及考点分布,1.极限定义与性质与结论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.极限的计算,二、考点综述与主要解题方法与技巧,3.连续性与间断点,夹逼准则,与单调有界准则,两个重要极限,无穷小代换,泰勒公式（拉格朗日中值定理）,导数定义及定积分定义,罗必达法则,1.极限定义,性质,与结论,定义,当,时, 有,(1)充要条件,性质,(2)局部有界性,(3)局部保号性,若,且 A 0 ,则存在,( A 0 ),则存在正常数,若,结论,例1.

2、 设,存在，求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为常数，且,的值，并计算极限.,注.： （）左右极限与极限的关系,（）结论,练习:. 求,解:,原式 = 1,(2000考研真题),机动 目录 上页 下页 返回 结束,使得（）,设函数,连续，且,则存在,例2.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注：保号性的应用与极限与单调性极值的关系,设函数,例.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注：极限与有界性的关系，以及闭区间上连续函数的性质,则在定义域上（）,2 极限的计算,(a)七种未定式的极限计算,计算步骤：化简,判定类型,选择方法,方法与技巧：无穷小代换，洛必达法则，泰勒公式，,根号有理化

3、，极限存在准则，导数与积分定义等,主要结论（1）：,主要推论（1）：,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（） 选择方法：重要极限，洛比达法则，,（） 利用结论：,(例1.2003年真题4分).,( ),求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：幂指函数,（） 选择方法：取对数，洛比达法则或第二重要极限,（） 主要结论：,(例2.201年真题分).,（）,主要结论（2）：,主要推论（2）：,例3. (2004年真题)求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（） 选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式,（） 利用结论：,例

4、. 求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：幂指函数,（） 选择方法：取对数，洛比达法则或第二重要极限,（） 主要结论：,则有,(a) 和差取大规则:,若 = o() ,(b) 和差代换:,例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,主要结论（）：,且,存在 , 则,例1. 求,解:,原式,(c)乘积代换:,界, 则,例如,(d) 幂指型代换:,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（） 选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式,（） 利用结论：,例5(2006年真题3分).,( ),例6. 求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）

5、判定类型,（） 选择方法：无穷小代换,（） 注意细节：,推广,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（） 选择方法：无穷小代换,（） 利用结论：,例7,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（） 选择方法：无穷小代换，拉格朗日中值定理,（） 利用结论：,例8,.设,求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,主要结论（4）：,设,若, 则,若, 则,设,若, 则,若, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（） 选择方法：重要极限，根值法,（） 利用结论：,例10,设,若, 则,若, 则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用结论：,

6、例10,设,若, 则,若, 则,(b)综合计算题,已知极限反求参数,无穷小比阶的问题,利用收敛准则求极限,与其他知识结合的综合题,利用中值定理求极限,例1. 求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（） 判定类型,（） 选择方法：根号有理化，无穷小代换,例. 求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（） 判定类型,（） 选择方法：根号有理化,（） 注意细节：,例3. 求极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（） 选择方法：洛比达法则,（） 技巧：变量倒代换，将,例4. 当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（） 选择方法：洛比达法则

7、，无穷小代换，泰勒公式,（） 利用结论：,与,是等价无穷小，求a,b,例5. 若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（） 选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式,（） 利用结论：,求a,b,例6. 确定常数a,b,c的值，使得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（） 选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式,（） 注意细节：保号性与变上限积分的求导,例7.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（） 选择方法：拉格朗日中值定理，洛比达法则,（） 注意细节：无穷小代换的灵活运用,求极限,例6. 设,机动 目录 上页 下页 返回

8、结束,析.（）判定类型：,（） 选择方法：拉格朗日中值定理，乘积无穷小代换,（） 注意细节：无穷小代换的灵活运用,求极限,例9. 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：数列极限,（） 选择方法：单调有界数列收敛准则,（） 相关结论：,证明数列,的极限存在，并求此极限,例10. 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：数列极限,（） 选择方法：单调有界数列收敛准则,（） 相关结论：,证明数列,的极限存在，并求此极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(例11 年真题分).,析.（）判定类型：？,（） 利用结论：同除以分子分母最低阶无穷小 的等价无穷小,（）

9、 选择方法：？,则必有（）,. 历年真题解析,(2011年真题分). 求极限,析.（）判定类型：,（） 选择方法：重要极限，洛比达法则，无穷小代换,（） 相关结论：,当,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：,（） 选择方法：洛比达法则，无穷小代换，泰勒公式,（） 利用结论：,与,是等价无穷小，求a,b,(2009年真题分).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：讨论左右极限,（） 选择方法：重要极限，代入法,（） 利用结论：,(200年真题分).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(年真题分).,析.（）判定类型：,（） 选择方法：洛比达法则，无穷小代换，

10、重要极限,（） 利用结论：同除以分子分母最低阶无穷小 的等价无穷小,设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,析.（）判定类型：数列极限,（） 选择方法：单调有界数列收敛准则,（） 相关结论：,的极限存在，并求此极限,(年真题分).,试证明,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(年真题分).,析.（）判定类型：,（） 利用结论：,（） 选择方法：洛比达法则，重要极限,求a值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(年真题分).,析.（）判定类型：,（） 利用结论：,（） 选择方法：洛比达法则，重要极限,（）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(年真题分).,析.（）判定类型：,（） 利用结论：,

11、（） 选择方法：洛比达法则，重要极限,（）,三、 连续与间断,1. 函数连续的等价形式,2. 函数间断点,第一类间断点,第二类间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有界定理 ;,最值定理 ;,零点定理 ;,介值定理 .,3. 闭区间上连续函数的性质,例1. 设函数,在 x = 0 连续 , 则 a = , b = .,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 求,的间断点, 并判别其类型.,解:,x = 1 为第一类可去间断点,x = 1 为第二类无穷间断点,x = 0 为第一类跳跃间断点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有无

12、穷间断点,及可去间断点,解:,为无穷间断点,所以,为可去间断点 ,极限存在,例3. 设函数,试确定常数 a 及 b .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 设 f (x) 定义在区间,上 , 若 f (x) 在,连续,提示:,阅读与练习,且对任意实数,证明 f (x) 对一切 x 都连续 .,P64 题2(2), 4; P73 题5,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,例5. 证明: 若,令,则给定,当,时,有,又,根据有界性定理, 使,取,则,在,内连续,存在, 则,必在,内有界.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6. 设函数在闭区间a,b上连续，对于,以及,证明：存在,使得,例7. 有一张形状怪异的饼放在方形的餐桌上，能否 一刀将这张饼切成面积相等的两半，而刀口平行于 餐桌的某条指定的边？如果可以做到，问这种切法 是否唯一？,综合练习. 求下列极限：,提示:,机动 目录 上页 下